中考数学总复习中考数学专项提升第02讲 整式与因式分解(练习)(解析版)

第一章数与式第02讲整式与因式分解TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01实际问题中的代数式👉题型02求代数式的值👉题型03整式的相关概念👉题型04整式的加减👉题型05幂的混合运算👉题型06整式的乘除👉题型07利用乘法公式变形求解👉题型08乘法公式的应用👉题型09整式的化简求值-直接代入法👉题型10整式的化简求值-整体代入法👉题型11整式的混合运算👉题型12判断因式分解的正误👉题型13因式分解👉题型14因式分解的应用👉题型15判断整式运算或因式分解的错误步骤👉题型16图形类规律探索👉题型17数字类规律探索👉题型18数式中的新定义问题👉题型01实际问题中的代数式1．（2024·河南信阳·一模）某商场出售一件商品，在原标价基础上实行以下四种调价方案，其中调价后售价最低的是（

）A．先打九五折，再打九五折 B．先提价10%，再打八折C．先提价30%，再降价35% D．先打七五折，再提价10%【答案】D【分析】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．【详解】解：设原件为x元，选项A：∵先打九五折，再打九五折，∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，选项B：∵先提价10%，再打八折，∴调价后的价格为1+10%选项C：∵先提价30%，再降价35%，∴调价后的价格为=1+30选项D：∵先打七五折，再提价10%，∴调价后的价格为0.75x×1+10∵0.825x<0.845x<0.88x<0.9025x故选：D2．（2023·安徽池州·一模）某产品的成本价为a元，销售价比成本价增加了14%，现因库存积压，按销售价的八折出售，那么该产品的实际售价为（

）A．(1+14%)(1+0.8)a元 B．C．(1+14%)(1−0.8)a元 D．【答案】B【分析】根据售价与成本价之间的数量关系得到销售价，再根据销售价的八折得到实际售价．【详解】解：∵产品的成本价为a元，销售价比成本价增加了14%，∴产品销售价为：1+14%a∵因库存积压，按销售价的八折出售，∴产品的实际售价为：0.81+14%故选B．【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意，找出数量关系是解题的关键．3．（2022·贵州贵阳·一模）贵阳市“一圈两场三改”落地，幸福生活近在咫尺．周末，小高同学从家出发步行15min到达附近学校的运动场锻炼，较之前步行去城市运动中心少走了25min．已知小高同学步行的速度为每分钟am，则“一圈两场三改”后，小高同学少走的路程是（

）A．am B．10am C．15am D．25am【答案】D【分析】根据“路程=速度×时间”计算即可．【详解】解：根据题意，小高同学步行的速度为每分钟am，较之前步行去城市运动中心少走了25min，则少走的路程是：a×25=25am．故选：D．【点睛】本题主要考查了代数式的应用，解题关键是读懂题意，找准解题所需信息．4．（2024·安徽·模拟预测）公司有330台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共8辆．已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台、租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台、租车费用为280元．(1)设租用甲种货车x辆（x为非负整数），试填写下表．表一：租用甲种货车的数量/辆37x租用的甲种货车最多运送机器的数量/台135租用的乙种货车最多运送机器的数量/台150表二：租用甲种货车的数量/辆37x租用甲种货车的费用/元2800租用乙种货车的费用/元280(2)给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由．【答案】(1)表一：315，30，45x，−30x+240；表二：1200，400x，1400，−280x+2240(2)甲种货车6辆，乙种货车2辆【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的方程和不等式．（1）根据计划租用甲、乙两种货车共8辆．已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台、租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台、租车费用为280元，可以分别把表一和表二补充完整；（2）由（1）中的数据和公司有330台机器需要一次性运送到某地，列出不等式，求出x≥6，结合一次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：由题意可得，在表一中，当甲车7辆时，运送的机器数量为：45×7=315（台），则乙车8−7=1辆，运送的机器数量为：30×1=30（台），当甲车x辆时，运送的机器数量为：45×x=45x（台），则乙车8−x辆，运送的机器数量为：30×8−x在表二中，当租用甲货车3辆时，租用甲种货车的费用为：400×3=1200（元），则租用乙种货车8−3=5辆，租用乙种货车的费用为：280×5=1400（元），当租用甲货车x辆时，租用甲种货车的费用为：400×x=400x（元），则租用乙种货车8−x辆，租用乙种货车的费用为：280×8−x故答案为：表一：315，30，45x，−30x+240；表二：1200，400x，1400，−280x+2240．（2）解：能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲车6辆，乙车2辆，理由：当租用甲种货车x辆时，设两种货车的总费用为y元，则两种货车的总费用为：y=400x+−280x+2240又∵45x+−30x+240解得：x≥6，∵120>0，∴在函数y=120x+2240中，y随x的增大而增大，∴当x=6时，y取得最小值，即能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲种货车6辆，乙种货车2辆．👉题型02求代数式的值1．（2024·安徽·模拟预测）已知实数a，b，满足a−b=6，ab=−8，则a2b−ab【答案】−48【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，先把a2b−ab2进行因式分解，然后【详解】解：∵a−b=6，ab=−8，∴原式=aba−b故答案为：−48．2．（2024·江西·模拟预测）若x+82+y−7=0，则代数式【答案】1【分析】本题主要考查了代数式求值，平方和绝对值的非负性，熟知平方和绝对值的非负性是解题的关键．根据平方和绝对值的非负性求出x、y的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵x+8∴x+82=0∴x=−8，y=7，∴x+y故答案为：1．3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）若a是16的算术平方根，而b的算术平方根是16，则a+b=．【答案】260【分析】本题主要考查了算术平方根，代数式求值等知识点，熟练掌握算术平方根是解题的关键．先根据算术平方根的定义求出a、b的值，然后即可求出a+b的值．【详解】解：∵a是16的算术平方根，∴a=4，又∵b的算术平方根是16，∴b=256，∴a+b=4+256=260，故答案为：260．4．（2024·湖南·模拟预测）已知2x2−5x+1=0，则【答案】4【分析】本题考查了代数式求值，利用整体代入法是解题关键．由2x2−5x+1=0【详解】解：∵2x∴2x∴6x故答案为：4．5．（2024·北京·模拟预测）已知∶2x2−5x−11=0【答案】−24【分析】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．先由2x2−5x−11=0，由2x2【详解】解：∵2∴2原式=2x=−2=−=−11−13=−24．👉题型03整式的相关概念1．（2024·内蒙古包头·三模）若单项式−3x2y的系数是m，次数是n，则mnA．9 B．3 C．−3 D．−9【答案】D【分析】本题考查单项式，根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数可得m、n的值，进而可得mn的值．解题的关键是掌握单项式的相关定义．【详解】解：∵单项式−3x2y的系数是−3∴m=−3，n=3，∴mn=−3×3=−9，∴mn的值为−9．故选：D．2．（2024·云南楚雄·一模）按一定规律排列的单项式：x3，−4x5，9x7，−16A．−1n−1n2C．−1n−1n+12【答案】B【分析】本题考查了数字的变化类，分别从符号、系数与指数三个方面找规律，再计算即可．【详解】解：解：∵x3−4x9x−16x……由上可知，第n个单项式是：−1n+1故选：B．3．（2023·海南·模拟预测）多项式a2+4abA．三次三项式 B．二次三项式 C．三次二项式 D．二次二项式【答案】A【分析】本题考查多项式的项数和次数，根据多项式的项数为单项式的个数，次数为最高项的次数，进行作答即可．【详解】解：多项式a2故选A．4．（2024·江西九江·三模）若关于x，y的多项式x2−2x【答案】6【分析】本题考查了多项式的系数，根据题意直接列式1−2+●=5，即可求解．【详解】解：由题意得：1−2+●=5，解得：●=6，故答案为：6．👉题型04整式的加减1．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图1，将边长为m的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“2”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（

