中考数学总复习中考数学专项提升第19讲 直角三角形(练习)(解析版)

第四章三角形第19讲直角三角形TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01由直角三角形的性质求解👉题型02根据已知条件判定直角三角形👉题型03利用勾股定理求解👉题型04判断勾股数问题👉题型05以直角三角形三边为边长的图形面积👉题型06勾股定理与网格问题👉题型07勾股定理与折叠问题👉题型08勾股定理与无理数问题👉题型09利用勾股定理证明线段的平方关系👉题型10勾股定理的证明方法👉题型11赵爽弦图👉题型12利用勾股定理构造图形解决实际问题👉题型13在网格中判断直角三角形👉题型14利用勾股定理逆定理求解👉题型15利用勾股定理解决实际问题👉题型16利用勾股定理逆定理解决实际问题👉题型17最短距离问题👉题型01由直角三角形的性质求解1．（2023·山东济南·三模）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是．【答案】30°/30度【分析】本题考查了正多边形的内角问题，先根据多边形的内角和公式求出正六边形的内角，然后根据正多边形内角与外角的互补，求得正六边形和正方形的外角，最后根据三角形的内角和即可求得∠BOC的度数．【详解】解：∵图中五边形为正六边形，∴∠ABO=1∴∠OBC=180°−120°=60°，∵正方形中OC⊥CD，∴∠OCB=90°，∴∠BOC=180°−90°−60°=30°，故答案为：30°．2．（2024·山西·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，连接EF交边BC于点D，连接AD．若BD=8，则△ACD的周长为【答案】8+43/【分析】由作图知DE是AC的垂直平分线，则DA=DC,DE⊥AC，GA=GC，角度推导得到∠B=30°，继而求出AD，再解Rt△ADG求出AG【详解】解：由作图知DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC,DE⊥AC，GA=GC∴∠ACD=∠DAC，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠ACD=180°−120°∴∠DAC=30°，∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=90°，∴AD=1在Rt△ADG中，AG=AD⋅∴AC=2AG=43∴△ACD周长为：AD+CD+AC=8+43故答案为：8+43【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握知识点，发现30°是解题的关键．3．（2024·河北·模拟预测）如图，在Rt△ABC，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交ACA．∠ABE=∠CBE B．2∠ABE=∠CADC．BF=2DF D．AF=AE【答案】C【分析】根据角平分线定义判断A；根据∠CAD和∠ABC都是∠C的余角判断B；根据含30°的直角三角形性质判断C；根据∠C和∠BAC都是∠CAD的余角，∠AEF是△EBC的外角，∠AFE是△FAB的外角，判断D．【详解】A、由作图知，BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴A正确，不符合题意；B、∵Rt△ABC，∠BAC=90°∴∠ADC=90°，∴∠C+∠CAD=∠C+∠ABC=90°，∴∠CAD=∠ABC，∵∠ABC=2∠ABE，∴2∠ABE=∠CAD，∴B正确，不符合题意；C、当∠ABC=60°时，∠CBE=30°，BF=2DF，∴C不一定正确，C符合题意；D、∵∠C+∠CAD=∠BAD+∠CAD=90°，∴∠C=∠BAD，∵∠AEF=∠C+∠CBE，∴∠AEF=∠AFE，∴AF=AE，∴D正确，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了角平分线和直角三角形．熟练掌握角的平分线定义，直角三角形角性质，余角定义，含30°的直角三角形边性质，三角形外角性质，是解题的关键．4．（2024·贵州贵阳·二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若OB=4，S菱形ABCD=16A．25 B．4 C．2 D．5【答案】C【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质得出BD=8，由菱形的面积得出AC=4，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD=4，BD⊥AC，∴BD=2OB=8，∵S菱形∴AC=4，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵O为AC的中点，∴OE=1故选：C．👉题型02根据已知条件判定直角三角形5．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件：①∠A=∠C−∠B；②a+ba−b③a=32，b=4④∠A:∠B:∠C=3:4:5，其中可以判定△ABC是直角三角形的有个．【答案】2【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，对于①④，求出各内角的度数，判断即可；对于②③，根据勾股定理逆定理判断即可．【详解】∵∠A=∠C−∠B，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，则①正确；∵(a−b)(a+b)=c∴a2即a2∴△ABC是直角三角形，则②正确；∵a2=92=81∴a2∴△ABC不是直角三角形．则③不正确；设∠A=3x,∠B=4x,∠C=5x，根据三角形内角和定理，得3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴3x=45°，4x=60°，5x=75°，∴△ABC不是直角三角形．则④不正确．正确的有2个．故答案为：2．6．（2024·陕西·模拟预测）如图，在△ABC中，O为边BC上一点，⊙O过点C，且与AB相切于点D，连接CD，OD，AD=AC．(1)求证：△ABC为直角三角形．(2)延长DO与⊙O交于点E，连接CE，若AD=DE=6，求CE的长．【答案】(1)见解析(2)CE＝6【分析】（1）利用圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，同圆的半径相等的性质解答即可；（2）利用圆周角定理，四边形的内角和定理和相似三角形的判定与性质得到CECD=OEAD=【详解】（1）证明：∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ADO=90°，∴∠ADC+∠ODC=90°．∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠ACD+∠OCD=90°．即∠ACO=90°，∴△ABC为直角三角形；（2）解：∵AD=DE=6，OE=1∴OE=1由（1）知：∠ADO=∠ACO=90°，∴∠DOC+∠A=180°．∵∠DOC+∠EOC=180°，∴∠A=∠EOC．∵DE为⊙O的直径，∴∠DCE=90°，∴∠DCE=∠ACB=90°，∴∠OCE=∠ACD．∴△OCE∽△ACD，∴CECD设CE=x，则CD=2x，∵CE∴x∵x>0，∴x=6∴CE=6【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，圆周角定理，直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．7．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在等边△ABC中，AB=10，P为BC上一点（不与点B，C重合），过点P作PM⊥BC于点P，交线段AB于点M，将PM绕点P顺时针旋转60°，交线段AC于点N，连接MN，有三位同学提出以下结论：嘉嘉：△PNC为直角三角形．淇淇：当AM=2时，AN=7．珍珍：在点P移动的过程中，MN不存在平行于BC的情况．下列说法正确的是（

