中考数学总复习中考数学专项提升第13讲 二次函数的图像与性质(讲义4考点+3命题点19种题型(含3种解题技巧))(原卷版)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第三章函数第13讲二次函数的图像与性质（思维导图+4考点+3命题点19种题型（含3种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一二次函数的相关概念考点二二次函数的图像与性质考点三二次函数与各项系数之间的关系考点四二次函数与方程、不等式04题型精研·考向洞悉命题点一二次函数的图像与性质►题型01根据二次函数解析式判断其性质►题型02根据二次函数的图像与性质求解►题型03求二次函数解析式►题型04画二次函数的图像►题型05以开放性试题的形式考查二次函数的图像与性质►题型06二次函数的平移变换问题►题型07二次函数的对称变换问题►题型08根据二次函数的对称性求参数取值范围►题型09二次函数的最值问题►题型10根据二次函数的最值求参数/取值范围►题型11根据二次函数的增减性求参数的取值范围►题型12根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围命题点二二次函数的图像与各项系数之间的关系►题型01二次函数的图像与各项系数符号►题型02根据二次函数的图像判断式子符号►题型03函数图像综合命题点三二次函数与方程、不等式►题型01已知一元二次方程根的分布情况求参数►题型02二次函数与坐标系交点问题►题型03二次函数与方程、不等式►题型04二次函数与三角形相结合的应用方法

01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求二次函数的图像对称性与增减性★★能画二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图像形状和对称轴的关系；会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值.二次函数图像的有关判断★★二次函数的图像变换★★二次函数的图像与系数★★★二次函数解析式的确定★★★二次函数与方程结合★知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.二次函数与不等式结合★【考情分析1】二次函数是初中阶段的重点内容、难点内容，也是中考的必考内容，对于二次函数图像和性质的简单考查常以非解答题的形式出现，经常考查二次函数的对称性、增减性与其解析式中的二次项系数、一次项系数及常数项之间的关系.【考情分析2】二次函数与方程，不等式主要考查二次函数与一次函数结合，考查图像交点个数与函数各项系数间的关系，试题形式多样，难度一般，单独命题较少，一般都是问题中的某一部分，,其中函数图像与x轴的交点个数与对应的一元二次方程有关，相应不等式也可依靠函数图像求解.【备考建议】二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2025年各地中考还会考.出题形式多样，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习.02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一二次函数的相关概念二次函数的定义：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.二次函数的一般式：(a≠0，其中a，b，c是常数).二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时，2)当c＝0时，3)当b＝0且c＝0时，二次函数的常见表达式：名称解析式前提条件相互联系一般式当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式.1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.2)一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法.顶点式当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式.交点式当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式.1．（2024·上海宝山·三模）下列函数中是二次函数的是（

）A．y=2x2C．y=x2+2x−12．（2023·北京·模拟预测）线段AB=5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（

）A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系3．（2024·山东菏泽·一模）若二次函数y=m+2x2−mx+mA．−2 B．4 C．−2或4 D．无法确定4．（2023·四川南充·一模）点Pa,9在函数y=4x2−3的图象上，则代数式考点二二次函数的图像与性质二次函数的图像与性质图像特征二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.基本形式图像a>0a<0对称轴y轴y轴x=hx=hx=−顶点坐标(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(−b2a，最值a>0开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或4ac−增

减

性a>0在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.a<0在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.易错抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x的增大而增大(或减小)是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围.二、二次函数的图象变换1）二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下减补充：①二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.②根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位.③涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.④求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同.⑤对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.2）二次函数图象的对称变换变换方式变换后口诀关于x轴对称x不变，y变-y关于y轴对称y不变，x变-x关于原点对称x变-x，y变-y1．（2024·广东·中考真题）若点0,y1,1,yA．y3>y2>y1 B．2．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线y=x2+2xA．y=x+12−3 B．y=x+12−23．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数y=x2−2x−1≤x≤t−1，当x=−1A．0<t≤2 B．0<t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥24．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A1,0、点B3,0，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当

6．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x与相交于点A，B，点B的坐标为(3,0)，若点C(2,3)在抛物线上，则AB