）A．2m−4n B．2m−3n C．4m−8n D．4m−6n【答案】C【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算等知识．正确表示新矩形的长和宽是解题的关键．由题意知，剪下的两个小矩形的长为m−n，宽为m−3n2，则新矩形的长为m−n，宽为m−3n【详解】解：由题意知，剪下的两个小矩形的长为m−n，宽为m−3n2∴新矩形的长为m−n，宽为m−3n，∴新矩形的周长可表示为2m−n故选：C．2．（2024·河南周口·三模）如果单项式：2xym与12x【答案】1【分析】此题考查同类项定义，根据两个单项式的和仍为单项式可得2xym与12xn【详解】解：∵2xym与∴2xym与m=2,n=1，∴−nm故答案为：1．3．（2024·山东临沂·模拟预测）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串m，n，n−m；第2次操作后得到整式串m，n，n−m，−m；第3次操作后…其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是．【答案】2n【分析】本题考查了整式的加减．先逐步操作前几次，找到规律，再计算即可．【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，n−m；第2次操作后得到整式串m，n，n−m，−m；第3次操作后得到整式串m，n，n−m，−m，−n；第4次操作后得到整式串m，n，n−m，−m，−n，−n+m；第5次操作后得到的整式串m，n，n−m，m，−n，−n+m，m；第6次操作后得到的整式串m，n，n−m，−m，−n，−n+m，m，n；第7次操作后得到的整式串m，n，n−m，−m，−n，−n+m，m，n，n−m；⋅⋅⋅⋅⋅⋅归纳可得：以上整式串每六次一循环，∵2023÷6=337⋅⋅⋅1，∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等，∴这个和为m+n+n−m=2n，故答案为：2n．4．（2024·河北邢台·模拟预测）在计算题：“已知，M=□，N=2x2−4x+3求2M−N”时，嘉琪把“2M−N”看成“M−2N(1)求整式M；(2)若x≠12，请比较2M与【答案】(1)3x(2)2M>N，理由见解析．【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出N．（2）写出确定的2M−N，即可得出结论．【详解】（1）∵M−2N=−x2+4x−4∴M=−x（2）2M>N，理由：∵M=3x2−4x+2∴2M−N=23∵x≠1∴2x−12∴2M>N．5．（2024·河北秦皇岛·一模）已知整式a2+ab−★ab−b2−5(1)则★所表示的数字是多少？(2)嘉淇说该代数式的值一定是正的，你认为嘉淇的说法对吗？说明理由．【答案】(1)★=3(2)嘉淇的说法是正确的，理由见解析．【分析】（1）把a=3，b=−2代入整式得9−6−（2）把（1）中所得的结果代入整式，化简后再利用完全平方公式即可求解；本题考查了整式的运算，完全平方公式，掌握整式的运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：将a=3，b=−2代入a29−6−即3+6★+9=30，解得★=3；（2）解：嘉淇的说法是正确的，理由如下：由（1）求得的结果可得该整式为a2∵a−b2∴a−b2∴嘉淇的说法是正确的．👉题型05幂的混合运算1．（2024·河北·模拟预测）下列运算中，与2a2b⋅A．2b⋅2ab2 B．−8a2+b【答案】A【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项、积的乘方，根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项、积的乘方的运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：2aA、2b⋅2abB、−8a2和C、−2a2D、−2故选：A．2．（2020·四川乐山·中考真题）已知3m=4，32m−4n=2．若9nA．8 B．4 C．22 D．【答案】C【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由32m−4n【详解】∵32m−4n依题意得：4x2=2∴4x∴x=故选：C．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形．3．（2023·湖北襄阳·模拟预测）a32【答案】2【分析】先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类项即可．【详解】解：a===2故答案为：2a【点睛】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．4．（2024·广东江门·一模）计算：(1)2024+(2)−a【答案】(1)2(2)5【分析】本题主要考查了整式的运算，实数混合运算；（1）先计零指数幂，化简二次根式，负整数幂，代入三角函数值，再计算加减即可；（2）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可．【详解】（1）解：原式=1−3=1−3+4=2；（2）解：原式=−==5a👉题型06整式的乘除1．（2024·陕西渭南·模拟预测）下列计算错误的是（）A．2m2m+1C．m2n−2mn【答案】C【分析】本题主要考查单项式乘多项式、幂的运算、合并同类项，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据单项式乘多项式、积的乘方、合并同类项及同底数幂的除法运算法则逐一判断即可．【详解】解：A、2mB、(−3mC、m2D、m6故选：C．2．（2024·河北·模拟预测）已知一台计算机的运算速度为1.2×109次/秒，这台计算机9×10A．10.8×1012 B．1.08×1014 C．【答案】D【分析】此题考查了科学记数法，单项式的乘法以及同底数幂的乘法．根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可．【详解】解：计算机工作9×101.2×==10.8×=1.08×10故选：D．3．（2024·湖北武汉·模拟预测）若m×4x2y2=12A．4x−3y B．−4x+3y C．4x+3y D．−4x−3y【答案】B【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据一个因数等于积除以另一个因数，即可解答．【详解】解：∵m×4x∴m=12故选：B．4．（2023·陕西西安·二模）先化简，再求值：x+2yx−2y+x+2y2−2xy【答案】x+y，−3【分析】先利用完全平方公式，平方差公式与单项式乘多项式运算法则去掉括号，然后再合并同列项计算，最后代入x，y计算即可．【详解】解：x+2yx−2y===x+y，当x=5，y=−8时，原式=5+−8【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则．5．（2024·河北·模拟预测）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（m>n）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的32(1)求m与n的关系；(2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积．【答案】(1)m=4n(2)26【分析】本题考查列代数式、整式的加减、多项式乘多项式、代数式求值，看懂图形，正确列出代数式是解答的关键．（1）先根据图形，用m、n表示出矩形的长、宽，再根据长和宽的关系可得结论；（2）根据图形，用m、n表示出大矩形的面积，进而求得n2【详解】（1）解：由题意，大矩形的长为m+5n，宽为m+2n，∵大矩形的长是宽的32∴m+5n=3化简，得m=4n；（2）解：∵大矩形的面积为m+2nm+5n=m∴16n解得n2∴阴影部分的面积为18−7mn=18−28n👉题型07利用乘法公式变形求解1．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知a+b=7,ab=6，则(a−b)2−6(b−a)+9=【答案】4或64/64或4【分析】先根据完全平方公式求出a−b的值，再将要求的代数式利用完全平方公式变形，最后代入求值即可．本题考查了代数式求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．【详解】解：∵a+b=7,∴即a∵ab=6,∴∵∴∴∴∴a−b=±5,∴==当a−b=5时，原式=5+3当a−b=−5时，原式=−5+3综上，a−b2故答案为：4或64．2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）若x1，x2是方程x【答案】2024【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x【详解】解：∵x1，x∴x1+x∴x1故答案是：2024．3．（2024·浙江宁波·二模）已知a−b=b−c=−1，a2+b2【答案】1【分析】本题考查完全平方公式，根据a−b=b−c=−1，推出a−c=−2，求出a−b2+b−c【详解】解：∵a−b=b−c=−1，∴a−c=a−b+b−c=−1−1=−2，∴a−b=2∵a∴1+1+4=2×∴ab+bc+ac=1故答案为：134．（2024·河南安阳·模拟预测）阅读与思考：若m+n=1，mn=−6，则由完全平方公式a+b2=a已知1x+1y=3【答案】5【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是关键，根据完全平方公式得出1x【详解】解：∵1x∴1==9−4=5．👉题型08乘法公式的应用1．（2024·广西南宁·模拟预测）阅读材料：例：求代数式2x解：2x可知：当x=−1时，2x2+4x−6根据上面的方法可求多项式a2+b【答案】5【分析】本题考查配方法求多项式的最值，读懂题意，利用完全平方公式配方将多项式化为a−22【详解】解：a=a=a−2∵a−2∴多项式a2+b故答案为：5．2．（2024·河北唐山·模拟预测）探究活动：（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式．知识运用：（4）用合理的方法计算：7.52【答案】（1）a2−b2；（2）a+b【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键．（1）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积差即可求解；（2）分别表示出阴影部分的长和宽，由面积公式就可求出面积即可；（3）根据阴影部分的面积相等建立等式即可；（4）根据平方差公式进行计算即可求解．【详解】（1）解：根据阴影部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积，即a2故答案为：a2（2）解：由图可知矩形的长是a+b，宽是a−b，所以面积是a+ba−b故答案为：a+ba−b（3）解：根据阴影部分面积相等可得：a2故答案为：a2（4）解：7.5===5×10×1.6=80．3．（2024·河北石家庄·二模）现有如图1所示的甲、乙、丙三种卡片，卡片的边长如图所示a>b.如图2，用1张甲、1张乙和2张丙卡片可以拼成一个边长为a+b的正方形，用两种方式表示该正方形面积可以得到等式：a+b2【发现】（1）如图3，嘉淇用这三种卡片拼成一个长为2a+b，宽为a+2b的矩形，仿照例子写出一个关于a，b的等式；（2）嘉淇还发现拼成矩形所需卡片的张数和整式的乘法计算结果中各项的系数有关.根据嘉淇的发现，若要用这三种卡片拼成一个长为a+2b，宽为a+b的矩形，不画图形，试通过计算说明需要丙种卡片多少张？【应用】（3）现用甲种卡片1张，乙种卡片4张，丙种卡片m张（m为正整数），拼成一个矩形，直接写出m所有可能的值.

