押题04 空间向量与空间几何（选择、解答题）-2022年高考数学108所押题（新高考专用）（解析版）

押题04空间向量与立体几何

了密押点睛(

已知三棱锥尸-ABC,其中以_L平面ABC,ZBAC=120°,Q4=A5=AC=2,则该三棱锥外接球的表面

积为1)

A.12乃B.16乃C.207rD.24乃

【答案】C

【解析】根据题意设底面AABC的外心为G,。为球心，所以OGL平面A8C,因为24_L平面ABC,

所以OG//PA,设。是R4中点，因为OP=04,所以OO_LP4,

因为小L平血ABC,4Gu平面48C,所以AG_L24,因此OO//AG,

因此四边形OD4G是平行四边形，故OG=AO=1PA=1,

2

由余弦定理，得

由正弦定理，得2AG=^=4G=2,

~2

所以该外接球的半径R满足R2=(OG)2+(AG)?=5=S=4%方=20乃,

故选：C.

【押题理由】知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题，是

高考常用的考查形式。

【考前秘笈】1.空间几何体的表面积(侧面积)

(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何表面积

问题的主要出发点

（2）求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的

表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积.注意衔接部分的处理.

2.空间几何体的体积

（1）常见的求几何体体积的方法

①公式法：直接代入公式求解.

②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.

③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等

④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积

（2）求组合体的体积的方法

求组合体的体积的问题，首先应弄清它的组成部分，然后根据公式求出各简单几何体的体积，再相加或相

减.

3.球与几何体的切、接问题的处理思路

（1）“接”的处理

①构造正（长）方体，转化为正（长）方体的外接球问题；

②空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中，作出合适的截面（过球心或接点等）；

③利用球心与截面圆心的连线垂直于截面来确定球心所在更线.

⑵“切”的处理

①体积分割法求内切球半径；

②作出合适的截面（过球心或切点等），在平面上求解；

③多球相切问题，连接各球球心，转化为处理多面体问题

y押题精选£

1.（押考向.侧面积问题）已知一个圆锥的体积为加，任取该圆锥的两条母线a,b,若a,。所成角的最大

值为二，则该圆锥的侧面积为（）

A.3万北B.6兀C.6V37tD.9兀

【答案】B

【解析】如图，设圆锥的母线长为R,底面半径长为,，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，

所以R=2r,圆锥的体积口2xG〃=3兀，解得r=JJ,

所以该圆锥的侧面积为nrR=6兀.

故选：B

2.已知某圆台的高为"，上底面半径为正，下底面半径为2&，则其侧面展开图的面积为（）

A.9/B.6夜乃C.9©rD.

【答案】C

【解析】易知母线长为，（生了+0收一&y=3,且上底面圆周为2而，下底面圆周为4夜冗，易知展开

图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为3,则大圆半径为6,

所以面积S=,x6x4正；r—,x3x2VLr=9z.

22

故选：C.

3.（押考向•体积计算问题）一个斜边长为夜的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的体积为

（）

A.-B.—C.D.n

333

【答案】A

【解析】由条件可知直角边长为1,并且旋转形成的几何体是底面半径为1,高为1的圆锥，

所以几何体的体积V=?不x/xluf.

33

故选：A

4.”阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称

美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的

“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为I,则经过该多面体的各个顶点的球的体积为（）

A.-71B.迈^C.4乃D.8乃

33

【答案】A

【解析】将该多面体放入正方体中，如图所示.

由于多面体的楼长为1.所以正方体的棱长为正

因为该多面体是由棱长为&的正方体连接各棱中点所得，

所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线长，即

2R=42xyf2

所以R=1

所以该多面体外接球的体积内=竽.

故选:A.

5.在四棱锥尸-ABC。中，P4J_平面48a>,AP=2,点M是矩形A6CO内(含边界)的动点，且A8=1,AO=3,

直线PM与平面A8CQ所成的角为记点M的轨迹长度为a,则tana=()

4

A.曲B.1C.75D.2

3

【答案】C

【解析】因为尸平面ABC。，所以即为直线尸M与平面A8CD所成的角，

所以NPM4=工，

4

因为4P=2,所以AM=2,

所以点M位于矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上,

则点M的轨迹为圆弧环.

连接"，则A/=2,

因为AB=1,AD=3,

所以NAF8=NE4石=2，

6

则孤E下的长度a=§x2=g,

所以tana=6.

故选：C.

