高考数学第二轮专题第6讲-三角恒等变换与解三角形

高考第二轮专题数学新高考2第6讲三角恒等变换与解三角形1.[2019·全国卷Ⅱ]已知α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,则sinα= A.15 B.55 C.33 2.[2018·全国卷Ⅱ]在△ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB= (A.42 B.30C.29 D.253.[2020·全国卷Ⅲ]在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,则cosB= (A.19 B.13 C.12 4.[2018·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为a2+b2-cA.π2 B.π3 C.π4 5.[2020·全国卷Ⅰ]如图M2-6-1,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=.

图M2-6-16.[2019·浙江卷]在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD=.

三角恒等变换与求值1(1)已知cosπ4+θ=223,则sin2θ的值是 ()A.-79 B.-29 C.29 (2)若sinα+π5=-13,α∈(0,π),则cosπ20-α= ()A.4-26 C.-4-26 D【规律提炼】三角恒等变换主要是利用两角和与差的公式及二倍角公式解决相关的三角函数问题.一般地,若α∈[0,π],应该选择计算它的余弦值,若α∈-π2,π2,应该选择计算它的正弦值,可以避免不必要的两解.如果题中给出的是部分角的正切值,那么可以去求所求角的正切值.总之,要根据角的范围合理选择正弦、余弦、正切,减少讨论.测题1.设α,β满足tanα+3π4=3,tanβ+π4=2,则tan(α+β)= ()A.-1 B.-12 C.17 D2.已知α∈0,π2,β∈0,π2,若sin2αcosβ=2cos2α(1+sinβ),则下列说法中正确的是 ()A.2α-β=π2 B.2α+β=C.α+β=π2 D.α-β=3.已知tanθ+π4=12,则tanθ-π2=.

利用正、余弦定理解三角形角度1三角形中基本量的求解2(1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知C=2π3,sinB=3sinA,若△ABC的面积为63,则c= (A.22 B.226 C.214 D.47(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则“asinB=b+csinC+sinA”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【规律提炼】三角形中共有七个几何量(三边三角以及外接圆的半径),一般地,知道其中的三个量(除三个角外),可以求得其余的四个量.(1)如果知道三边或两边及其夹角,那么用余弦定理;(2)如果知道两边及一边所对的角,那么用正弦定理(也可以用余弦定理求第三条边);(3)如果知道两角及一边,那么用正弦定理.测题1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且acosC-(2b-c)cosA=0,则角A的大小为()A.π4 B.π3 C.π2 2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若A=60°,b>1,c=a+12,则当△ABC的周长最短时,b的值为 (A.2+22 B.2C.1+22 D.1+3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=3bc,sinC=23sinB,则A=.

角度2三角形的综合问题3(1)设a,b,c分别为锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边,且满足cosAa+cosBb=23sinC3a,若b=2A.3 B.23 C.233 D(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积等于8,a=5,tanB=-43,则△ABC的外接圆的半径为 (A.565 B.565C.5654 D【规律提炼】1.三角形的综合问题,常常和基本不等式、基本函数甚至导数相联系,特别地,如a+b+ab≥2ab+ab,再令ab=t,转化成二次函数问题,或a+b+ab≤a+b+a+b22,再令a+b=t,转化成二次函数问题等.有时利用余弦定理、正弦定理与等角(或角互补)构造等式解题2.三角形中的取值范围问题.解三角形中的求最值与取值范围问题主要有两种方法:一是利用基本不等式求得最大值或最小值;二是将所求式转化为含有三角形某一个角的三角函数的形式,结合角的取值范围确定所求式的取值范围.测题1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA,sinB,sinC成等比数列,且c=2a,则sinB的值为 ()A.34 B.74 C.1 D2.在△ABC中,若B=π3,AC=3,则AB+2BC的最大值为.图M2-6-23.如图M2-6-2,在平面凸四边形ABCD中,AB=AD=CD=2BC=4,P为对角线AC的中点.若PD=3PB,则PD=,∠ABC=.

解三角形的实际应用4(1)春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式,图M2-6-3开始时使用提水吊杆——桔槔,后发展成辘轳.19世纪末,由于电动机的发明,离心泵得到了广泛应用,为发展机械提水灌溉提供了条件.图M2-6-3为灌溉抽水管道在等高图上的投影,在A处测得B处的仰角为37°,在A处测得C处的仰角为45°,在B处测得C处的仰角为53°,A点所在等高线值为20米,若BC管道长为50米,则B点所在等高线值为参考数据:sin37°=35 ()A.30米 B.50米C.60米 D.70米(2)如图M2-6-4,为测量某公园内湖的岸边A,B两处间的距离,一无人机在空中P点处测得A,B的俯角分别为α,β,此时无人机的高度为h,则A,B间的距离为 ()图M2-6-4A.h1sin2αC.h1cos2α【规律提炼】解三角形的实际应用主要体现在解决一些实际问题中的测高和测距问题,这样就需要将实际问题中已知以及待求的角度、距离等融合到一个或几个三角形中,再结合正、余弦定理求解.测题1.珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的,这种挤压一直在进行,珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻,气候恶劣,通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们携带高精度测量仪器,采用分段测量的方法,从山脚开始,直到到达山顶,再把所有的高度差累加,就会得到珠峰的高度.2020年5月,中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作.在测量过程中,已知竖立在B点处的测量觇标BC高10米,攀登者们在A处测得觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°,80°,如图M2-6-5所示,则A,B的高度差约为(参考数据:sin70°≈0.94,sin80°≈0.98) ()图M2-6-5A.10.00米 B.9.80米 C.9.40米 D.8.62米2.如图M2-6-6,某湿地为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射线AB,AC为湿地两边夹角为120°