）A．只有嘉嘉正确 B．嘉嘉和淇淇正确C．淇淇和珍珍正确 D．三人都正确【答案】B【分析】根据等边三角形的性质证明∠PNC=180°−∠C−∠NPC=90°，可以判断嘉嘉正确：然后利用含30度角的直角三角形的性质判断淇淇正确：珍珍错误，进而可以解决问题．【详解】解：由旋转可得：∠MPN=60°∵PM⊥BC∴∠BPM=90°∴∠NPC=180°−∠BPM−∠MPN=30°∵△ABC为等边三角形∴∠C=60°∴∠PNC=180°−∠C−∠NPC=90°∴△PNC为直角三角形，故嘉嘉正确；∵在等边△ABC中，AB=10，∠B=60°当AM=2时，BM=8，∵PM⊥BC∴∠BMP=30°∴BP=∴PC=6∵∠NPC=180°−∠BPM−∠MPN=30°∴NC=∴AN=AC−NC=7，故淇淇正确；当BM=4时，AM=10−4=6∴BP=∴CP=10−2=8∴CN=∴AN=AC−CN=6=AM∵∠A=60°由旋转性质可得：PM=PN，∠MPN=60°∴△MPN是等边三角形∴∠AMN=60°=∠B∴MN∥BC，故珍珍错误；故选：B．【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的判定与性质．👉题型03利用勾股定理求解8．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，AC=3，BO=4，函数y=kx(x<0)的图象经过顶点B【答案】−【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接AC，OB相交于点E，过点B作BD⊥x轴与点D，利用勾股定理求出CO的长，判定出△BDO∽△CEO，求出BD，【详解】解：如图，连接AC，OB相交于点E，过点B作BD⊥x轴与点∵四边形OABC为菱形，∴AC⊥BO，EO=12BO=2∴CO=C∵∠CEO=∠BDO=90°，∠BOD=∠COE，∴△BDO∽△CEO，∴DOBO=解得：DO=16BD=B∴B−∵函数y=kx(x<0)∴k=xy=−16故答案为：−1929．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与弦AB相交于点C，OB⊥OP，若OB=3，OC=1，则PA的长为．【答案】4【分析】本题考查了切线的性质，连接OA，如图，先根据切线的性质得到∠OAP=90°，再证明∠PCA=∠PAC得到PA=PC，设PA=x，则PC=x，PO=x+1，利用勾股定理得到32【详解】解：连接OA，如图，∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，∵OB⊥OP，∴∠BOC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∵∠B+∠OCB=90°，∠OAB+∠PAC=90°，∴∠OCB=∠PAC，∵∠OCB=∠PCA，∴∠PCA=∠PAC，∴PA=PC，设PA=x，则PC=x，PO=x+1，∵OA=OB=3，∴3解得x=4，即PA的长为4．故答案为：4．10．（2024·贵州·模拟预测）下面是多媒体上的一道试题：如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF=CE，连接BD，DF．求证：四边形BFDE是矩形．下面是两位同学的对话：(1)请你选择一位同学的说法，并证明；(2)若BE=23，DE=2，求菱形【答案】(1)选择小星的说法，证明见解析；(2)16．【分析】（1）根据菱形的性质，求出DE=BF=DE=BF，进而证明BF=DE，四边形BFDE是平行四边形．利用有一个角是90°的平行四边形是矩形即可得证；（2）利用勾股定理求出BD，再证明△BCD为等边三角形，得DC=BD=4，即可得解．【详解】（1）解：若选择小星的说法，证明如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD．∵AF=CE，∴BF=DE，∴四边形BFDE是平行四边形．∵BE⊥CD，∴∠∴四边形BFDE是矩形．（2）解：∵BE⊥CD，∴∠在Rt△BED中，BE=2∴BD=B∵∴∠∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，∴△BCD为等边三角形，∴DC=BD=4，∴菱形ABCD的周长为4×4=16．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形，证明矩形及垂线定义，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键．11．（2024·四川眉山·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A1,0，B1−a,0，C1+a,0a>0，点P在以D4,4为圆心，1为半径的圆周上运动，且始终满足∠BPC=90°，则A．3 B．4 C．6 D．2【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，最短距离等知识点，利用点A、B、C的坐标可得到AB=AC=a，则AB=AC=AP=a，连接AD交⊙D于P'，利用两点间的距离公式计算出DA=5，即可得到P'A=4【详解】解：∵点A1,0，B1−a,0，∴AB=AC=a，∵∠BPC=90°，∴AB=AC=AP=a，如图，连接AD交⊙D于P'DA=4−12∴P'即⊙D上点到A的最短距离为4，∴a的最小值为4，故选：B．👉题型04判断勾股数问题12．（2024·四川德阳·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其股是（结果用含m的式子表示）．【答案】a=【分析】本题考查了勾股数的定义及求法：满足a2+b2=c2【详解】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，(2m)2解得：a=m故答案为：a=m13．（2024·山东淄博·二模）观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第8组勾股数：．【答案】17，144，145【分析】本题考查的是勾股数，数字类规律探究；观察已知数据可得每组第一个数=2×组数+1，第二个数=2×组数×(组数+1)，第三个数=2×组数×(组数+1)+1，再把n代入，整理即可得到答案．【详解】第一组：3，4=32−1第二组：5，12=52−1…，第四组为：11，112−12…，则第n组第一个数为：2n+1，第二个数为：2×n×(n+1)=2n(n+1)，第三个数为：2×n×(n+1)+1=2n∴第八组：17，172−1故答案为：17，144，145．14．（2024·河北沧州·一模）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数．(1)若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且a=n+7，c=n+8，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的(2)当n是大于1的整数时，判断2n，n2【答案】(1)5(2)是勾股数，理由见解析【分析】本题考查了勾股数的定义，完全平方公式，算术平方根的求解，准确理解勾股数的定义，是解答本题的关键．（1）根据勾股数的定义得到n+72+b2=（2）分别表示出2n，n2−1，【详解】（1）解：a，b，c为勾股数，c为斜边长，∴a∵a=n+7，∴n+7∴b2=2n+15∵n，∴当n=5时，b=2×5+15∴最小的b值为5；（2）∵2n2=4n2∴2n∴2n，n215．（2024·四川成都·模拟预测）一个直角三角形的边长都是整数，则称这种直角三角形为“完美勾股三角形”，k为其面积和周长的比值．当k=2时，满足条件的“完美勾股三角形”的周长为；当0<k≤1时，若存在“完美勾股三角形”，则k=．【答案】4812【分析】本题考查了直角三角形，都是各边长都是整数，利用a=3,b=4,c=5的直角三角形来研究，对三边同时扩大1,2,3,⋯倍数来计算，看是否满足题意即可求解．【详解】解：设直角三角形的边长分别为a,b,c，其中a,b为直角边，且a<b，由题意知：k=1利用特殊的勾三股四直角三角形来研究，当a=3,b=4,c=5，上式不成立，依次将a=3,b=4,c=5扩大相同的倍数，当都扩大4倍时：a=12,b=16,c=20，等式成立，故此时满足条件的“完美勾股三角形”的周长为：48；当0<k≤1时，当a=3,b=4,c=5时，k=1当a=6,b=8,c=10时，k=1故答案为：48，12👉题型05以直角三角形三边为边长的图形面积16．（2024·河北唐山·三模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为5、13、30，则正方形C的面积为（