6.（押考向.截面面积问题）某圆锥高为1,底面半径为G，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积

的最大值为（）

A.2B.73C.41D.1

【答案】A

【解析】如图，截面为△PA8,设C为AB中点，设OC=X,xe[0,G）,

则AB=2A/3-X2,PC=Vx2+1，

则截面面积S=；X2,3-fX正+1=J-（%2-1）2+4,

则当父=1时，截面面积取得最大值为2.

故选：A.

7.已知是边长为3的等边三角形，三棱锥P-A8c全部顶点都在表面积为16兀的球。的球面上，则

三棱锥P-48c的体积的最大值为（）.

A.6B.C.mD."

242

【答案】C

【解析】球。的半径为K，则4冗/?2=16兀，解得：R=2,

由已知可得：5/=手力=苧，其中日“。=石

球心0到平面ABC的距离为JR2—石2=],

故三棱锥尸-A8C的高的最大值为3,

体积最大值为20人腔・3=券.

故选：C.

8.在正三棱锥A-8C£＞中，AB=2BC=4,E为BC中点，则异面直线与。后所成角的余弦值为（）

A.巫B.在C.@D.B

12634

【答窠】A

【解析】解：如图：取AC的中点F,连结EF

因为E为中点，所以.所以"=gAB=2,4出尸（或其补角）为异面直线AB与£＞七所成角.取

DC的中点G,连结AG,则AG_LDC,在£状8中，AB=4,DC=2,所以GC=1,所以cos/ACG=g==1.

在△R7）中，。尸=；AC=2,OC=2,cos/4CG=；,由余弦定理得：

。尸2=。尸2+。。2-2.。产・力，・85/4。6=22+22-2'2乂2、1=6,所以0尸=".在底面正三角形BC。中，

4

因为BC=2,E为BC中点，所以。七=3。5泊60。=2*正=6.在4尸瓦）中，EF=2,DE=6DF=R

2

由余弦定理得：cosZDEF=DE+EF-DF-=G+?-二限=走.所以异面宜线AB与DE所成角的余弦

2xDExEF2x6x212

值为亘

12

故选：A

（押题型一多选题）如图，正方体488-A8CQ的楼长为2,尸为。D的中点.则（）

A.ABLA.F

B.直线A。与B尸所成角的正切值为0

C.平面43尸截正方体所得的截面面积为4

D.点。与点O到平面48广的距离相等

【答案】AD

对选项A,由正方体的性质知48J_平面AORA，4/u平面AORA，所以AB14尸，故A正确;

对B,因为AO〃8C,所以直线AD与所成的角即为BC与8尸所成的角，

连接CE易得△8C户是直角三角形，且BC=2,CF=>/5,所以ian/C8/=无，

2

所以直线4力与8户所成角的正切值为直，故B错误；

2

对C,在平面AORA内，延长A产交AO的延长线于G,连接8G交CO于E点，

易得E为CD的中点，所以以7/4力且E尸=348=夜，所以四边形BE%为等腰梯形，

所以四边形防%的面积S=g（夜+2夜「孝）

9

所以平面A/尸截正方体所得的截面面积为弓，故C错误；

乙

对D,由选项C知，E为CO的中点，所以点。与点O到平面A4尸的距离相等，故D正确.

故选：AD

（押题型一解答题）在如图所示的多面体中，四边形4BC。为正方形，A,E,B,尸四点共面，且/XABE

和△砺均为等腰直角三角形，ZBAE=ZAFB=90°.

BE

（1）求证：直线3E〃平面AOF；

（2）若平面A4CO_L平面AE8F,A8=2,点尸在直线OE上，求人户与平面r所成角的最大值.

【答案】（1）详见解析；（2）g.

4

【解析】（1）在四边形AEZ/中，

,/AABE和△八8斤均为等腰直角三角形，且Z.BAE=ZAFB=90°,

；・ZBAF=ZABE=45°,

:.AF//BE,

又SEa平面4。凡瓶匚平面人0兄

:.班7/平面AOR

（2）V四边形ABCD为正方形，

：.DALAB,

又・・•平面A8U）_L平面入科凡D4U平面.48。。，

平面48COCI平面AEBF=AB,

・・・D4_L平面AEBF,

如图是立空间直角坐标系，

设P(0,42—冷，则8(2,0,0),C(2,0,2)/(l,—l,0),A(0,0,0),

/.^C=(O,O,2),BF=(-l,-l,O),

设平面BCF的一个法向量为。=(x,y,z),

e5•配=0(2z=0

则《一，即nn〈八，

ri-BF=0[-x-y=0

令x=l,Ijliji=(1-1,0),

设AP与平面8(7所成角为8,又丽=(0,42-为，

.《no-BQ-」一4_五「囚

「卜|网|伍/解+(2—犷2，2储-4」+4

要使sin。最大，4。0,

」一企二也

V.仄2.V/2”22-4AZ,1+,4A274

：.o4,即AP与平面8C尸所成角的最大值为£.