【答案】（1）2a+ba+2b【分析】此题考查多项式的乘法与图形的面积，数形结合是解题的关键.（1）由图3，用两种方法表示矩形的面积，即可得到答案；（2）由a+2ba+b=a（3）甲卡片面积为a2，系数为1，乙种卡片4张，面积为4b2，系数为4，丙种卡片m张，即ab【详解】（1）嘉淇用这三种卡片拼成一个长为2a+b，宽为a+2b的矩形，则面积表示为2a+ba+2b，还可以看作2张甲、2张乙和4张丙卡片拼成的，则面积表示为2∴2a+ba+2b（2）由题意可知矩形的面积为a+2ba+b∵每张丙种卡片的面积为ab，∴需要丙种卡片3张；（3）甲种卡片1张，乙种卡片4张，丙种卡片m张（m为正整数），拼成一个矩形，可知，甲卡片面积为a2，系数为1，乙种卡片4张，面积为4b2，系数为4，丙种卡片m张，即ab∴矩形的面积为：①a2+mab+4b②a2+mab+4b综上可知，m所有可能的值为4或5.4．（2023·山东青岛·二模）“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：实例一：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之…，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如实例图一），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．他利用直角边为a和b，斜边为c的四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形（如实例图一），由S大正方形=4S直角三角形+

实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程x2+ax=b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a2，AC=

根据以上阅读材料回答下面的问题：(1)如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是______．乙图要证明的数学公式是______；