）A．12 B．18 C．10 D．20【答案】A【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，解题关键是勾股定理的正确应用．由所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根据勾股定理得SA+SB=SE=SD−SC，由正方形A、B、D【详解】解：由题意可得SA由正方形A、B、D的面积依次为5、13、30，得5+13=30−S求得正方形C的面积为12．故A正确故答案为：A17．（2024·甘肃天水·二模）我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若△PEF的面积为6，则阴影部分的周长为．【答案】28【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，根据根据勾股定理得AB=5，则正方形AEFB的面积是25，因为△PEF的面积为6，所以2PE⋅PF=24，即可算出阴影部分的周长为4PE+PF【详解】解：依题意，AB=A∴EF=AB=5，∴正方形AEFB的面积是25，∴PE∵△PEF的面积为6，∴1∴2PE⋅PF=24，∴PE+PF即PE+PF=7．∴阴影部分的周长为4PE+PF故答案为：28．18．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则S1A．5π2 B．3π C．5π D．【答案】C【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到S2=14A【详解】解：如图所示，∵正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上，∴圆心O在线段EF,MN的中垂线的交点上，即在Rt△ABC斜边AB的中点，且AC=MC，BC=CG，∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，∴AG=BM，又∵OG=OM，OA=OB，∴△AOG≌△BOM，∴∠CAB=∠CBA，∵∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴OC=1∴∵O∴S∴S故选：C．【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．19．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图所示，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，分别以三条边BC，AC，AB为一边，在△ABC的外部作正五边形，三个五边形的面积分别记作S1，A．S1+S2=S3 B．【答案】D【分析】如图所示，设AB所在的正五边形的外接圆圆心为O，连接OA，OB，过点O作OD⊥AB于D，先求出∠AOB=72°，再根据三线合一定理得到BD=12AB，∠BOD=∠AOD=36°，解直角三角形得到OD=【详解】解：如图所示，设AB所在的正五边形的外接圆圆心为O，连接OA，OB，过点O作OD⊥AB于由正五边形的性质可得∠AOB=360°∵OA=OB，∴BD=1在Rt△AOD中，OD=∴S3同理S1=5B∵在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°∴BC=1∴S1+S2=5BC∴S3故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理，正多边形与圆，解直角三角形，正确用直角三角形ABC的三边长表示出三个正五边形的面积是解题的关键．20．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图①，分别以RtΔPMN的各边为一边向外作三个三角形，使∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，再按图②的方式将两个较小的三角形放在最大的三角形内，使AB=MN，AD=PM，BF=PN，∠GFB=∠A=∠2．若要求出ΔCEHA．四边形CAFG B．四边形EDBC C．ΔGFB D．【答案】D【分析】由勾股定理可得MN2=MP2+NP2，可得【详解】如图①中，∠MPN=90°，∴MN如图②中：∵AB=MN，AD=PM，BF=PN，∴AB∵∠GFB=∠A=∠2，∴AC//FG，∠B=∠ADE，∴DE//BC，∴四边形CEHG是平行四边形，∴S∵AC//FG，DE//BC，∴ΔADE∽Δ∴SΔADES∴SΔ∴S∴S故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，证明SΔ👉题型06勾股定理与网格问题21．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形格点的位置上，连接AB，CD相交于点P，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得tan∠BPC的值是（

A．12 B．55 C．2 【答案】C【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是数形结合．由题得：CD∥BE，∠AED=45°，∠BED=45°，根据勾股定理求出AE=22，BE=2，进而求出【详解】解：由题得，CD∥BE，∠AED=45°，∠BED=45°，∴∠BPC=∠ABE，∠AEB=90∵AE=22+∴在Rt△ABE中，tan则tan∠BPC=故选：C．22．（2024·云南昆明·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形构成的8×6的网格，其中点O，A，B均在格点上，将扇形AOB围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为．【答案】3【分析】本题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是明确圆锥的底面圆的周长即为扇形的弧长．根据扇形的弧长公式求得弧长，再根据圆锥的底面圆的周长即为扇形的弧长进行求解．【详解】解：OA=3设圆锥的底面半径为r，根据题意，得90π⋅32解得r=3故答案为：3223．（2024·广东清远·模拟预测）如图，象棋盘中各个小正方形的边长为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照马走日的规则，走两步后的落点与出发点间的最远距离为．

【答案】2【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：如图，

走两步后的落点与出发点间的最远距离的点为A处，最远距离为42故答案为：2524．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，△ABC的顶点坐标分别为A4,4，B4,1，C2,1．将△ABC关于原点O(1)画出△A(2)点B1的坐标为______，点C、C【答案】(1)见解析(2)−4,−1，2【分析】本题考查中心对称、勾股定理，熟练掌握轴对称中心对称的性质、勾股定理是解答本题的关键．（1）根据中心对称的性质作图即可．（2）由图可得点B1的坐标；利用勾股定理计算C【详解】（1）解：如图，△A；（2）解：由图可得，点B1的坐标为−4,−1由勾股定理得，CC故答案为：−4,−1；25👉题型07勾股定理与折叠问题25．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，E是AB中点，F是BC上一点，沿着EF折叠△B【答案】8±2【分析】取BC中点为D、连接ED，作AB'中点G，连接EG交BB'，交EF于O，根据勾股定理求出AB的长，由折叠性质以及等腰三角形的判定与性质得出E，O'【详解】解：如图所示，取BC中点为D、连接ED，作AB'中点G，连接EG交BB'，交在Rt△ABC中∴AB=∵E为AB中点，∴AE=BE=5，由折叠可知：B'∵点G是AB'中点，在△EAB'中有在Rt△EGA中，EG=在△ABB'中，E为AB中点，G为∴BB取BB'中点为O'∵BF=B∴FO∴E，O'，F∴BO=1在Rt△EOB中，EO=∵E为AB的中点，D为BC的中点，∴ED∥∵∠C=90°，∴∠EDB=∠EDF=90°，在Rt△EDF中，设DF=x，则BF=4+xEF=E∴FO=x在Rt△BOF中，FO2整理得：5x解得：x1∴CF=BC−BD−DF=8−4−12±2故答案为：8±26【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的几何应用，中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，折叠性质，熟练掌握相关性质定理，准确作出辅助线为解题关键．26．（2024·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是−5,0，点B的坐标是0,12，点M是OB上一点，将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处，则点M的坐标为（