【押题理由】能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简

单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用，是高考常用的考

查形式。

【考前秘笈】1.用向量法证明平行或垂直：

(1)平行问题的证明方法：

①证明空间两直线平行，可以先转化为空间两向量共线，即只需证明表示两袋直线的向量满足实数倍数关

系.

②证明面面平行，只要证明一平面内两条相交直线平行于另一平面内的两条直线即可，也就将其转化为证

明线线平行的问题.

③遇到中点问题常作中位线，用中位线定理解题，也是几何中的常用方法。

(2)垂直问题的证明方法：

①要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直.

②要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直.

(3)步骤

①第一步选点建立空间直角坐标系，并把相应的点用坐标的形式表示出来；

②第二步把证明线线、线面、面面平行或垂直的相关向量用坐标表示出来；

③第三步根据线线、线面、面面平行或垂直列式计算；

④第四步证出结论。

2.用向量法求空间距离

(1)求点到平面的距离的关键是找到平面的法向量和斜线段对应的向量，然后利用向量的投影求点到平面

的距离；直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离叫直线与平面的距离；异面直线的距离是夹在两

条异面直线之间的公垂线段长。

(2)步骤：

①第一步建立空间直角坐标系，将题目中给的条件用坐标表示出来，并求出该平面的一个法向量；

②第二步找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量：

③第三步求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离，线面

距、面面距均可转化为点面距，用求点面距的方法进行求解。

3.用向量法求空间角

（1）求各种角的方法一般都是先确定两个向量（方向向量或者法向量），求这两个向量夹角的余弦值或正

弦值，注意确定所求夹角与向量夹角的关系，最后得到所求的角或角的三角函数值。

（2）步骤

①第一步建立空间直角坐标系，将题目中给出的条件用坐标表示出来；

②第二步将所求角涉及的直线的方向向量和平面法向量求出来；

③第三步代入公式求出角的三角函数值或角。

I押题精选（

1.（押考向一空间几何体的位置关系）在正方体ABC。-ABGA中，M,N,尸分别为棱AB,CC.,CR

的中点，Qw平面MNP,4Q=A8,直线四。和直线MN所成角为。，则（）

A.MN//ACB.。的最小值为?

C.A,M,N,尸四点共面D.PQ〃平面4CR

【答案】BD

【解析】设正方体的边长为1,

设£尸,6分别是4。，他，席的中点，

根据正方体的性质可知，平面MNP截正方体所得图象是正六边形EFMGNP,

则。£平面口力162.

由于ACu平面ABC。，"ND平面=MgAC,所以MN与AC是异面直线，所以A选项错误.

由图象可知Aa平面EFMGNP,所以C选项错误.

根据正方体的性质可知，MGHAC,MFHCD\,

MG《平面4cA，ACu平面AC.,所以MG〃平面AC",

同理可证得“尸〃平面AC),

由于MGcW=M,所以平面EFMGNPH平面ACD,,

由于PQu'『•面EFMGNP,所以PQ〃平面ACR,D选项正确.

由于4Q=AB,所以。点的轨迹是以用为球心，半径为1的球被平面EFMGNP所载形成的圆.

根据正方体的性质可知四边形fMNP是平行四边形，设RVcMP=O,则。是EV,M尸的中点，连接。片,

由于4P=4加，所以04_LMP：由于BF=BN,所以O4_LMV,

而FNcMP=O,所以J•平面EBHGNP,

4M=R=奈°M=3O=冬

则直线B&与平面EFMGNP所成角为g

MNu平面EFMGNP,所以直线用Q和直线MN所成角3的最小值为1.