(2)如图2，利用欧几里得的方法求方程x2

(3)如图3，已知⊙O，AB为直径，点C为圆上一点，过点C作CD⊥AB于点D，连接CO，设DA=a，BD=b，请利用图3证明：a+b2

【答案】(1)完全平方公式，平方差公式(2)2(3)证明过程见解析【分析】（1）利用面积法解决问题即可；（2）如图2，由勾股定理求得AB的长，即可求得AD的长，即可解决问题；（3）如图3，证明△ACD∼△CBD，可得CD2=AD⋅BD【详解】（1）解：由题意可得：S甲=a+b∴a+b2S乙=a∴a2=a−b∴甲图要证明的数学公式是完全平方公式，乙图要证明的数学公式是平方差公式，故答案为：完全平方公式，平方差公式；（2）解；如图，由题意可得：x2∴BC=42=2，AC=2∴AB=22+∴方程x2+4x−4=0的一个正根为：

（3）解：连接AC、BC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠BCD+∠CBD=90°，∴∠CAB=∠BCD，又∵∠ADC=∠CDB=90°，∴△ACD∼△CBD，∴CDBD=AD∵DA=a，BD=b，∴CD=ab在Rt△COD中，OC∴OC2≥C又∵OC=a+b∴a+b2

【点睛】本题考查完全平方公式、平方差公式、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，理解题意，学会利用面积法解决问题，学会用数形结合的思想解决问题是解题的关键．👉题型09整式的化简求值-直接代入法1．（2024·广东汕头·一模）已知1−a+2b−12=0，则【答案】−3【分析】本题考查了算术平方根以及平方的非负性，已知字母的值求代数式的值，据此列式1−a=0，2b−1=0，算出a，【详解】解：∵1−a+∴1−a=0，∴a=1，则2a+4b−7=2×1+4×1故答案为：−3．2．（2024·青海西宁·二模）先化简，再求值：(x−2y)2+2x−yx+y−3x【答案】2xy+2y2【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项完成化简，然后将x=2，y=−1代入求值即可．【详解】解：原式==2xy+2y当x=2，y=−1时，原式=2×2×=−4+2=−2．3．（2024·吉林长春·三模）先化简，再求值：x+2y2−x+2yx−2y÷4y【答案】x+2y，5【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，先根据混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入求解即可．【详解】解：x+2y====x+2y，当x=1，y=5−124．（2024·广东东莞·一模）求代数式2x−y2【答案】2y2【分析】本题考查了整式的混合运算−化简求值，绝对值和算术平方根的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用完全平方公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【详解】解：2=2(=2=2y∵x−3∴x−3=0，x+y=0，解得：x=3，y=−3，∴当x=3，y=−3时，原式=2×(−3)👉题型10整式的化简求值-整体代入法1．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知a2+3ab=5，则(a+b)(a+2b)−2b【答案】5【分析】本题考查整式的化简求值，把要求的式子展开化简后，利用整体思想求值即可．【详解】∵a2∴(a+b)(a+2b)−2b故答案为：5．2．（2023·江苏盐城·模拟预测）若b+a=3，则9−6a+a2−【答案】0【分析】本题考查了完全平方公式以及已知式子的值，求代数式的值，先整理9−6a+a2−b2【详解】解：9−6a+==∵b+a=3∴a−3=−b把a−3=−b代入a−32得−b故答案为：03．（2024·福建福州·模拟预测）若实数m满足m−12+(m−2)2=3【答案】1【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，正确运用整式的混合运算法则对代数式进行变形成为解题的关键．由m−12+(m−2)2=3可得m【详解】解：∵m−12∴m2−2m+1+m∴m−1m−2故答案为1．4．（2024·江苏徐州·模拟预测）关于x的一元二次方程ax2+bx−3=0的一个根是x=1，则代数式2027−a−b【答案】2024【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式求值，根据一元二次方程解的定义得到a+b=3，再整体代入即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx−3=0∴a+b−3=0，则a+b=3，∴2027−a−b=2027−故答案为：2024👉题型11整式的混合运算1．（2024·河北·模拟预测）下列运算正确的是（

）A．a+12=aC．a+1+a−1=2a【答案】C【分析】本题考查整式的乘法公式及加减运算，根据完全平方公式和平方差公式及整式加减运算法则逐一计算判断即可．【详解】解：A．a+12B．a−12C．a+1+D．a+1a−1故选：C．2．（2024·广东广州·二模）已知T=2a+3b(1)化简T；(2)若a，b互为相反数，求T的值．【答案】(1)a(2)0【分析】本题主要考查整式的化简以及求值，熟练掌握平方差公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的规则是解题的关键．（1）利用平方差公式，单项式乘以多项式规则展开后，合并同类项即可；（2）根据a，b互为相反数，得b=−a，代入第（1）问化简的式子即可求解．【详解】（1）T===4=（2）∵a，b互为相反数，∴b=−a，∴T=a3．（2024·河北邯郸·二模）数学课上，老师给出一个整式ax2+bx−x+1x−1（其中a，(1)甲同学给出一组数据，最后计算结果为x+12，请分别求出甲同学给出的a，b(2)乙同学给出了a=5，b=−4，请按照乙同学给出的数值说明该整式的结果为非负数．【答案】(1)a=2，b=2(2)证明见解析【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握整数的混合运算步骤，特别是公式法是解题的关键．（1）根据题意得出ax（2）代入化简，然后配方成完全平方式证明即可．【详解】（1）解：由题意，得：ax化简，得：ax即a−1x∴a−1=1，且b=2，∴a=2，b=2；（2）当a=5，b=−4时，a=a−1=4=2x−12即该整式的结果为非负数．4．（2024·河北张家口·三模）如图1，2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式．(1)求代数式M；(2)嘉嘉说，无论x取什么值，M的值一定大于N的值，嘉嘉的说法是否正确？请通过计算说明．【答案】(1)x(2)嘉嘉的说法正确，理由见解析；【分析】本题考查的是整式的混合运算，平方差公式的应用，理解题意是关键；（1）根据加法的意义列式计算即可；（2）先求解N，再计算M−N与0比较大小，从而可得答案．【详解】（1）解：由题意可得：M=2=2=x（2）嘉嘉的说法正确；理由如下：由题意可得：N===x∵M−N===1>0，∴M>N．👉题型12判断因式分解的正误1．（2024·安徽阜阳·模拟预测）下列因式分解正确的是（

