2023届高考数学特训营-第5节-第二课时-直线与椭圆的位置关系

第二课时直线与椭圆的位置关系A级(基础应用练)1．(2022·象州县高三月考)直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则实数m的取值范围是()A.eq\f(1,2)≤m<9 B．9<m<10C．1≤m<9 D．1<m<9答案：C解析：直线y＝kx＋1恒过定点P(0，1)，焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,m)＝1，可得0<m<9，①由直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，可得P在椭圆上或椭圆内，即有eq\f(0,9)＋eq\f(1,m)≤1，解得m≥1，②由①②可得1≤m<9.故选C.2．(2022·甘肃民乐县高三押题卷)若直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1的交点个数为()A．1个 B．至多一个C．2个 D．0个答案：C解析：因为直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，所以eq\f(9,\r(m2＋n2))>3，即m2＋n2<9，所以eq\f(m2,9)＋eq\f(n2,16)≤eq\f(m2,9)＋eq\f(n2,9)<1，即点(m，n)在椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1内，所以过点(m，n)的直线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1的交点个数为2个，故选C.3．(2022·浙江高二期末)已知F1，F2是椭圆G：eq\f(x2,52)＋eq\f(y2,42)＝1的两个焦点，过F1作直线l交G于A，B两点，若|AB|＝eq\f(32,5)，则△F2AB的面积为()A.eq\f(24,5) B.eq\f(48,5)C.eq\f(96,5) D.eq\f(16\r(41),5)答案：C解析：由G：eq\f(x2,52)＋eq\f(y2,42)＝1知c2＝52－42＝32，所以F1(－3，0)，把x＝－3代入椭圆方程可得y2＝eq\f(44,25)，故y＝±eq\f(16,5)，又|AB|＝eq\f(32,5)，所以AB⊥x轴，则S△F2AB＝eq\f(1,2)|AB|d＝eq\f(1,2)×eq\f(32,5)×2c＝eq\f(96,5)，故选C.4．(2022·广西高三月考)已知点P(x，y)是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上任意一点，则点P到直线l：y＝x＋5的最大距离为()A.eq\f(5\r(2)＋\r(26),2) B.eq\f(5\r(2)－\r(26),2)C．5eq\r(2)＋eq\r(26) D．5eq\r(2)－eq\r(26)答案：A解析：设直线y＝x＋m与椭圆相切，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，,y＝x＋m，))得13x2＋18mx＋9m2－36＝0，由Δ＝(18m)2－4×13(9m2－36)＝0，得m＝±eq\r(13)，所以切线方程为y＝x＋eq\r(13)和y＝x－eq\r(13)，与l距离较远的直线是y＝x－eq\r(13)，所以所求最大距离为d＝eq\f(|－\r(13)－5|,\r(2))＝eq\f(5\r(2)＋\r(26),2).故选A.5．(2022·山东高二期末)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于－eq\f(5,8)，则椭圆的离心率为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(5,8)C.eq\f(\r(7),4) D.eq\f(\r(6),4)答案：D解析：设内层椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆可设成eq\f(x2,（ma）2)＋eq\f(y2,（mb）2)＝1(m>1)．设切线AC的方程为y＝k1(x＋ma)，与eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1联立得(b2＋a2keq\o\al(2,1))x2＋2ma3keq\o\al(2,1)x＋m2a4keq\o\al(2,1)－a2b2＝0，由Δ＝0，得keq\o\al(2,1)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(1,m2－1)，同理可得keq\o\al(2,2)＝eq\f(b2,a2)·(m2－1)，所以keq\o\al(2,1)·keq\o\al(2,2)＝eq\f(b4,a4)＝(－eq\f(5,8))2，则eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,8)，因此e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(5,8))＝eq\f(\r(6),4).故选D.6．(多选题)设椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<eq\r(3))与椭圆交于A，B两点，则()A．|AF|＋|BF|为定值B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]C．当m＝eq\f(\r(3),2)时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF的面积为eq\r(6)答案：ACD解析：对于A，设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A项正确；对于B，△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，因为|AF|＋|BF|为定值6，所以|AB|的范围是(0，6)，所以△ABF的周长的范围是(6，12)，B项错误；对于C，将y＝eq\f(\r(3),2)与椭圆方程联立，可解得A(－eq\f(3\r(3),2)，eq\f(\r(3),2))，B(eq\f(3\r(3),2)，eq\f(\r(3),2))，又因为F(eq\r(6)，0)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝(eq\r(6)＋eq\f(3\r(3),2))(eq\r(6)－eq\f(3\r(3),2))＋(eq\f(\r(3),2))2＝0，所以△ABF为直角三角形，C项正确；对于D，将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－eq\r(6)，1)，B(eq\r(6)，1)，所以S△ABF＝eq\f(1,2)×2eq\r(6)×1＝eq\r(6)，D项正确．故选ACD.7．(2022·永昌县高三期末)已知F1，F2分别为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，若S△ABF2＝4，则|AB|＝________．答案：2eq\r(5)解析：因为S△ABF2＝4，所以eq\f(1,2)×2c×|yA－yB|＝4，又因为|F1F2|＝2，所以|yA－yB|＝4.因为直线过椭圆左焦点且斜率为2，所以|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|yA－yB|＝eq\r(1＋（\f(1,2)）2)×4＝2eq\r(5).8.