故选：BD

2.如图，正方体A8CO-A8CQ棱长为2,M为棱AG的中点，N为棱CC」的点，且CN=a(0vav2),

现有下列结论，其中所有正确结论的编号为()

2

A.当时，AM〃平面BDN

B.存在aw(O,2),使得MN_L平面BDN

C.当时，点C到平面的距离为亚

3

D.对任意。«0,2),直线AM与8N是异面直线

【答案】CD

【解析】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

2-.、___2u

对于A：8(2,2,0),m2,-),DB=(z2,2,0),£W=(0,2,-),设平面3ON的法向量为勺=(%,y,zj,

2x1+2y=0

则《2令％=1,1=(1,T,3).42,0,0),“(04,2),加=(-2,1,2),丽1=-2-1+6/0,故A

2)1+§4=0

错误;

对于B：N(0,2,W=(0,-1,2-a),DBNM=-2,所以与MN不垂宜，故MN与平面BON不垂直，故

B错误;

2X+2y2=0

对于C：N(0,2,1),丽=(0,2,1),丽=(2,2,0),设平面80V的法向量为％=(再，为，入)，则2

2y2+z2=0

Ic/V-zd2V6

令七=1,=(1,-1,2),又C(0,2,0),西二(0,0,1),所以点C到平面80V的距离为」|^=能=下故

C正确;

对于D：因为ARM在平面48GR内，N在平面A8GA外，所以4M与物V是异面直线，故D正确.

故选：CD.

3.在棱长为1的正方体ABCO-A4GR中，点M是AA的中点，点P，Q，R在底面四边形4BCZ)内(包

括边界)，尸片〃平面MG。，百。=冷，点R到平面A8与A的距离等于它到点。的距离，贝IJ()

A.点P的轨迹的长度为&B,点。的轨迹的长度为£

C.尸。长度的最小值为也一LD.PR长度的最小值为迷

5220

【答案】BCD

【解析】解：对于A,取3C的中点N,连接AMB,N,则AN//MG,ABJ/DC、,所以AN〃平面。MQ,

AB"平面。Mg,

又A/V〃平面OMG，A8〃平面OMG，ANDAg=A,所以平面AN8"平面DMC；,

又点尸在底面四边形48C。内(包括边界)，尸片〃平面"G。，所以点P的轨迹为线段AN,

多所以点尸的轨迹的长度为亭故A不正确;

因为HN二yjAB2+BN2=

对于B,连接OQ,因为Q在底面A8CO上，|AQ|=与，所以JDQ、DD；=旧&7=佟)，解得OQ=g,

所以点。的轨迹是以点D为圆心,吗为半径的河如下图所示，

所以点。的轨迹的长度为:x2xgx;r=7，故B正确;

对于C,过点。作0P_LANJP\交点。的轨迹于Q'，此时PQ的长度就是PQ长度的最小值,

1DP「

而NB=NAPD,N84N=4OP',所以△MNrOP,A，所以丝=尘，即而=一F，解得。?'=辿

ANAB—5

2

所以PQ=DP-DQ=—，

所以p。长度的最小值为竽彳，故c正确;

对于D,因为点R到平面ABB】A的距离等于它到点D的距离，由正方体的特点得点R到宜线的距离等

于点R到平面A四4的距离，

所以点R到直线A8的距离等于它到点。的距离，根据抛物线的定义知点R的轨迹是以点。为焦点，以A8

为准线的抛物线，

以4。的中点为坐标原点O,过点。且垂直于A。的直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，

则O（0,g）,N（1,O）,直线A8的方程为广一；，直线AN的方程为x—2y—1=0,

则抛物线的方程为/=2y,设与直线4N平行且与抛物线相切的直线/的方程为：x-2y+n=0,

联立*二］，整理得4N一（4〃+2）），+〃2=0,A=（4/i+2）2-16/r=0,解得〃=一；，

所以直线/的方程为：x-2y-^-=0,

4

则直线AN与直线/的距离为：一［-4一二⑹

产前20

所以尸穴长度的最小值为述，故D正确，

20

故选：BCD.

4.如图，边长为2的正方形48co中，E,尸分别是A8,BC的中点，将“IDE,ACDF,所分别沿

DE,DF,E尸折起，使A,B,C重合于点P,则下列结论正确的是（）

A.PDLEFB.三棱锥户的外接球的体积为2指万

2

C.点P到平面DEP的距离为：D.二面角尸一所”的余弦值为:

【答案】AC

【解析】对于A选项，作出图形,

取EF中点“，连接P”，DH,由原图知ABE尸和尸均为等腰三角形，故PH工EF,DHA.EF,乂因

为FHC\DH=H,所以E尸_L平面P。”，

又PDu平面PDH,所以P£）_L£F,A正确；

H

由PE,PF,PDT线两两垂直，如下图构造长方体，长方体的外接球就是三凌锥尸-。所的外接球，长方

体的体对角线就是外接球的直径，设为2R,则(2R)2=[2+]2+22=6,则/?=必，所以所求外接球的体积

4L

为q冗N=瓜冗，B错误;