QUOTEQUOTE考点三二次函数与各项系数之间的关系①二次函数的图像与a，b，c的关系字母字母的符号图像特征备注aa>0开口向上a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)．a<0开口向下bb=0对称轴是y轴，即−b左同右异中间0a，b同号对称轴在y轴左侧，即−a，b异号对称轴在y轴右侧，即−cc=0图像过原点c决定了抛物线与y轴交点的位置．c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交与x轴有两个交点的正负决定抛物线与x轴交点个数与x轴有唯一交点与x轴没有交点【补充】1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同；2）由a的符号与对称轴x=−b【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负.1．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax−ba≠0和y=−cxc≠0的图象大致如图所示，则函数A．B．C．D．2．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)A．abc<0 B．a−b=0C．3a−c=0 D．am2+bm≤a−b3．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x=−1，且该抛物线与x轴交于点A1,0，与y轴的交点B在①abc>0；②9a−3b+c≥0；③23<a<1；④若方程ax2+bx+c=x+1A．1 B．2 C．3 D．44．（2023·四川·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a<0）过−1,0和m,0两点，且3<m<4，下列四个结论：①abc>0；②3a+c>0；③若抛物线过点1,4，则−1<a<−23A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2023·山东青岛·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与正比例函数y=kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为−3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x=−1．下列结论：①abc<0；②3b+2c>0；③关于x的方程ax2+bx+c=kx考点四二次函数与方程、不等式1.二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：判别式二次函数一元二次方程与x轴交点个数图像与x轴的交点坐标根的情况△＞0抛物线与x轴交于，两点一元二次方程有两个不相等的实数根2个交点△＝0抛物线与x轴交于这一点一元二次方程有两个相等的实数根1个交点△＜0抛物线与x轴无交点一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）0个交点二、二次函数与不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）：图像有两个交点有1个交点无交点判别式△＞0△＝0△＜0△＞0△＝0△＜0或的全体实数全体实数无解无解或无实根或无实根无解无解或的全体实数全体实数1．（2023九年级下·江苏·专题练习）如表是部分二次函数y=ax2+bx−5的自变量xx11.11.21.31.4y−1−0.490.040.591.16那么方程axA．1～1.1 B．1.1～1.2 C．2．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于1,0，3,0A．抛物线的对称轴是直线x=2B．当x>2时，y随x的增大而减小C．一元二次方程axD．当y<0时，x<13．（2024·山西大同·模拟预测）已知m>n>0，若关于x的方程x²−2x−n=0的解为x1,x2x1<x2A．x1<xC．x3<x4．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线y=x2−6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k5．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,−2)

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．(2)当y≤−2时，请根据图象直接写出x的取值范围．04题型精研·考向洞悉命题点一二次函数的图像与性质►题型01根据二次函数解析式判断其性质1．（2023·辽宁沈阳·中考真题）二次函数y=−(x+1)2+2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2023·四川甘孜·中考真题）下列关于二次函数y=(x−2)2−3A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与x轴没有交点C．当x<2时，y随x增大而增大 D．图象的顶点坐标是(2,−3)3．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线y=23x−12+c经过−2A．y1>y2>y3 B．4．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m（m为常数）的图像经过点A．最大值5 B．最大值154 C．最小值5 D．最小值5．（2023·湖南·中考真题）已知P1x1,y1,P2x2,y2是抛物线y=ax2+4ax+3（a是常数，a≠0上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=−2；②A．1个 B．2个 C．3个 D．4个QUOTEQUOTEQUOTE►题型02根据二次函数的图像与性质求解1．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量xx…−4−2035…y…−24−80−3−15…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）A．图象的开口向上 B．当x>0时，y的值随x的值增大而增大C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x=12．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点C0,−2与x轴交点的横坐标分别为x1，x2①a−b+c<②方程ax③a+b>0；④a>2⑤b2−4ac>4aA．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数y=x2−2ax+3（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当a=−1时，这个函数的图像在函数y=−x图像的上方；③若a≥1，则当x>1时，函数值y随自变量x增大而增大；④4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）关于抛物线y=x2−2mx+m2①当m=0时，抛物线的对称轴是y轴；②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m=−4；③若点Am−2,y1，B④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y=x的距离都等于225．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线y=−x2+bx（b(1)求b的值；(2)点Ax1,y1在抛物线y=−（ⅰ）若ℎ=3t，且x1≥0，t>0，求（ⅱ）若x1=t−1，求►题型03求二次函数解析式1）已知抛物线上任意三点坐标，可设2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设4）已知抛物线过点时，可设（纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，则抛物线的对称轴可表示为直线h=x1+x【注意事项】1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式；2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化.1．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是−3，顶点坐标为−1,4，则下列说法正确的是（A．二次函数图象的对称轴是直线x=1B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2C．当x<−1时，y随x的增大而减小D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是32．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象过点A0,m，B1,−m，C2,n，D3,−m，其中3．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y=(x−2)20≤x≤3的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数y=14x

4．（2024·吉林长春·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象是一条抛物线，自变量x…−2−10123…y…0−2−3−3−20…有如下结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线x=12；③抛物线与y轴的交点坐标为−3,0；④由抛物线可知ax2+bx+c<05．（2024·四川成都·二模）已知二次函数y=ax2+bx+c图像与x轴相交于点Ax1,0,BQUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04画二次函数的图像1．（2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式x2通过思考，小丽得到以下3种方法：方法1