A．0,5 B．0,103 C．0,23【答案】B【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质等知识．由勾股定理得AB=OA2+OB2=13【详解】解：∵A(−5,0)，B(0,12)，∠AOB=∠MOB∴OA=5，OB=12，∴AB=O由折叠得AB'=AB=13∴OB∵OM∴OM解得OM=10∴M0,故选：B．27．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，将△ABC沿EF折叠，使点B落在AC边上的点D处，若ADCD=12，则【答案】526【分析】过点D作DG⊥AB，设AD=x，则CD=2x，AC=BC=3x，设CE=y，折叠得到DE=BE=3x−y，勾股定理，求出y的值，证明△CDE∽△GFD，得到DEDF【详解】解：∵∠C=90°，AC=BC，∴∠B=∠A=45°，过点D作DG⊥AB，则∠DGA=∠DGF=90°，∵ADCD∴设AD=x，则CD=2x，AC=BC=AD+CD=3x，∵∠A=45°，∴DG=AD⋅sin设CE=y，则：BE=BC−CE=3x−y，∵将△ABC沿EF折叠，使点B落在AC边上的点D处，∴DE=BE=3x−y，∠EDF=∠B=45°，∵∠C=90°，∴DE2=C解得：y=5∴CE=5∵∠CDF=∠CDE+∠EDF=∠A+∠AFD，∠EDF=45°=∠A，∴∠CDE=∠AFD，∵∠C=90°=∠DGF，∴△CDE∽△GFD，∴DEDF故答案为：52【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的外角，等边对等角等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造相似三角形和特殊三角形，是解题的关键．28．（2024·浙江·模拟预测）综合与实践【问题情境】在一次数学探究课上，老师带领大家一起研究特殊三角形的性质.圆圆小组对直角三角形进行了各种类型的折叠探究，并尝试用数学方法说明发现的结论.类型1．如图1，沿着DE折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点E，交BC于点D，他们发现：点D的位置与AC和BC的长有关．问题1.若BC=3，AC=1，则BD=________．【变式探究】类型2．如图2，点D为CB上一点，沿着AD折叠，AC恰好落在AB上，点C的对称点为C'，折痕交BC于点D．问题2．①若ABAC=53②请猜测ABAC与BD【拓展思考】方方小组对等腰三角形进行了各种折叠探究.如图3，在等腰三角形ABC中，BC为底边，∠A为钝角，点D为边AC上一点，将△ABD沿直线BD翻折得到△A问题3．若AD=CD=4，A'C=6，求【答案】问题1．53；问题2．①53；②ABAC=BD【分析】问题1．由折叠可得，AD=BD，设AD=BD=x，则CD=3−x，在Rt△ACD中由勾股定理得12+问题2．①证明△BCA∽△BC'D可得CAC'D=BABD，进而可得BD问题3．连接AA'，与BD相交于点O，由折叠可得AO=A'O，AA'⊥BD，进而可得OD为本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形额判定和性质，三角形中位线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．【详解】解：问题1：由折叠可得，AD=BD，设AD=BD=x，则CD=3−x，在Rt△ACD中，A∴12解得x=5∴BD=5故答案为：53问题2：①由折叠可得，∠AC'D=∠C=90°∴∠BC∴∠C=∠BC∵∠B=∠B，∴△BCA∽△BC∴CAC∴BDC∵C'∴BDCD②猜测：ABAC证明：由折叠可得，∠AC'D=∠C=90°∴∠BC∴∠C=∠BC∵∠B=∠B，∴△BCA∽△BC∴CAC∴BDC∵C'∴BDCD即ABAC问题3：连接AA'，与BD相交于点由折叠可得，AO=A'O∴∠AOB=∠AOD=90°，∵AD=CD=4，∴OD为△AA'C∴OD=1∴AO=A∴BO=A∴BD=BO+OD=57👉题型08勾股定理与无理数问题29．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在数轴上点A表示原点，点B表示的数为2，AB⊥BC，垂足为B，且BC=3，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为．【答案】13【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理可得AC=AB2【详解】解：∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∵点A表示原点，点B表示的数为2∴AB=2，又∵BC=3，∴AC=A∴AD=AC=13∴点D表示的数为13，故答案为：13．30．（2024·甘肃天水·一模）如图，在数轴上，OB=1，过O作直线l⊥OB于点O，在直线l上截取OA=2，且A在OC上方．连接AB，以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C，则C点对应的数为．【答案】1+5/【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求得AB，根据题意可得BC=AB=5【详解】解：∵l⊥OB，OB=1，OA=2，在Rt△AOB中，AB=∴BC=AB=5∴OC=OB+BC=1+5O为原点，OC为正方向，则C点对应的数为1+5故答案为：1+531．（2020·山西·三模）嘉淇学习了“数轴上的点与实数是一一对应的关系”后，便尝试在数轴上找一个表示无理数的点．如图，数轴的原点为O，Rt△AOB中，∠OAB=90°，边AO在数轴上，AB=3，以点O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴负半轴于点C，则点CA．−1和−2之间 B．−2和−3之间C．−3和−4之间 D．−4和−5之间【答案】C【分析】本题考查估算无理数的大小、勾股定理，掌握算术平方根的定义是正确估算的关键．根据勾股定理求出OB，进而确定点C的坐标，再根据算术平方根的定义估算无理数−13【详解】解：在Rt△AOB中，AB=3，OA=2∴OB=3∴数轴上点C所表示的数为：−13∵32=9，42∴3<13∴−4<−13故选：C．32．（2023·广东深圳·二模）数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较2+1与5的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较2+3与17的大小，以下数形结合正确的是（

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据勾股定理逐一判断即可求解．【详解】解：A．由图形无法利用勾股定理求得表示17与2的线段长度，则无法判断大小，那么A不符合题意；B．由图形无法利用勾股定理求得表示17与2的线段长度，则无法判断大小，那么B不符合题意；C．由图形可得AC=12+则无法判断大小，那么C不符合题意；D．由图形可得AC=12+∵CF=3,AC+CF>AF，∴2+3>那么D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了数形结合进行无理数的大小比较，利用勾股定理求得对应线段的长度是解题的关键．👉题型09利用勾股定理证明线段的平方关系33．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，则下列结论错误的是（

