河北省秦皇岛市青龙县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

河北省秦皇岛市青龙县2024−2025学年八年级上学期期末考试数学试卷本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题本试卷总分120分，考试时间120分钟．本试卷答案一律写在答卷纸上，考试结束后，只收答卷纸．卷Ⅰ一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂）1.下列命题是真命题的是（）A.两条直线被第三条直线所截，同位角相等B.正数与负数的和为0C.相等的角是对顶角D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【解析】【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据对顶角的概念、平行线的性质、垂直的定义判断．【详解】解：解：A、两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，为假命题，不符合题意；B、正数与负数的和不一定为0，为假命题，不符合题意；C、相等的角不一定是对顶角，为假命题，不符合题意；D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，为真命题，符合题意．故选：D．2.根据分式的基本性质，分式可变形为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质解答即可．【详解】解：．故选：B．3.下列各组图形中是全等图形的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据全等图形的定义进行判断即可．【详解】解：A.是全等图形，符合题意；B.，形状不同，不是全等图形，不符合题意；C.大小不同，不是全等图形，不符合题意；D.大小不同，不是全等图形，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查全等图形，熟记全等图形的定义：大小和形状完全相同的两个图形是全等图形是解题的关键．4.若表示的是一个最简分式，则☆可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义，分子与分母没有公因式的分式，叫最简分式．【详解】解：A、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；B、当☆为x时，，最简分式，故该选项符合题意；C、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；D、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；故选：B．5.若是最简二次根式，则a的值可能是（）A. B. C.2 D.0.1【答案】C【解析】【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式有意义的条件，根据最简二次根式、二次根式有意义的条件解答即可．【详解】解：A、不存在，不是最简二次根式，不符合题意；B、，不是最简二次根式，不符合题意；C、，最简二次根式，符合题意；D、，不是最简二次根式，不符合题意．故选：C．6.以下是嘉淇的答卷，嘉淇的得分为（）填空题（每小题2分）姓名：嘉淇1．的相反数为．2．的绝对值为．3．．4．将0.03047精确到0.001的结果是0.03．5．若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0．A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】本题考查了相反数，绝对值，平方根，立方根，近似数与精确度，解题的关键是掌握这几个定义．1、根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数判断即可；2、根据负数的绝对值等于它的相反数判断即可；3、根据立方根的定义判断即可；4、根据精确度判断即可；5、根据平方根、立方根的定义判断即可．【详解】解：1、的相反数为，正确；2、的绝对值为，正确；3、，正确；4、将0.03047精确到0.001结果是0.030，错误；5、若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0，正确；所以正确的有4个，因为每小题2分，所以嘉淇的得分为8分，故选：D．7.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解并掌握轴对称图形的定义，找出对称轴是解题的关键．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此即可求解．【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；B、有对称轴，是轴对称图形，符合题意；C、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；故选：B