方程x2−x−6=0的两根为x1=−2，x2=3，可得函数y=x2−x−6的图像与x方法2

不等式x2−x−6<0可变形为x2<x+6，问题转化为研究函数y=x2与y=x+6的图像关系．画出函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是方法3

当x=0时，不等式一定成立；当x>0时，不等式变为x−1<6x；当x<0时，不等式变为x−1>6x．问题转化为研究函数任务：(1)不等式x2(2)3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；A.分类讨论

B.转化思想

C.特殊到一般

D.数形结合(3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答．2．（2024·甘肃·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+5与y轴的交点为A，且yx……−10125……y……0m890……(1)抛物线的对称轴为直线，点A的坐标为，并画出函数y=ax(2)设点P为抛物线上的一个动点，连接AP，取AP的中点P'．猜想点P3．（2024·河南安阳·模拟预测）操作与探究：已知点P是抛物线y=−x(1)在如图的平面直角坐标系xOy中画出函数y=−x(2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：①当函数值y≥0时，自变量x的取值范围是；②方程x−1x=−2③当x<m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是；④当−2≤x≤n时，函数值3≤y≤4，直接写出n的取值范围．x⋯−3−2−101⋯y⋯03430⋯QUOTE►题型05以开放性试题的形式考查二次函数的图像与性质1．（2024·江苏无锡·模拟预测）某个函数同时满足两个条件：①图象过点1，1、2，4；②当x<0时，y随2．（2023·上海·中考真题）一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y3．（2023·江苏泰州·中考真题）二次函数y=x2+3x+n的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n4．（2024·上海松江·二模）平移抛物线y=x2+2x+1►题型06二次函数的平移变换问题1．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数y=x2−2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P2,y1，Q3,2．（2023·西藏·中考真题）将抛物线y=x−12+5通过平移后，得到抛物线的解析式为y=A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度3．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=x−2023x−2024+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则4．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线y=x+32向下平移1个单位长度，再向右平移5．（2024·贵州遵义·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+ca≠0可以由抛物线y=ax2a≠0【初步感知】（1）将抛物线y=−x2向_______平移_______个单位长度，再向_______平移_______个单位长度可得【深入探究】（2）将y=−x2的图象平移，使得平移后的图象始终过点0,1，且对任意的自变量x的值，所对应的函数值都不大于10，则最多将【拓展提升】（3）将y=−12x2的图象平移后得到y=−12x2+bx+1►题型07二次函数的对称变换问题1．（2023·四川自贡·中考真题）经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点的抛物线y=−12x2+bx−b2+2c（A．10 B．12 C．13 D．152．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a<0）的图象经过A(n−6,m)，B(4−n,m)，M−3,t2+10，N(d,6t)四点，且点BA．−4 B．−2 C．2 D．43．（2024·福建莆田·一模）坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图像相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若AB=12，BC=4，CD=6，则MN的长度是（）A．8 B．9 C．10 D．114．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数y=(x−a)(x+2a−1)的对称轴是直线x=−2，则a的值为．►题型08根据二次函数的对称性求参数取值范围1．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当y≥t时，x≤−m−2或x≥−m+4．若A(−m−3,p)，B(2m,q)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，且A．−1<m<53 B．m<−1C．−53<m<1 D．2．（2024·浙江·一模）已知点A2,6，B6,4，C3,m均在抛物线y=ax2+bx+ca≠0的图象上，且6≤m≤7A．若y1<y2恒成立，则n<2 C．若y1>y2恒成立，则n>2 3．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数y=ax2+bx+2a<0，点Ak,y14．（2024·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点M(1,m)，Nt2,n是抛物线y=a(x−t)2(1)若m=n，求t的值；(2)若点Px0,p在抛物线上，且对于t+1<x05．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点1,m,3,n在抛物线y=ax(1)当m=n时，求t的值；(2)若n<1<m，求a的取值范围及t的取值范围．►题型09二次函数的最值问题1．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：a⊗b=a+2ba−b，例如4⊗3=4+2×34−3，则函数A．−21 B．−9 C．−7 D．−52．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m（m为常数）的图像经过点A．最大值5 B．最大值154 C．最小值5 D．最小值3．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线y=x2−2x−1，则当0≤x≤3A．−2 B．−1 C．0 D．24．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E、F分别为边BC、CD上的动点，连接BD、BF、EF，∠CEF+∠CDB=90°，若BD=10，CD=6，则△BEF面积的最大值为►题型10根据二次函数的最值求参数/取值范围1．（2024·湖北·模拟预测）已知关于x的二次函数y=ax2−4ax+3a2−6，当x<0时，y随x的增大而减小．且当−1≤x≤4时，A．83 B．1 C．−1 D．2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数y=−x2+2ax−a2+2（a为常数，且a≠0），当A．－6 B．4 C．−6或0 D．0或−23．（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数y=−x2+2mx−m2+3，当2m−1<x≤2m时，函数的最大值为4．（2024·云南昆明·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−12x2+bx+c的图象经过坐标原点O(1)当a=0时，求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少?(2)当a>0时，在0≤x≤4范围内，y是否存在最大值10?若存在，求出相应的a和x的值；若不存在，请说明理由．5．（2024温州市三模）已知二次函数y=ax2+4ax+3a(1)若a>0，当x<m+13时，此二次函数y随着x的增大而减小，求(2)若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a►题型11根据二次函数的增减性求参数的取值范围1．（2023温州市一模）已知点Am,n、Bm+1,n是二次函数y=x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随xA．m≤32 B．m≥32 C．m≥12．（2023·山东临沂·二模）已知点A(m，n)、B(m+1，n)是二次函数y=x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m3．（2023·安徽芜湖·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+k+1x+k绕点1,0旋转180°，当x>4时，y随4．（2023·贵州铜仁·模拟预测）若实数a使得关于x的分式方程1−ax−1−1=21−x有正整数解，且使二次函数y=x2+a−2x+1当x>1►题型12根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围1．（2024汕头市一模）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数yx…−10123…y…105212…则当y<5时，x的取值范围是．2．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知二次函数y=2x2−4x+6，顶点坐标是()，当−2<x<3时，则函数y3．（2023·湖南邵阳·二模）已知如右图，平面直角坐标系中，一条直线y2与抛物线y1相交于A−32，1、B4．（2023·广西梧州·二模）如下图，直线y1=−x+b与抛物线y2=12x2+2x−3相交于A，B两点，点B