）A．AC平分∠BCD B．BC+CD=C．OA2+O【答案】C【分析】∠BAD=∠BCD=90°，得到A,B,C,D四点共圆，圆周角定理，得到∠ACB=∠ACD，判断A，将AC绕点A旋转90°，得到线段AE，连接CE，得到C,D,E三点共线，证明△ABC≌△ADE，得到BC=DE，判断B，证明△BOC∽△AOD，得到OA⋅OC=OB⋅DO，判断C，等量代换结合勾股定理判断D．【详解】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，∴A,B,C,D在以BD为直径的圆上，∵AB=AD，∴BD=2∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD=45°，∴AC平分∠BCD；故A选项正确；将AC绕点A旋转90°，得到线段AE，连接CE，则：∠CAE=90°=∠BAD，∴AC=AE，∴∠ACE=45°，CE=2∴C,D,E三点共线，∴CE=CD+DE，∴2AC=CD+DE∵∠CAE=90°=∠BAD，∴∠BAC=∠DAE=90°−∠CAD，又∵AC=AE，AB=AD，∴△ABC≌△ADE，∴BC=DE，∴2AC=CD+DE=BC+CD∵∠ACB=∠ADB,∠AOD=∠COB，∴△BOC∽△AOD，∴BOAO∴OA⋅OC=OB⋅DO，若：OA则：OA即：OA+OC2∴AC无法得到AC=BD，故选项C错误；∵2AC=BC+CD，BD=2AB∴AC=22BC+CD∴A===BC⋅CD；故选项D正确；故选C．【点睛】本题考查圆周角定理，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，本题的综合性强，难度较大，属于选择题中的压轴题，熟练掌握相关知识点，得到A,B,C,D四点共圆，是解题的关键．34．（2024·河北·模拟预测）如图1，正方形A'B'C'D与斜边为BC的Rt△ABC按如图所示的方式放在同一平面内，使点A'与A重合，点D在(1)求A'D的长和(2)将△BAC绕点A按顺时针方向旋转，当AC与A'C'重合后，立刻沿射线A'C①求边AB旋转结束时扫过的面积；②求平移结束时，正方形A'B'C'(3)如图2，若将（2）中的旋转和平移同时进行，设边AB与边A'D的交点为M，边AC与边C'D的交点为N，AM=a，AC'=【答案】(1)32，(2)①π；②9(3)D【分析】（1）过点A'作A'H⊥BC于点H，先根据正方形的性质和解直角三角形求得A'D=（2）①求扇形BAB1的面积即可；②设AB交A'D于点P，过点D作DE⊥AC于点E．先证明△A'AP是等腰直角三角形，得到AA'=AP，再解Rt△（3）连接MN，过点A作AF⊥A'C'交A'D于点F，证明△NAC'∽△MAF，得AC':AF=AN:AM=k．【详解】（1）解：如图1，过点A'作A'H⊥BC在正方形A'B'C'D中，∴A'∵BC∥∴∠HDA∴A'在Rt△A'∴sin∠ACB=∴∠ACB=30°．（2）解：①如图2，边AB旋转结束扫过的面积为扇形BAB1∵BC∥∴旋转角∠B在Rt△ABC中，AC=6，∠ACB=30°∴AB=23∴扇形BAB1的面积②如图3，设AB交A'D于点∵∠AA'P=45°∴△A∴AA过点D作DE⊥AC于点E．∵在Rt△C'DE中，∴C'∵在Rt△ECD中，∠C=30°∴CE=3∴平移的距离为AA∴S===93（3）解：DM2+DN2=(k+1)a2．如图4，连接MN，过点A作AF⊥A'C'交则△A∴AF=A∴AC∴AC∴AC∵∠MAF+∠FAN=90°，∠NAC∴∠MAF=∠NAC∵∠A∴△NAC∴AC∵AM=a，∴AN=k在Rt△AMN中，M在Rt△DMN中，D【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相关知识是解题的关键．35．（2024·江苏盐城·三模）【阅读发现】小明在阅读数学课外读物时，读到了海伦――秦九韶公式．他了解到海伦公式和秦九韶公式分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式有什么关系呢？于是小明进行了下列思考：两个公式：海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设p=12a+b+c秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积S=1【尝试应用】（1）已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______；请用学过的知识来解这个三角形的面积．（2）已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，试求出这个三角形面积的一般表达形式．（用a，b，c表示）【发现关联】思考关联：请你由秦九韶公式S=14a2b【答案】【尝试应用】（1）1574；见解析；（2）【分析】尝试应用：（1）代入S=14a2b2−a2+b2−c222（2）过点A作AD⊥BC，设AD=ℎ，BD=x，则DC=b−x，根据勾股定理得到ℎ2=a2−x2，ℎ发现关联：将S=1本题考查了，勾股定理，平方差公式的运用，二次根式的应用，解题的关键是：熟练掌握勾股定理，平方差公式进行运算．【详解】解：尝试应用（1）S=1过点A作AD⊥BC，设BD=x，则DC=6−x，在Rt△ABD中，A在Rt△ADC中，A∴42−x∴AD=4∴这个三角形的面积为：12（2）过点A作AD⊥BC，设AD=ℎ，BD=x，则DC=b−x，则：ℎ2=a∴a2−x∴S=12==1发现关联：S=====pp−ap−b👉题型10勾股定理的证明方法36．（2022·河北邯郸·三模）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学分别设计了如下方案：甲乙如图，用四个全等的直角三角形拼成，其中四边形ABDE和四边形CF均是正方形，通过用两种方法表示正方形ABDE的面积来进行证明．如图是两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C，D重合，通过用两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明．对于甲、乙分别设计的两种方案，下列判断正确的是（

）A．甲、乙均对 B．甲对、乙不对 C．甲不对，乙对 D．甲、乙均不对【答案】A【分析】甲的方案用四个三角板的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积验证；乙的方案中，S四边形ACBE=SΔBCE+SΔ【详解】解：设两个方案中所用直角三角形的边长从短到长都依次为a，b，c，甲的方案如图所示，S□ABDE=AB⋅BD=S□ABDE因此a2乙的方案如图所示，S四边形ACBE∵ΔABC和Δ∴∠ABC=30°，∠EDF=60°，∴∠CGB=90°，∵∠CGB=∠ACB=90°，∠GBC=∠CBA，∴ΔGBC∼∴CGAC=BC∴CG=ab∴GE=CE−CG=c−ab∴S四边形∴12∴a2故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，验证乙的方案有一定难度，先证明ΔGBC∼ΔCBA37．（2023·辽宁阜新·二模）动手实践、归纳和猜想是我们发现数学结论的重要一环，你也来试试吧！(1)如图，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，得到我们学习过的一个重要公式，请你写出来：面积等式为____________，结论为____________；(2)n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以m+n个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n=3,m=3时，如图，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7．①当n=4,m=2时，如图，y=______；当n=5,m=______时，y=9；②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y=______（用含m、n的代数式表示）．【答案】(1)12a+b2(2)①6，3；②n+2m−1【分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出等式并整理即可；（2）①根据图形规律即可解答；②根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论；本题考查了图形的变化规律和勾股定理的验证，读懂题意，找到变化规律是解题的关键．【详解】（1）有三个直角三角形其面积分别为ab，12ab和直角梯形的面积为12由图形可知：12整理得a+b2=2ab+c∴a2故答案为：12a+ba+b（2）①如图4，当n=4，m=2时，y=6，如图5，当n=5，m=3时，y=9，故答案为：6，3；②n边对于一般的情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得y=n+2m−1故答案为：y=n+2m−138．（2022·江苏盐城·三模）2000多年来，人们对勾股定理的证明频感兴趣，不但因为这个定理重要、基本还因为这个定理贴近人们的生活实际所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现，如图2是将图1中的直角三角形通过旋转、平移得到的正方形ABCD．