．8.如图，已知，，如果添加一个条件使，则添加的条件不可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，进行判断作答即可．【详解】解：∵，∴，即，当时，由可证，故A不符合要求；当时，由可证，故B不符合要求；当时，由可证，故C不符合要求；当，无法使，故D符合要求．故选：D．9.最简二次根式与是同类二次根式，则（）A.2 B.3 C.0 D.4【答案】A【解析】【分析】根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解出即可得出答案．此题考查了同类二次根式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同．【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴解得：，故选：A．10.若关于x的方程产生增根，则m的值是（）A. B. C.2 D.0【答案】B【解析】【分析】本题考查分式方程的增根，分式方程的增根是使分母为0的未知数的值，根据方程有增根得到，将代入化简后的整式方程中即可求出答案．【详解】解：将方程去分母得,∵方程产生增根，∴，将代入，得，故选：B．11.如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（）A.3 B.4 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根据角平分线的性质，可得，，根据平行线的性质，等腰三角形的判定，可得解答即可；本题是三角形的综合题，考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】解：和的平分线相交于点F，∴，，∵，∴，，∴，，∴∴，∵，，∴，故选A．12.小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”给出如下过程：已知：如图，点P在上，于点D，于点E，且．求证：是的平分线．证明：通过测量可得，．∴．∴是的平分线．关于这个证明，下面说法正确的是（）A.小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理B.只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理C.不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整D.小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明【答案】D【解析】【分析】根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的推理过程即可求解【详解】小强通过测量得，，得出，这种测量的方法证明结论，具有偶然性，缺少推理的依据，不严谨，所以小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．故选：D【点睛】本题考查角平分线的判定，解题的关键是能够严谨的证明结论．卷Ⅱ（非选择题，共84分）二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分）13.当______时，代数式的值为0．【答案】2【解析】【分析】根据且，计算即可．本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零，且分母不为零是解题的关键．【详解】解：分式的值为0，故且，解得，故答案为：2．14.分式的最简公分母为______．【答案】##【解析】【分析】本题考查了最简公分母：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．据最简公分母的定义求解．【详解】解：分式，的最简公分母为．故：．15.如图，这是用面积为6的四个全等的直角三角形，，和拼成的“赵爽弦图”，如果，那么正方形的边长为_____．【答案】1【解析】【分析】本题考查了算术平方根的应用；根据正方形的面积正方形的面积，求的算术平方根即可得到结论．【详解】解：∵正方形的面积正方形的面积，∴正方形的边长，故答案为：．16.如图，，则______度．【答案】15【解析】【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．由，可得，由三角形外角的性质可得，，，，即，计算求解即可．详解】解：∵，∴，∴，，，，∴，解得，故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题；共72分．解答应写出演算步骤，证明过程或文字说明）17.计算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）原式先计算二次根式的乘法和化简二次根式，然后再合并即可；（2）原式先计算乘方再计算乘法即可．【小问1详解】解：．【小问2详解】解：．18.解方程：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根．（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【小问1详解】解：，方程两边同乘以，得，解这个整式方程，得，经检验，是原分式方程的解；【小问2详解】解：方程两边同乘以，得，解这个整式方程，得，经检验，是原分式方程的解19.已知，求的值．【答案】；【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值，原式的括号内先通分，把除法转换为乘法，再约分化为最简结果，再把代入计算即可．【详解】解：；当时，原式．20.嘉淇在计算时，给出如下计算过程：解：原式第一步第二步第三步第四步第五步已知嘉淇的解法是错误的．（1）她开始出现错误的步骤是第______步．（2）请给出正确的解答过程．【答案】（1）四（2）见解析【解析】【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）根据分式混合运算的法则找出错误的步骤即可；

（2）根据分式的运算法则，写出正确的解法即可．【小问1详解】解：从解答中可以看出，她开始出现错误的步骤是第四步，应当是，故答案为：四；【小问2详解】解：21.如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且．与全等吗？请说明你的理由；【答案】与全等，理由见解析【解析】【分析】本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质、三角形的中线，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键．先根据三角形的中线可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据定理即可得证．【详解】解：与全等，理由如下：∵是中线，∴，∵，∴，，在和中，，∴．22.综合与实践如图1，矩形的边，，将矩形绕点A逆时针旋转角得到矩形，与交于点H．数学思考：（1）填空：图1中__________．（用含的代数式表示）深入探究：（2）如图2，当时，求的长．（3）如图3，当点H在对角线的垂直平分线上时，连接，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用等角的余角相等得到，再利用邻补角的性质即可求解；（2）证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求得，据此求解即可；（3）根据线段垂直平分线的性质求得，利用证明即可证明结论成立．【详解】解：（1）∵四边形和是矩形，∴，∴，∴，∴，故答案为：；（2）∵将矩形绕点A逆时针旋转角得到矩形，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（3）∵点H在对角线的垂直平分线上，∴，由旋转的性质知，，∴，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23.学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下表：（1）在上表中用含x的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量；（2）若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价；（3）为满足学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了，乙种足球的销售单价比上次购买时降低了．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，求这所学校最多可以购买乙种足球的数量．【答案】（1）；（2）甲种足球在此商场的销售单价为50元，乙种足球在此商场的销售单价为70元（3）这所学校最多可购买25个乙种足球【解析】【分析】本题考查了列分式方程解应用题，列不等式解应用题．解决问题的关键是理解题意，熟练运用单价、数量、总价之间的关系列方程或不等式，并解答．（1）根据题干信息列出代数式即可；（2）根据购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，列出分式方程，解分式方程并检验，求出乙种足球的单价即可；（3）设购买乙种足球m个，由题意列出不等式，解不等式，根据解集，回答学校最多可购买20个乙种足球．【小问1详解】解：购买甲种足球的数量为个，购买甲种足球的数量为个；故答案为：；．【小问2详解】解：∵购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，∴，解得：，经检验是原方程的解，（个），答：甲种足球在此商场的销售单价为50元，乙种足球在此商场的销售单价为70元；【小问3详解】解：设购买乙种足球m个，则购买甲种足球个，（元），（元），由题意得：，．答：这所学校最多可购买25个乙种足球．24.如图，等边的边长为，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，运动方向如图，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为秒．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，以点A、