《备战2023年高考数学一轮复习》课件-第七章-第6节-第二课时-求空间角与距离

第二课时求空间角与距离考点一用空间向量求异面直线所成的角关键能力·课堂突破类分考点落实四翼CC题后悟通用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两相互垂直的直线建立空间直角坐标系.(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量.(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.考点二用空间向量求直线与平面所成的角(1)证明:因为M,N分别为BC,B1C1的中点,所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1,故AA1∥MN.因为△A1B1C1是正三角形,所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN,A1N∩MN=N,A1N⊂平面A1AMN,MN⊂平面A1AMN,故B1C1⊥平面A1AMN,又B1C1⊂平面EB1C1F.所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.例1如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;例1如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(2)设O为△A1B1C1的中心,若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.解题策略利用向量求线面角的方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线与平面所成的角.[针对训练]考点三用空间向量求二面角解题策略利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.[针对训练]1.(2021·河北唐山模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,连接BD,其中DA=DP,BA=BP.(1)求证:PA⊥BD;(1)证明:如图,取AP中点M,连接DM,BM,因为DA=DP,BA=BP,所以PA⊥DM,PA⊥BM,又因为DM∩BM=M,DM⊂平面DMB,BM⊂平面DMB,所以PA⊥平面DMB,又因为BD⊂平面DMB,所以PA⊥BD.1.(2021·河北唐山模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,连接BD,其中DA=DP,BA=BP.(2)若DA⊥DP,∠ABP=60°,BA=BP=BD=2,求二面角D-PC-B的正弦值.2.(2021·湖北武汉模拟)如图所示,多面体是由底面为ABCD的直四棱柱被截面AEFG所截而得到的,该直四棱柱的底面为菱形,其中AB=2,CF=5,BE=1,∠BAD=60°.(1)求BG的长;2.(2021·湖北武汉模拟)如图所示,多面体是由底面为ABCD的直四棱柱被截面AEFG所截而得到的,该直四棱柱的底面为菱形,其中AB=2,CF=5,BE=1,∠BAD=60°.(2)求平面AEFG与底面ABCD所成锐二面角的余弦值.考点四用空间向量求距离角度一求两点间的距离(线段长)解题策略角度二点到直线的距离解题策略角度三点到平面的距离解题策略[针对训练]备选例题例2(2021·山东聊城一模)如图,在四边形ABCD中,BC=CD,BC⊥CD,AD⊥BD,以BD为折痕把△ABD折起,使点A到达点P的位置,且PC⊥BC.(1)证明:PD⊥平面BCD;(1)证明:因为BC⊥CD,BC⊥PC,PC∩CD=C,PC⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,所以BC⊥平面PCD.又因为PD⊂平面PCD,所以BC⊥PD.又因为AD⊥BD,即PD⊥BD,BD∩BC=B,BD⊂平面BCD,BC⊂平面BCD,所以PD⊥平面BCD.例2(2021·山东聊城一模)如图,在四边形ABCD中,BC=CD,BC⊥CD,AD⊥BD,以BD为折痕把△ABD折起,使点A到达点P的位置,且PC⊥BC.(2)若M为PB的中点,二面角P-BC-D等于60°,求直线PC与平面MCD所成角的正弦值.例3如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC.(1)求证:BC⊥平面PAC;法一

(1)证明:因为PA⊥底面ABC,BC⊂底面ABC,所以PA⊥BC,又∠BCA=90°,所以AC⊥BC.又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.例3如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC.(2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成角的余弦值;例3如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC.(3)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角,并说明理由.法一

(3)解:存在.理由如下:因为DE∥BC,又由(1)知,BC⊥平面PAC,所以DE⊥平面PAC.又因为AE⊂平面PAC,PE⊂平面PAC,所以DE⊥AE,DE⊥PE.所以∠AEP为二面角A-DE-P的平面角.因为PA⊥底面ABC,AC⊂底面ABC,所以PA⊥AC,所以∠PAC=90°,所以在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,即∠AEP=90°,故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角.法二

(3)解:同法一.例5如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.(1)求证:B1D⊥平面ABD;例5如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D