(1)请你利用图2证明勾股定理；(2)如图3，以MN为直径画圆O，延长CF交DM于点E，判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；(3)若b=3a，则图3中阴影部分的面积为____________（用含a的式子表示）【答案】(1)见详解(2)CE与⊙O相切，理由见详解(3)2π【分析】（1）利用两种方法表示正方形的面积证明勾股定理；（2）过圆心O作作OG⊥EF于点G，推出OG=1（3）求出阴影部分的中心角度，运用扇形面积减去三角形的面积即可解题．【详解】（1）证明：∵S正方形S正方形=4ab+2b=4b∴4b2+4（2）CE与⊙O相切，理由为：

过O点作OG⊥EF于点G，则OG=b−a，∵MN=b−a∴OG=∴CE与⊙O相切；（3）如图，设交点为H，L，则OH=b−a=3a−a=2a，在Rt△OHLcos∠LOH=OL∴∠LOH=60°，∴S

【点睛】本题考查勾股定理的推导，直线和圆的位置关系以及利用扇形和直角三角形求阴影部分的面积，作辅助线是解题的关键．39．（2022·广东佛山·三模）几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形ABCD，四边形DEFG，四边形CGHI均为正方形，EF交BG于点L，DG交IH于点K，点B，L，C，G在同条直线上，若S△ADE=16，S△GHK=9，记四边形DELC的面积为S1，四边形CGKI的面积为SA．209 B．34 C．7745【答案】C【分析】根据正方形的性质可得AD=AB=DC，∠A=∠B=∠ADC=90°，DE=DG，∠DEF=∠EDG=90°，CG=HG，∠ICG=∠H=90°，CI∥HG，从而可得∠ADE=∠CDG，进而利用平行线的性质可得∠CDG=∠HGK，然后可得∠ADE=∠HGK，从而证明△ADE∽△HGK，利用相似三角形的性质可得ADHG=43，再设AD=4a，HG=3a，从而可得HG=CG=3a，再证明△ADE≌△CDG，然后利用全等三角形的性质可得AE=CG=3a，从而根据S△ADE=16，求出a的值，进而求出AD，AE，CG的长，最后证明一线三等角模型相似△AED∽△BLE，从而利用相似三角形的性质求出BL的长，然后根据S1=正方形ABCD的面积−△ADE的面积【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=DC，∠A=∠B=∠ADC=90°，∵四边形EFGD是正方形，∴DE=DG，∠DEF=∠EDG=90°，∴∠ADC−∠EDC=∠EDG−∠EDC，∴∠ADE=∠CDG，∵四边形CGHI是正方形，∴CG=HG，∠ICG=∠H=90°，CI∥HG，∴∠CDG=∠HGK，∴∠ADE=∠HGK，∵∠H=∠A=90°，∴△ADE∽△HGK，∵S△ADE=16∴AD∴设AD=4a，HG=3a，∴HG=CG=3a，∵∠A=∠DCG=90°，AD=DC，∠ADE=∠CDG，∴△ADE≌△CDG（ASA），∴AE=CG=3a，∵S∴1∴1∴a=263或a=−∴AB=AD=4a=863∴BE=AB−AE=2∵∠A=90°，∠DEF=90°，∴∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠BEL=180°−∠DEF=90°，∴∠ADE=∠BEL，∴△AED∽△BLE，∴AE∴2∴BL=6∴S1=正方形ABCD的面积−△ADE=A=(=77S2=正方形CGHI的面积=C=(2=24−9=15，∴S故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．40．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，阴影部分的面积为27，则AD的长为．【答案】3【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理．由四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，可知E、F、G分别为AF、BG、CH的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形EFGH面积的一半，从而阴影部分总面积为正方形EFGH面积的3倍，即可得正方形EFGH面积为9，继而得DH=EH=AE=3，由勾股定理可求得AD的长．【详解】解：由四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，可知E、F、G分别为AF、BG、CH的中点，且AE=EH=DH=HG=CG=FG=BF=EF=BE，∴S∴S∴S∴EH=DH=3，∴DE=2EH=6，又∠AED=90°，∴AD=D故答案为：3541．（2024·广东清远·模拟预测）三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，AB=c，大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：a(1)若b=2a，则S小正方形:(2)如果大正方形的面积是13，a=2，求小正方形的面积．【答案】(1)1:5(2)1【分析】本题考查了勾股定理的证明，和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．（1）根据题意得大正方形面积为c2，直角三角形面积为12ab，小正方形面积为b−a2，然后根据（2）根据大正方形的面积=c2=13，a=2，得b【详解】（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为12ab∵b=2a，a2∴a∴S小正方形故答案为：1:5；（2）∵大正方形的面积=c2=13∴b2∴b=3（负值已经舍去），∴小正方形的面积=b−a👉题型11赵爽弦图42．（2024·河北·模拟预测）如图1，嘉嘉用四个全等的直角三角形拼接了一个“赵爽弦图”，其中大正方形ABCD的面积为25，小正方形EFGH的面积为1．（1）如图2，连接DG，CF，（2）如图3，连接AC，交BG于点P，交DE于点M，则S△AFP−【答案】410+12【分析】（1）根据题意在Rt△DHC中，利用勾股定理求出DH,DG（2）根据正方形的性质证明△GCP≌△EAMAAS，得到GP=EM，再根据S【详解】（1）∵正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1∴正方形ABCD的边长为5，正方形EFGH的边长为1设DH=x，∵四个直角三角形全等，∴CG=x，则CH=x+1在Rt△DHC中，DH2+CH∴DH=3，∵HG=1∴DG=同理可得：CF=BE=AH=10，CG=BF=AE=3∴风车图案的周长为410（2）∵四边形EFGH是正方形，∴EF=GH∵四个直角三角形全等，∴CH=AF∴CH−GH=AF−EF，即CG=AE∵四边形EFGH是正方形，∴∠HGP=90°=∠HEF，GH∥FE∴∠CGP=90°=∠HEA，∠GCP=∠EAM∴△GCP≌△EAM∴GP=EM∴S===【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用所学知识是关键．43．（2024·山东济南·二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形ABCD，则空白部分面积为

