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高阶非齐次线性微分方程的常数变易法分析综述定义4.1形如，且的微分方程称为高阶非齐次线性微分方程，其中及在上都是连续函数，并且对任意，．上式称为高阶非齐次线性微分方程的标准形式．高阶非齐次线性微分方程的一般形式：，在中及在上都是连续函数，并且对任意，．方程对应的齐次方程为，设方程的一个基本解组为，那么方程的通解可表达为．在中，将任意常数用关于的未知函数进行替换则变为，为了使得式满足方程，就需要求出相对应的待定函数，现在采用如下方法来求．同时对两边求导可得，在上式中令，由上可得关于的微分方程变为．同上，对式两边进行求导可得 ，在上式中令．则的表达式可变为 ，重复上述过程，我们得到第个方程，以及的表达式．最后对式两边关于求导可得现在把，，，这个式子代入方程，并且注意到，是方程的解，于是可得．由上，我们得到含有个未知数的个微分方程，，，将其构成一个线性方程组由于是微分方程的一个基本解组，所以方程组的系数行列式．由高等代数有关知识，我们可以得知方程组有唯一解，并且此解可以表示为：，，其中，是把中的第列换成后所得到的行列式．对式积分可求得，其中是任意常数．把所求代入可得，则式即为微分方程的通解，并且式被称为方程的常数变易法公式．注1已知齐次线性微分方程的基本解组的条件下，非齐次线性微分方程的任一解都可由积分法得到．那么求解线性微分方程的关键，就是求出相对应的齐次线性微分方程的基本解组．例4.1已知微分方程对应的齐次线性微分方程的一个基本解组为，，求该方程的解．解由题知，，是原方程基本解组，所以，注意到，所以，，进一步有，，故，，由公式可得原方程的通解为，其中是任意常数．例4.2已知的基本解组为，，求的解．解令，代入方程，得，，解得，，，，故通解为，其中是任意常数．例4.3求解方程，．解对应齐次方程为，得到基本解组为．令，代入原方程及，于是，，故通解为，其中是任意常数．例4.4已知基本解组为，，求解．解设是方程的一个特解，，，将其代入非齐次微分方程得，，．即特解为．且非齐次线性微分方程的通解为，其中是任意常数．例4.5已知对应的基本解组为，，求的解．解由题意，解方程组，得，积分得．则求得通解为，其中是任意常数．例4.6已知对应的基本解组为，．求方程的解．解令，解方程组得，．积分得，．故通解为，其中是任意常数．例4.7已知对应的基本解组为，，求方程的解．解令，联合求解有解，．积分得，，其通解为，其中为任意常数．例4.8求方程的解．解上述方程对应齐次方程的通解为．令，则，满足方程组用克莱姆法则可得，，进而，，故通解为，其中是任意常数．注2对于线性方程，我

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