5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知二次函数y=ax2−3a+1x+3（1）若点1,−2在该函数的图象上，则a的值为；（2）当a=−1时，若−3≤x≤2，则函数值y的取值范围是．命题点二二次函数的图像与各项系数之间的关系►题型01二次函数的图像与各项系数符号1．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程ax2+bx+c=0有两实根x1=−1，x①2a+b=0；②抛物线y=ax2+bx+c③a<0；④若mam+b<4a+2bA．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示，该函数图象经过点−1,0，对称轴为直线x=2．对于下列结论：①abc<0；②a+c=b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为x+1x−5；④当m>−9a时，关于A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c①bc>0

②am2+bm≤a−b（④若Mx1,y、Nx2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a<0）的顶点为(1,2)．小烨同学得出以下结论：①abc<0；②当x>1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c=0的一个根为3，则a=−1A．①② B．②③ C．③④ D．②④►题型02根据二次函数的图像判断式子符号1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性；2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）.3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性.4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性.5）根据抛物线的对称轴可得−b6）特殊点代入确定a，b，c的关系.例：当x=±1时，；7）根据抛物线的顶点，判断4ac−1．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为−13,n，与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc>0；②5b+2c<0；③若抛物线经过点−6,y1,5,y2，则2．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=−1，则过点Mc,

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2024·四川·中考真题）二次函数y=ax2+bx+ca>0的图象如图所示，给出下列结论：①c<0；②−b2a>0；③A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．（2023·湖南娄底·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc<0；②4a−2b+c>0；③a−b>mam+b（m为任意实数）；④若点−3,y

A．①② B．①④ C．②③ D．②④QUOTE►题型03函数图像综合1．（2024·广东广州·中考真题）函数y1=ax2+bx+c与y2=kxA．x<−1 B．−1<x<0 C．0<x<2 D．x>12．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数y=x−2n+4，二次函数y=x2+(n−1)x−3，反比例函数y=n+1xA．n>−1 B．n>2 C．−1<n<1 D．1<n<23．（2022·湖北襄阳·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝ax在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

A． B． C．D．4．（2023·四川自贡·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y=A．B．C．D．命题点三二次函数与方程、不等式►题型01已知一元二次方程根的分布情况求参数1．（2023·四川南充·中考真题）抛物线y=−x2+kx+k−54与x轴的一个交点为A(m,0)，若−2≤m≤1A．−214≤k≤1 B．k≤C．−5≤k≤98 D．k≤−5或k≥2．（2023·四川泸州·中考真题）已知二次函数y=ax2−2ax+3（其中x是自变量），当0<x<3时对应的函数值yA．0<a<1 B．a<−1或a>3C．−3<a<0或0<a<3 D．−1≤a<0或0<a<33．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数y=ax2+2a−3x+a−1（xA．1≤a<98 C．0<a<98 4．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y