【答案】50【分析】本题主要考查正方形的面积，根据大正方形的边长求出“赵爽弦图”中正方形的边长是解题的关键．【详解】解：∵正方形ABCD的边长为10，∴“赵爽弦图”中正方形的边长5，∴空白处的面积=大正方形的面积−2×小正方形面积=10故答案为：50．44．（2024·浙江杭州·一模）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．（1）连接BF，若F恰为AG中点，则∠BFG的度数为°；（2）连接CF，若△ABF与△FEC的面积相等，DF=2，则AF的长为．【答案】455【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AF=BG，得到AF=FG，推出△BGF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论；（2）设FG=HG=EF=EH=x，由题意得，AG=CE=DF=BH=2，得到AF=BG=2−x，根据题意列方程即可得到结论．本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，公式法解一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键．【详解】解：（1）∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，∴△ADF≌△BAG，∴AF=BG，∵F恰为AG中点，∴AF=FG，∴BG=FG，∴△BGF是等腰直角三角形，∴∠BFG=45°，故答案为：45；（2）∵四边形EFGH是正方形，∴FG=HG=EF=EH，设FG=HG=EF=EH=x，由题意得，AG=CE=DF=BH=2，∴AF=BG=2−x，∵若△ABF与△FEC的面积相等，∴12∴(2−x)∴x=3−5或x=3+∴FG=3−5∴AF=2−(3−5故答案为：5−1👉题型12利用勾股定理构造图形解决实际问题45．（2023·四川泸州·一模）我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成．若a=6，b=8，则该矩形的面积为（）

A．96 B．1532 C．1994【答案】A【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理、代数式求值等知识．设BF=x，根据题意可知AE=AF=6，CE=CH=8，AC=14，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB2+BC2=A【详解】解：如下图，

设BF=x，∴AB=a+x=6+x，BC=b+x=8+x，∵△AEG≌△AFG，△CEG≌△CHG，∴AE=AF=a=6，CE=CH=b=8，∴AC=AE+CE=14，在Rt△ABC中，由勾股定理可得A即(6+x)2整理，可得x2+14x−48=0，即∴该矩形的面积S=AB⋅BC=(6+x)(8+x)==48+48=96．故选：A．46．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图是一所大型游乐场，工人在对游乐设施进行测试．大摆锤从高为9m的房屋A处，划过90°到达与房屋A水平距离为17m，高为2m的房屋B处，求大摆锤的长度【答案】13【分析】如图所示，作AE⊥OM，BF⊥AC，交OM于点G，连接AB，可得BD=GM=FC=2m，AF=EG=7m,FG=AE，在Rt△ABF中，根据勾股定理可得【详解】解：如图所示，OA=OB，∠AOB=90°，过点A作AE⊥OM于点E，过点B作BF⊥AC于点F，交OM于点G，连接∴∠AEO=∠OGB=∠AOB=90°，∵∠OAE+∠AOE=∠AOE+∠GOB=90°，∴∠OAE=∠BOG，∴△AOE≌△OBGAAS∴AE=OG，∵AE⊥OM，∴四边形AEGF，BDCF是矩形，∴CF=GM=BD=2m在Rt△ABF中，AF=7∴AB=A在等腰直角△AOB中，OA=OB，∴AB=OA2∴OA=OB=2∴ON=OA=OB=13m故答案为：13．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解图示，勾股直角三角形，掌握勾股定理的运用是解题的关键．47．（2024·贵州·模拟预测）意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线FD剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形AFEG，四边形CDBG与四边形A'E'B'A．6 B．12 C．15 D．25【答案】B【分析】由题意可设正方形AFEG的边长为a，正方形CDBG的边长为b，读懂题意，确定图2中两个直角三角形的直角边是a、b，由题中条件列出等式a+b=7，进而得到a+b2=a【详解】解：由题意可设正方形AFEG的边长为a，正方形CDBG的边长为b，∵图2是将图1沿直线FD剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，∴A'F'∵线段AB的长为7，∴a+b=7，则a+b2∵图1中空白部分面积为37，∴37===a2+由①−②得ab=12，∴图2中两个直角三角形的面积和为ab=12，故选：B．【点睛】本题考查以勾股定理证明为背景的问题，涉及完全平方和公式、不规则图形面积求法、正方形面积公式及直角三角形面积公式，读懂题意，将题中条件准确用数学表达式表示求解是解决问题的关键．48．（2022·江西九江·二模）俊俊和霞霞共同合作将一张长为2，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是2−1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是【答案】1或2或2−【分析】根据等腰三角形的两边相等，动手裁剪即可．【详解】如图1方式裁剪，第一步，取CB=CE=1，则DE=2−1，剪下△第二步，剪下△ABE，其中BE=1第三步，在AD上取一点F，使DF=DE=2−1，剪下△剩下的△AEF中，EF=刚好四个等腰三角形，另两个等腰三角形腰长是2−2或2如图2方式裁剪，第一步，取CB=CF=1，则DF=2−1，剪下△第二步，过A作AE⊥BF于E，由于AB=2,∠ABF=90°−∠CBF=45°，所以AE=BE，剪下△ABE第三步，由于AD=AE=1，剪下△ADE；剩下的三角形DFE中，EF=BF−BE=刚好四个等腰三角形，另两个等腰三角形腰长都是1．故答案为：1或2或2−2【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，矩形的性质，勾股定理的应用，熟记等腰直角三角形的三边比是1:1:2👉题型13在网格中判断直角三角形49．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，网格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB，CD的端点均在小正方形的顶点上：(1)在图中画出以AB为斜边的等腰直角△ABE，点E在小正方形的顶点上；(2)在图中画出以CD为腰的等腰△CDF，其△CDF的面积为4，点F在正方形的顶点上；(3)连接EF，请直写出线段EF的长．【答案】(1)如图所示(2)如图所示(3)5【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟悉网格特点和等腰三角形的判定与性质是解答的关键．（1）根据网格特点和勾股定理及其逆定理，结合等腰三角形的判定作图即可；（2）根据网格特点和勾股定理，结合等腰三角形的判定与性质作图即可；（3）利用网格特点和勾股定理求解即可．【详解】（1）解：如图，△ABE即为所求：证明：AB2=∴AE2+B∴△ABE是等腰直角三角形；（2）解：如图，△CDF即为所求：理由：CD∴CD=CF，则△CDF是等腰三角形，S△CDF（3）解：EF2=50．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，△ABC的顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，只用无刻度的直尺，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．(1)图①中，△ABC的形状是．(2)图②中，在AB边上取一点D，连接CD，使CD=1(3)图③中，在AB边上取一点E，连接CE，使CE为∠ACB的平分线．【答案】(1)直角三角形(2)见解析(3)见解析【分析】（1）先由勾股定理计算出AB、AC、BC的长，再由勾股定理逆定理即可得出答案；（2）取格点M、N，连接MN交AB于D，连接CD，点D即为所作；（3）在AC上取点P，使得BC=CP，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ并延长交AB于E，点E即为所求．【详解】（1）解：由勾股定理得：AB=52+52∴AB∴△ABC的形状是直角三角形；（2）解：如图，取格点M、N，连接MN交AB于D，连接CD，点D即为所作，，由图可得，四边形ANBM为正方形，∴AD=BD，∵△ABC的形状是直角三角形，∴CD=1（3）解：如图，在AC上取点P，使得BC=CP，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ并延长交AB于E，点E即为所求，，可知△BCP为等腰三角形，再由等腰三角形的性质即可得出∠BCE=∠PCE，即CE为∠ACB的平分线．【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图、正方形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识点．51．（2024·江苏无锡·一模）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），点A、B、C、D均为格点，给出下列三个命题：①点A到点B的最短距离为10；②点A到直线CD的距离为45③直线AB、CD所交的锐角为45°；其中，所有正确命题的序号为．（填序号）【答案】①②③【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，等腰三角形性质，平行线的性质，①利用勾股定理求解可得结论；②构造△AEF，利用面积法求解即可；③平移线段CD到AJ，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．【详解】解：由图可知点A到点B的最短距离为12如图，取格点E，连接DE，AE，则C，D，F，E共线，过点A作AH⊥CD于点H，