）A．x2+1=x+1C．2x2−2=2【答案】C【分析】根据因式分解的定义及方法逐项分析即可．本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．【详解】解：选项A，B中的等式不成立；选项C中，2xD选项中，多项式x2故选C．2．（2022·河北·一模）下列关于4a+2的叙述，错误的是（

）A．4a+2的次数是1 B．4a+2表示a的4倍与2的和C．4a+2是多项式 D．4a+2可因式分解为4(a+1)【答案】D【分析】根据多项式的项、次数及多项式的因式分解的条件即可得出答案．【详解】解：A.4a+2的次数是1，故答案正确；B.4a+2表示a的4倍与2的和，故答案正确；C.4a+2是多项式，故答案正确；D.4a+2进行因式分解为：2(2a+故选D．【点睛】本题考查了多项式项、次数及多项式的因式分解，熟知多项式的项和次数，多项式可因式分解的条件是解题的关键．3．（2024·河北秦皇岛·一模）对于①2x−xy=x2−y，②x−32=A．都是因式分解 B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解【答案】C【分析】此题考查了因式分解和整式乘法的概念，熟练掌握有关概念是解题的关键．根据因式分解和整式乘法的有关概念，对式子进行判断即可．【详解】解：①2x−xy=x2−y②x−32故选：C．4．（2023·河北石家庄·二模）数学学习中常见互逆运算，例如加法和减法互为逆运算，乘法和除法互为逆运算，分解因式和整式乘法也是互逆运算．请回答下列问题：(1)①a(2)小红是一名密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：a−b，x−y，【答案】(1)②③(2)我爱四十【分析】（1）根据因式分解的定义即可求解；（2）观察式子特点，首先提取公因式将待求式变形，接下来根据平方差公式进行分解因式，将结果与已知中所表示的意义相结合即可解答本题．【详解】（1）解：②③（2）解：提取公因式，利用平方差公式得：x2所以对应的四个字可能是“我爱四十”．【点睛】本题主要考查了因式分解法的应用，掌握公式法分解因式是解题的关键．👉题型13因式分解1．（2024·湖北恩施·模拟预测）把a2b−2abA．ba2−2ab+b2 B．a2【答案】C【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式分解因式得到结果，即可做出判断．【详解】解：原式=b(=b(a−b)故选：C2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）把多项式3a2b−12ab+12b【答案】3b【分析】题目主要考查利用提公因式法及公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解方法是解题关键．先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：3a故答案为：3ba−23．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知x+3x−2+xx−2可因式分解成(ax+b)(2x+c)，其中a，b，c【答案】−1【分析】本题考查因式分解，将(x+3)(x−2)+x(x−2)进行因式分解后，求出a,b,c的值，代入代数式计算即可．【详解】解：∵x+3x−2又x+3x−2+xx−2∴a=1,b=−2,c=3，∴(a+b)c4．（2024·浙江宁波·模拟预测）用两种不同的方法计算：a+22【答案】2a+4【分析】本题考查了完全平方公式，提公因式法进行因式分解等知识．熟练掌握完全平方公式，提公因式法进行因式分解是解题的关键．根据完全平方公式，提公因式法进行因式分解，求解作答即可．【详解】解：方法一：a+2==2a+4．方法二：a+2==2a+4．👉题型14因式分解的应用1．（2024·山西长治·模拟预测）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式a4−b4因式分解的结果是a−ba+ba2+b2，若取a=8，b=8时，则各个因式的值是：a−b=0，a+b=16，a2+b【答案】111213【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键．由题意知，27a【详解】解：27a当a=4，b=1时，3a−b=12−1=11，3a=12，3a+b=12+1=13，∴密码为111213，故答案为：111213．2．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若4n3−3n−2（n正整数，且0<n<500）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为【答案】5485【分析】本题考查了因式分解的应用，解一元二次方程-公式法，解题关键在于读懂题意，理解新定义．4n3−3n−2(n为正整数)等于两个连续正奇数的乘积，设较小的正奇数为m【详解】解：∵4n3−3n−2设较小的正奇数为m，则另一个正奇数为m+2(m>0)，∴4n∴m利用求根公式得：m=4n3∴当m=4n3∵4n∴m=4∵m为正奇数，∴m为整数，∴n−1也必须为整数，为偶数，令2p=n−1，p∴n=4p∵4>0∴抛物线开口向上，且对称性为y轴，当p>0时，n随p的增大而增大，∵p为正整数∴当p=1时，n有最小值为n=4p2∵当p=10时，n=401(不符合题意，舍去)，当p=11时，n=485，当p=12时，n=577，∵0<n<500，∴当p=11时，n的最大值是485，∴“彗星数”n的最小值为5，最大值为485．故答案为：5，485．3．（2024·山西运城·模拟预测）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2【答案】直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形，理由见解析【分析】此题考查了勾股定理的逆定理、因式分解、等腰三角形的定义，熟练掌握这些性质是解题的关键．首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．【详解】解：∵a2∴a4∴a4∴a2∴a2∴a2∵a+b>0，则解得：a2+b即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．4．（2024·河北·模拟预测）有一列数：4，12，20，…．这些正整数都能表示为两个连续偶数的平方差，我们把这样的正整数称为“好数”．如：第1个数：4=2第2个数：12=4第3个数：20=6…(1)设两个连续偶数为2k和2k−2（其中k取大于1的整数），由这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数吗？请通过计算加以说明？(2)2024是“好数”吗？请通过计算判断，如果是，它是第几个“好数”；如果不是，写出小于它的最大“好数”．【答案】(1)是，理由见解析(2)不是，2020【分析】本题主要考查了因式分解的应用、解一元一次方程等知识点，掌握“好数”的定义成为解题的关键．（1）因式分解2k2−2k−22可得（2）令42k−1=2024,解得：k=253.5.易得2024不是“好数”，再取k=253,代入【详解】（1）解:这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数,理由如下：2k2∵2k−1为奇数,∴由这两个连续偶数构造的“好数”为4的倍数.（2）解：令42k−1=2024,解得：∵253.5不为整数，∴2024不是“好数”.取k=253,代入42k−1∴小于2024的最大“好数”是2020．👉题型15判断整式运算或因式分解的错误步骤1．（2024·江西南昌·模拟预测）下面是小华同学计算多项式乘以多项式的过程，请认真阅读并完成相应任务．（1）计算：(2a−3b)(2a+3b)．解：原式=(2a)（2）计算：(2a−3b)(a+3b)．解：原式=2a任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”）任务二：请判断小华（2）的解答是否正确，若错误，请直接写出（2）中计算的正确答案．任务三：计算：(2a−3b)2【答案】任务一：平方差公式；任务二：不正确，2a2+3ab−9【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算和掌握平方差公式是解题的关键．任务一：根据解题过程，可以判断①中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式；任务二：式子不符合平方差公式，用多项式乘多项式计算即可求解；任务三：利用完全平方公式计算即可求解．【详解】解：任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式；故答案为：平方差公式；任务二：小华（2）的解答是不正确，(2a−3b)(a+3b)=2=2a任务三：(2a−3b)=4a2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知多项式A=(1)在化简多项式A时，小明同学的解题过程如下所示．A=a+22=在标出①②③④的几项中出现错误的是______；请你写出正确的解答过程；(2)淇淇说：“若给出a与b互为相反数，即可求出多项式A的值．”嘉嘉说：“若给出a与b互为倒数，即可求出多项式A的值．”请你判断哪个同学说得对，并按此同学赋予的条件求A的值．【答案】(1)①；过程见解析(2)淇淇说得对，−5【分析】此题考查了整式的混合运算和倒数、相反数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．（1）通过计算化简该算式进行判断、求解；（2）分别令a与b互为相反数和互为倒数倒数进行计算、辨别．【详解】（1）出现错误的是①，∵A===出现错误的是①，故答案为：①；（2）淇淇说得对，当a与b互为相反数时，多项式A==a(a+b)−5=0×a−5=−5；当a与b互为倒数时，多项式A===淇淇说得对．3．（2022·山西大同·二模）（1）−1（2）下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．因式分解：3a+b解：原式=9a=8a2=8a2任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是___________公式；②第三步进行因式分解用到的方法是___________法．任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______________________．任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程．【答案】（1）0；（2）任务一：①完全平方；②提公因式；任务二：因式分解不彻底（或a2−【分析】（1）先根据绝对值的意义，零指数幂、负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值进行化简，然后再进行运算即可；（2）按照给出的解答过程，进行分析解答即可．【详解】（1）解：原式=1−1+2−2×1=0．（2）任务一：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是完全平方公式；②第三步进行因式分解用到的方法是提公因式法；任务二：小明因式分解的结果不彻底，a2任务三：原式=[(3a+b)+(a+3b)][(3a+b)−(a+3b)]=(4a+4b)(2a−2b)=8(a+b)(a−b)故答案为：任务一：①完全平方；②提公因式；任务二：因式分解不彻底（或a2−b2还可以进行因式分解）；任务三：8(a+b)(a−b)．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，因式分解，熟练掌握实数混合运算法则，平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．4．（2023·浙江嘉兴·一模）因式分解3x+y2小禾的解法：3x+y=3x+y+x+3y=4x+4y2x+4y=8x+yx+2y小禾的检验：当x=0，y=1时，x+−x+3y=12=1−9