(2022·河北省高三临考模拟(一))如图，一个球形广告气球被一束入射角为30°的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为5米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是________m2.答案：eq\f(75π,4)解析：由椭圆的最长的弦长为5米，知椭圆的长轴2a＝5，设气球的半径为R，入射角为30°的平行光线与底面所成角为60°，则2asin60°＝2R，解得R＝eq\f(5\r(3),4)，从而气球的表面积为4πR2＝eq\f(75π,4)m2.9．(2022·宁夏石嘴山市高三第五次模拟)直线5x＋4y－1＝0交椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)于M，N两点，设MN的中点为P，直线OP的斜率等于eq\f(5,4)，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为________．答案：eq\f(3,5)解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为P(x0，y0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,1),a2)＋\f(xeq\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(yeq\o\al(2,2),a2)＋\f(xeq\o\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得b2(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＋a2(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＝0，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(a2,b2)(eq\f(x1＋x2,y1＋y2))，即kMN＝－eq\f(a2,b2)·eq\f(1,kOP).因为kMN＝－eq\f(5,4)，kOP＝eq\f(5,4)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(16,25)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(3,5).10．(2022·陕西榆林市高三模拟)已知椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线AB与椭圆交于A，B两点，则△F1AB的周长是________，△F1AB内切圆面积的最大值是________．答案：4eq\r(2)eq\f(π,4)解析：根据椭圆定义可知△F1AB的周长C＝4a＝4eq\r(2).在△F1AB内，S＝eq\f(1,2)Cr＝2eq\r(2)r，只要求△F1AB面积最大值即可，设lAB：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,x＝my＋1，))消去x得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，由韦达定理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝－\f(2m,m2＋2)，,y1y2＝－\f(1,m2＋2).))于是S＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y1－y2|＝eq\r(（\f(2m,m2＋2)）2＋\f(4,m2＋2))＝eq\f(2\r(2)\r(m2＋1),m2＋2)＝eq\f(2\r(2),\r(m2＋1)＋\f(1,\r(m2＋1)))≤eq\f(2\r(2),2\r(\r(m2＋1)·\f(1,\r(m2＋1))))＝eq\r(2)，所以2eq\r(2)r≤eq\r(2)，即r≤eq\f(1,2)，所以πr2≤eq\f(π,4)，等号在m＝0时取得．B级(综合创新练)11．(2022·陕西宝鸡市陈仓区高三检测)已知点B是圆C：(x－1)2＋y2＝16上的任意一点，点F(－1，0)，线段BF的垂直平分线交BC于点P.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)直线l：y＝2x＋m与E交于点M，N，且|MN|＝eq\f(12\r(30),19)，求m的值．解：(1)由条件可得|PC|＋|PF|＝|PC|＋|PB|＝|BC|＝4>|FC|＝2，所以动点P的轨迹E是以F，C为焦点的椭圆，设其方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，所以2a＝4，2c＝2，所以a＝2，c＝1，b＝eq\r(3)，所以E的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝2x＋m，))消去y得19x2＋16mx＋4m2－12＝0，由Δ＝256m2－76(4m2－12)>0得m∈(－eq\r(19)，eq\r(19))，由韦达定理知x1＋x2＝－eq\f(16m,19)，x1x2＝eq\f(4m2－12,19)，因为|MN|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq\r(5（\f(256m2,361)－\f(16m2－48,19)）)＝eq\f(12\r(30),19)，解得m＝±1.12．(2022·甘肃白银市高三模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1，0)，经过点F1的直线l与圆F2：(x－1)2＋y2＝8相交于P，Q两点，M是线段PF2与C的公共点，且|MF1|＝|MP|.(1)求椭圆C的方程；(2)l与C的交点为A，B，且A恰为线段PQ的中点，求△ABF2的面积．解：(1)由圆F2：(x－1)2＋y2＝8可得|PF2|＝2eq\r(2)，因为|MF1|＝|MP|，所以2a＝|MF1|＋|MF2|＝|MP|＋|MF2|＝|PF2|＝2eq\r(2)，即a＝eq\r(2)，又c＝1，a2＝b2＋c2，所以b＝1，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A为线段PQ的中点，则AF1⊥AF2，所以eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)－1＝0，又eq\f(xeq\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)＝1，解得x1＝0，y1＝±1.若y1＝1，则A(0，1)，直线l的方程为y＝x＋1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－\f(4,3)，,y2＝－\f(1,3)，))即B(－eq\f(4,3)，－eq\f(1,3))，所以△ABF2的面积S＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)×2×eq\f(4,3)＝eq\f(4,3)，若y1＝－1，同理可求得△ABF2的面积S＝eq\f(4,3).综上所述，△ABF2的面积为eq\f(4,3).13．(2022·吉林松原市高三5月联考)已知直线x－eq\r(3)y＋eq\r(3)＝0经过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)若A，B为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，已知直线y＝3－x上存在一点P，使得三角形PAB为正三角形，求AB所在直线的方程．解：(1)因为直线x－eq\r(3)y＋eq\r(3)＝