EF=12∵S∴AH=4取格点J，连接AJ，JB，延长BA，CD交于点K，则AJ∥∵AJ=BJ=1又∵AB=10∴AJ∴△AJB是等腰直角三角形，∴∠BAJ=45°，∵AJ∥∴∠BKC=∠BAJ=45°，∴直线AB，CD所交的锐角为45°，故③正确；综上分析可知，正确的是①②③．故答案为：①②③．52．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在7×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD是BC边上的中线，则AD的长为（

）A．22 B．352 C．29【答案】D【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据勾股定理求得AB,AC,BC，进而根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．【详解】解：∵AB=∴A∴△ABC是直角三角形，BC是斜边，又∵AD是BC边上的中线，∴AD=故选：D．👉题型14利用勾股定理逆定理求解53．（2024·湖南·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，CE∥AD，交BA的延长线于点E．(1)试判断线段CE与线段AD之间的数量关系，并说明理由．(2)若AD=2，AE=22【答案】(1)CE=2AD，理由见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三线合一定理，勾股定理的逆定理：（1）先由三线合一定理得到BC=2BD，再证明△ABD∽△EBC，利用相似三角形的性质即可得到CE=2AD；（2）由相似三角形的性质得到BE=2AB，则AB=AE=AC=22，再证明AB2+AE【详解】（1）解：CE=2AD，理由如下：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2BD，∵CE∥AD，∴△ABD∽△EBC，∴CEAD∴CE=2AD；（2）证明：∵△ABD∽△EBC，∴BEAB∴BE=2AB，∴AB=AE=AC=22∵CE=2AD=4，∴AB∴△AEC是直角三角形，∴△AEC是等腰直角三角形．54．（2024·广东广州·一模）如图，点E为菱形ABCD的边AD上一点，且AE=3，DE=2，点F为对角线AC上一动点，若△DEF的周长最小值为6，则sin∠BCD=【答案】45/【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称—最短路径问题，勾股定理逆定理，锐角三角函数，推出△ABE是直角三角形是解题关键．连接BF、BE，根据菱形好轴对称的性质，得到EF+DF≥BE，进而求出BE=4，再利用勾股定理逆定理，推出△ABE是直角三角形，再求正弦值即可．【详解】解：如图，连接BF、BE，∵四边形ABCD是菱形，AE=3，DE=2，∴AB=AD=5，点D和点B关于AC对称，∠BCD=∠BAD，∴BF=DF，∴EF+DF=EF+BF≥BE，∵△DEF的周长=DE+EF+DF≥2+BE，∵△DEF的周长最小值为6，∴BE=4，∵AE2=9，B∴AE∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°，∴sin∴sin故答案为：455．（2023·贵州铜仁·三模）如图，平行四边形ABCD中以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA，BC于F，G，分别以点F，G为圆心大于12FG长为半作弧，两弧交于点H，作BH交AD于点A．241 B．402 C．45【答案】D【分析】本题考查基本作图-作角平分线，掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识是解题的关键．如图，过点A作AJ∥EC交BC于J．证明四边形AJCE是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理证明∠AJB=90°，推出∠BCE=90°，利用勾股定理求出【详解】解：如图，过点A作AJ∥EC交BC于∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥∴∠AEB=∠EBC，∵AJ∥EC，∴四边形AJCE是平行四边形，∴AJ=EC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=10，AJ=EC=8，AE=JC=10，∵DE=6，∴AD=BC=16，∴BJ=BC−JC=16−10=6，∴AB∴∠AJB=90°，∵AJ∥∴∠BCE=∠BJA=90°，∴BE=B故选：D．56．（2023·山东济宁·一模）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是①【答案】②③④【分析】由AB2+AD2=85=CD2+BC2，可得∠BCD=90°，由题意知，分两种情况求解，①如图1，△DEF∽△FCB，四边形ABEF是矩形，所求两斜边为DF，BF，则DECF=DFBF【详解】解：∵AB∴∠BCD=90°，由题意知，分两种情况求解，①如图1，△DEF∽△FCB，四边形ABEF是矩形，所求两斜边为DF，∴DECF=DF∴7BF−2解得DF=45②如图2，△DEC∽△EBF，四边形ABEF是矩形，所求两斜边为DE，∴DEBE=EC∴9DE=6BE9解得DE=10BE=15∴剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是454，354，10，故答案为：②③④．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质等知识．解题的关键在于对分情况求解．👉题型15利用勾股定理解决实际问题57．（2024·河南周口·模拟预测）如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需要绕行C地，严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过开挖隧道的方式修建一条直通AB两地的公路．已知AC=60km，BC=90km，∠C=60°，求【答案】30【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理的实际应用，过点A作AD⊥BC于点D，根据直角三角形的性质可得∠CAD=30°，CD=12AC=30【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADC=∠ADB=90°，∵∠C=60°，∴∠CAD=30°，∴CD=1∴DB=BC−CD=90−30=60km在Rt△ADC中，AD=在Rt△ADB中，AB=58．（2024·福建三明·三模）综合实践：阅读下列材料，解答问题．任务：如图1，现要测量某校旗杆的高度（系在旗杆顶端的绳子垂到地面，并多出一小段）．工具：一把皮尺（测量长度达不到旗杆长一半）．李明学习小组测量过程和部分求解过程如下（如图2）：测量过程：步骤1：测得多出一小段绳子的长度为am步骤2：将绳子拉直，绳子末端与地面接触点为A，测得A点到旗杆底部C点距离AC=bm部分求解过程：设旗杆高度BC=ℎ，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴BC∵AC=b，∴(1)根据李明学习小组求解过程，请直接写出旗杆高度ℎ=（用含a，b的代数式表示）；(2)李明学习小组求解过程，所用到的几何知识是；(3)请你利用所提供的工具，通过2次测量，设计另外一种方案，写出你的测量和求解过程．（测量得到的长度用字母m，n表示）【答案】(1)b(2)勾股