=16∵−8≠16∴分解因式错误任务：(1)小禾的解答是从第______步开始出错的，错误的原因是____________．(2)请尝试写出正确的因式分解过程．【答案】(1)②，y与−3y合并同类项计算错误(2)8x+y【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．（1）根据平方差公式因式分解时，减去x+3y时，合并同类项出错；（2）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可求解．【详解】（1）解：小禾的解答是从第②步开始出错的，错误的原因是y与−3y合并同类项计算错误；故答案为：②，y与−3y合并同类项计算错误；（2）解：正确的因式分解过程如下：3x+y===8x+y👉题型16图形类规律探索1．（2024·贵州贵阳·一模）如图，三角数是能够组成大大小小等边三角形的点的数目，当n=1时，三角数为1，当n=2时，三角数为3，则当n=10时，三角数为（

）A．100 B．110 C．55 D．50【答案】C【分析】本题考查了列代数式，解答本题的关键是根据题目中的图形，可以发现正三角数的变化情况，从而可以求得第10个图案中的三角数．【详解】解：当n=1时，三角数为1，当n=2时，三角数为1+2=3，当n=3时，三角数为1+2+3=6，当n=4时，三角数为1+2+3+4=10，……，当n=10时，三角数为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，故选：C．2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是．【答案】22【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子的个数依次增加2是解题的关键．根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．【详解】由所给图形可知，第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4=1×2+2；第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6=2×2+2；第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8=3×2+2；第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：10=4×2+2；…，所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为2n+2个，当n=10时，2n+2=22（个），即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个．故答案为：22．3．（2024·山西·模拟预测）榫卯被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，是中国传统木艺的灵魂．下图结构为固定榫槽的连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当连接结构数分别有1个和2个时，总长度如图所示，则当有n个连接结构时，总长度为cm．

【答案】3n+2/2+3n【分析】本题考查了通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．当连接结构数为1时，总长度为5cm，当连接结构数为2时，总长度为8cm，则每增加1个连接结构，总长度增加3cm，结合图可知，每个连接结构的长度为3+2=5cm，因此得到当连接结构数为【详解】解：当连接结构数为1时，总长度为5cm，当连接结构数为2时，总长度为8cm，则每增加1个连接结构，总长度增加3cm∴当连接结构数为1时，总长度为3×1+2=5cm当连接结构数为2时，总长度为3×2+2=8cm⋮当连接结构数为n时，总长度为3n+2cm故答案为：3n+2．4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为1×2，“★”的个数为2×32，图案2中“☆”的个数为2×3，“★”的个数为3×42，图案3中“☆”的个数为3×4，“★”的个数为(1)图案5中“☆”的个数为；(2)图案n中，“★”的个数为；（用含n的式子表示）(3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的23，求n【答案】(1)30(2)n+1(3)n的值为6【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“☆”和“★”个数变化的规律是解题的关键．（1）根据所给图形，发现“☆”个数变化的规律即可解决问题；（2）根据所给图形，发现“★”个数变化的规律即可解决问题；（3根据（1）（2）中发现的规律列方程，解方程即可解决问题．【详解】（1）第1个图案中“☆”的个数为1×2；第2个图案中“☆”的个数为2×3；第3个图案中“☆”的个数为3×4；……第n个图案中“☆”的个数为nn+1即图案5中“☆”的个数为5×6=30故答案为：30（2）由题知，第1个图案中“★”的个数为2×32第2个图案中“★”的个数为3×42第3个图案中“★”的个数为4×52……第n个图案中“★”的个数为(n+1)(n+2)2故答案为：(n+1)(n+2)2（3）由题知，(n+1)(n+2)2=解得n=−1或6，因为n为正整数，所以n=6．故正整数n的值为6．👉题型17数字类规律探索1．（2024·湖南·模拟预测）有一组数，按以下规律排列∶−12，1，【答案】−1【分析】本题考查找规律，根据所给的这列数，将他们形式化统一，从符号、分子、分母三个方面找寻规律即可得到答案，熟练掌握常见数字规律是解决问题的关键．【详解】解：一列数−符号规律：奇数项为正、偶数项为负，故−1n分子规律：从第二项开始，后一项与前一项的差是4，故4n−3；分母规律：n2综上所述，这列数的规律是−1n故答案为：−1n2．（2024·山西·模拟预测）在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示，即21=2,22【答案】6【分析】本题考查了数字类变化规律，由题意得2n个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现，结合2024÷4=506【详解】解：由题意得，2n个位数字每四个数按2，4，8，6∵2024÷4=506，∴22024的个位数字与24相同，是故答案为：6．3．（2024·湖南·二模）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．

根据此规律确定a的值为，b的值为，x的值为．【答案】91069【分析】本题考查了数字类规律探究，可得规律6b=60，x=6b+a，即可求解；找出规律是解题的关键．【详解】解：根据题意得6b=60，解得：b=10，∴a=b−1=10−1=9．∴x=6b+a=60+9=69．4．（2024·安徽·模拟预测）【观察·发现】给出一些按一定规律排列的等式：第1个等式：4×1×2+1=2×1+1第2个等式：4×2×3+1=2×2+1第3个等式：4×3×4+1=2×3+1…【归纳·证明】根据上述等式的规律，解答下列问题：(1)写出第5个等式：_________；(2)试猜想第n个等式，并证明．（用含n的式子表示，n为正整数）【答案】(1)4×5×6+1=(2)4×n×n+1【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明．【详解】（1）解：依题意，第3个等式：4×3×4+1=2×3+1∴第4个等式：4×4×5+1=2×4+1∴第5个等式：4×5×6+1=2×5+1故答案为：4×5×6+1=（2）解：依题意，第n个等式：4×n×n+1证明：左边=4×n×=4=2n+1右边=∴左边=右边．∴等式成立．👉题型18数式中的新定义问题1．（2024·陕西汉中·二模）对于任意的实数a、b，定义运算a☆b=ab+1，当x为实数时，x+1☆x−3A．x2−x−2 B．x2−2x−3 C．【答案】A【分析】本题主要考查了新定义运算下的计算，正确掌握运算公式是解题的关键．根据新定义的运算将x+1☆【详解】根据新定义运算a☆b=ab+1可得x+1☆故原式==故选A．2．（2024·河北保定·一模）定义一种新运算，规定Fa,b=ab，例(1)已知A=Fx+2y,x−2y，B=F4y,x−2y，分别求A，(2)通过计算比较A与B的大小．【答案】(1)A=x2(2)A≥B【分析】本题考查了整式的乘法运算，加减运算及平方差公式，正确理解题目中给出的运算符号是解题关键．（1）根据题目中给出的新运算符号的意义，进行解答即可；（2）根据题目中给出的新运算符号的意义，算出A、B的结果再相减进行比较即可．【详解】（1）解：A=Fx+2y,x−2yB=F4y,x−2y（2）解：A−B=x∵x−2y2∴A≥B．3．（2024·陕西西安·模拟预测）【定义新知】如果a,b,c是整数，且ac=b，那么我们规定一种记号a,b=c，例如4【尝试应用】（1）2,8=【拓展提升】（2）若k、m、n、p均为整数，且k,9=m,k,27=n,【答案】（1）3；（2）证明见解析【分析】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算：（1）根据新定义求解即可；（2）根据新定义得到km=9，kn=27，【详解】解：（1）∵23∴2,8=3故答案为：3；（2）∵k,9=m,∴km∴km∴km⋅k∴m+n=p．4．（2024·浙江·模拟预测）对于实数a,b，定义新运算“⊕”，规定如下：a⊕b=如1⊕2=(1)求3⊕5的值；(2)若x为某一个实数，记x⊕3的值为m，1⊕2−x的值为n，请你判断m−n的值是否与x【答案】(1)3⊕5的值是19(2)m−n的值是否与x的取值无关，证明见解析【分析】此题考查了整式加减方面新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行计算、辨别．（1）按照题目运算定义进行代入、求解；（2）先运用运算定义表示出m，n的值，再通过计算m−n进行辨别．【详解】（1）由题意得，3⊕5===49−30=19，即3⊕5的值是19；（2）m−n的值是否与x的取值无关，证明：由题意得，m=x⊕3====xn=1⊕(2−x)====x∴m−n=(==4，∴m−n的值是否与x的取值无关．1．（2023·四川德阳·中考真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式中m，n，n−m；第2次操作后得到整式中m，n，n−m，−m；第3次操作后…其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（

）A．m+n B．m C．n−m D．2n【答案】D【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：m+n+n−m−m−n−n+m=0，结合2023÷4=505⋅⋅⋅3，从而可得答案．【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，n−m；第2次操作后得到整式串m，n，n−m，−m；第3次操作后得到整式串m，n，n−m，−m，−n；第4次操作后得到整式串m，n，n−m，−m，−n，−n+m；第5次操作后得到整式串m，n，n−m，−m，−n，−n+m，m；⋅⋅⋅⋅⋅⋅归纳可得：以上整式串每六次一循环，∵2023÷6=337⋅⋅⋅1，∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等，∴这个和为m+n+n−m=2n，故选D【点睛】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键．2．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数M=abcd，若满足a+d=b+c=9，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵1+8=2+7=9，∴1278是“友谊数”．若abcd是一个“友谊数”，且b−a=c−b=1，则这个数为；若M=abcd是一个“友谊数”，设FM=M9，且【答案】34566273【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到a+d=b+c=9，再由b−a=c−b=1可求出a、b、c、d的值，进而可得答案；先求出M=999a+90b+99，进而得到FM+ab+cd13=9a+8+3a+b+613，根据FM+【详解】解：∵abcd是一个“友谊数”，∴a+d=b+c=9，又∵b−a=c−b=1，∴b=4，∴a=3，∴这个数为3456；∵M=abcd∴M=1000a+100b+10c+d=1000a+100b+10=999a+90b+99，∴FM∴F=====9a+8+3a+b+6∵FM∴9a+8+3a+b+613是整数，即∴3a+b+6是13的倍数，∵a、b、c、d都是不为0的正整数，且a+d=b+c=9，∴a≤8，∴当a=8时，31≤3a+b+6≤38，此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意；当a=7时，28≤3a+b+6≤35，此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意；当a=6时，25≤3a+b+6≤32，此时可以满足3a+b+6是13的倍数，即此时b=2，则此时d=3，∵要使M最大，则一定要满足a最大，∴满足题意的M的最大值即为6273；故答案为：3456；6273．3．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．提出问题销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？分析问题某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，n>k≥3，d>0），如图1所示．小明设计了如下三种铲籽方案．方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．解决问题在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．【答案】分析问题：方案1：(n−1)d；2k；2(n−1)dk；方案2：2(k−1)dn；方案3：22【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为d2+d22=2d2解决问题：利用作差法比较三种方案即可．题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键．【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，∴每行铲的路径长为(n−1)d，∵每列有k个籽，呈交错规律排列，∴相当于有2k行，∴铲除全部籽的路径总长为2n−1故答案为：(n−1)d；2k；2(n−1)dk；方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，∴每列铲的路径长为(k−1)d，∵每行有n个籽，呈交错规律排列，，∴相当于有2n列，∴铲除全部籽的路径总长为2(k−1)dn，故答案为：2(k−1)dn；方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为d2根据题意得一共有2n列，2k行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有2k−1个，∴铲除全部籽的路径总长为：22解决问题由上得：2n−1∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；2k−1∵n>k≥3，当k=3时，2−22k−1∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．4．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2−y(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：N奇数4的倍数表示结果1=4=3=8=5=12=7=16=9=20=⋯⋯一般结论

2n−1=4n=______按上表规律，完成下列问题：（ⅰ）24=（

）2−（

）2（ⅱ）4n=______；(2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，⋯这些形如4n−2（假设4n−2=x2−分下列三种情形分析：①若x，y均为偶数，设x=2k，y=2m，其中则x2−y而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，②若x，y均为奇数，设x=2k+1，y=2m+1，其中则x2−y而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，③若x，y一个是奇数一个是偶数，则而4n−2是偶数，矛盾．故x，由①②③可知，猜测正确．阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．【答案】(1)（ⅰ）7，5；（ⅱ）n+12(2)4【分析】（1）（ⅰ）根据规律即可求解；（ⅱ）根据规律即可求解；（2）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键．【详解】（1）（ⅰ）由规律可得，24=7故答案为：7，5；（ⅱ）由规律可得，4n=n+1故答案为：n+12（2）解：假设4n−2=x2−分下列三种情形分析：①若x，y均为偶数，设x=2k，y=2m，其中则x2−y而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，②若x，y均为奇数，设x=2k+1，y=2m+1，其中则x2−y而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，③若x，y一个是奇数一个是偶数，则而4n−2是偶数，矛盾．故x，由①②③可知，猜测正确．故答案为：4k5．（2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2则S==(2a+=b+2a例如：当a=1，b=3时，S根据以上材料解答下列问题：(1)当a=1，b=3时，S3−S(2)当a=1，b=3时，把边长为a+nb的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出(3)当a=1，b=3时，令t1=S2−S1，t2=【答案】(1)9+23，(2)猜想结论：Sn+1(3)7500+100【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．【详解】（1）解：S===2a当a=1，b=3时，原式=23S===2a当a=1，b=3时，原式=23（2）猜想结论：S证明：S==3(2n−1)+2=6n−3+23（3）T=====7500+1003【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．一、单选题1．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（

）A．x3+x3=x6 B．【答案】D【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、x3B、x3C、x2D、x3故选：D．2．（2023·江苏南通·中考真题）若a2−4a−12=0，则2aA．24 B．20 C．18 D．16【答案】D【分析】根据a2−4a−12=0得到a2【详解】解：a2得a22a2−8a−8原式=2×12−8=16．故选：D．【点睛】本题考查代数式求值，将2a2−8a−83．（2024·海南·中考真题）下列计算中，正确的是（

）A．a8÷a4=a2 B．【答案】C【分析】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方计算，同底数幂除法计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：A、a8B、3a2C、a2D、3a与2b不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；故选：C．4．（2024·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（

）A．3a+b=3ab B．aC．a8÷a【答案】B【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式式．根据合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式式逐项计算，即可判断．【详解】解：3a和b不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；a3a8a−b2故选：B．5．（2023·吉林·中考真题）下列各式运算结果为a⁵的是（

）A．a23 B．a²+a³ C．a²⋅a³ 【答案】C【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，根据以上运算法则进行计算即可求解．【详解】解：A．a2B．a2和aC．a2D．a10故选：C6．（2024·云南·中考真题）分解因式：a3−9a=（A．aa−3a+3 B．aa2+9 【答案】A【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．将a3【详解】解：a3故选：A．7．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（

）．日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031A．左上角的数字为a+1 B．左下角的数字为a+7C．右下角的数字为a+8 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数【答案】D【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可．【详解】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有：左上角的数字为a−1，故选项A错误，不符合题意；左下角的数字为a+6，故选项B错误，不符合题意；右下角的数字为a+7，故选项C错误，不符合题意；把方框中4个位置的数相加，即：a−1+a+a+6+a+7=4a+12=4a+3故选：D．【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．8．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（

）A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318【答案】D【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可【详解】解：∵3×2+2=8，8×2+2=18，18×2+2=38，∴第5个数为38×2+2=78，第6个数为78×2+2=158，第7个数为158×2+2=318，故选：D．9．（2024·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6xA．2xn B．n−1xn C．【答案】D【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键．【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x∴第n个代数式是n+1x故选：D．10．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA=1，则OG=（

）A．125564 B．12564 C．64【答案】C【分析】本题考查的是相似三角形的性质，