根据题意，可知PE,PF,尸。三线两两垂直，且尸石=尸尸=1,PD=2,在APHD中,PH=—,

2

逑，由等积法可得！xLxlxlx2=1x1x&x逑x〃，得力=],C正确;

由题意如上图，PE=PF,DE=DF，则DH±EF,所以N/7/D为二面角2-E/一。的一个

平面角，因为PD工DF,PDA.DE,且DFnOE=。，所以叨_L平面PEF,则，即NO尸〃=90。，

在RtA/WO中，COSNPHD=^=LD不正确.

DH3

故选：AC.

5.如图，已知平面ABCO垂直于平面4石6,四边形458为菱形，AF±AC,ECJ-AC,』BAD=g

CE=2A8=2A尸=4.下列结论正确的是()

A.异面直线48与直线在所成角的余弦值为-立

B.异面直线AB与直线。尸所成角的余弦值为-立

4

C.若三棱锥8-OE尸的顶点都在球。上，则球心0在平面4CE户内

64

D.若三棱锥所的顶点都在球。上，则球。的表面积为三乃

【答案】CD

【解析】:平面ABCD垂直于平面AEb,AFLAC,平面ABCDA平面AEC尸=4。,

・・・A尸•L平面ABCD,同理反工平面ABCD,

•・•四迈形A8CO是边长为2菱形，NBAO=?,

・•・AC=2y/3,

取EC中点G,则CG//4£CG=A尸，

・•・西边形AFGC为平行四边形.

；・AG//FE,

在直角三角形ACG中，AG={(2⑹2+2?=4，乂8G="方"=2&，

在ABAG中由余弦定理得，

・・・cosNB4G=；,即异面直线A5与直线FE所成角的余弦值为=，故A错误；

44

F

VAF=2,根据条件可知E4_LD4,FALAC,

:,DF=2Q，FC=4,

在△DCF中由余弦定理得，cosZCDF=-—,又48〃OC,

4

/.ACDF异面直线AB与直线DF所成角或补角，

・•・异面直线AB与直线。产所成角的余弦值为正，故B错误:

・・•空间中到B、。两点距离相等的点的集合为平面ACEF,

所以球心O在平面ACK产内，故C正确；

取线段的中点为Q,

,:FC=EC,故QC为线段E尸的垂直平分线，所以球心Ow直线QC,

取8。的中点为M,以M为原点，MA,MD,MQ分别为1,z轴，建立空间直角坐标系"一个z,

m-6,0,加,D（0,l,0）,尸（圆,2）,0是球心，只需要使|。叫=|。产|,即

+（加—2）~,

解得：6=2,所以N=|o球=；,所以S=4尸/?=甘乃，故D正确.

故选：CD.

6.（押题型一解答题，面面垂直和线面角问题）如图，圆台上底面圆。|半径为1,下底面圆。2半径为近,48

为圆台下底面的一条直径，圆仪上点。满足AC=BC,Pa是圆台上底面的一条半径，点RC在平面的

同侧，旦POJ1BC.

（1）证明：平面P4C_L平面A8C；

（2）若圆台的高为2,求直线AQ与平面26c所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）今缙

【解析】⑴取4c中点M，由题意，PO.=KBC=—AB=2,

2

又POJ/BC,故PO.//-BC,PO.=-BC.

22

又02M〃上BC,。2M=LBC,故PQ1〃QM,PQ=02M,

所以四边形尸«。2M为平行四边形，则PM//Q02.

由a。2"1"平而A8C,故RW_L平面A8C,

又PMu面PAC,故平面PAC_L平面48c.

（2）以。2为坐标原点，取,豕，函*的方句为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则仃:

A（-^,0,0）,B（V2,0,0）,C（0,V2,0）,P一与,§,2,0,（0,0,2）,

122）

故福=（夜,0,2）.

设平面PBC的法向最万=（Xy,z）

而反=（-夜,后,0）,齐二（-1,-4,2

n-BC=-\/2x+\/2y=0

故一五&g令z=l,得n=（6国）.

n-CP=---x--^-y+2z=0

设所求角的大小为6，则sin。=卜os（福，，卜^=2浮.

所以直线AO1与平面P8C所成角的正弦值为观.

7.（押考向一线面垂直与二面角问题）如图，在三棱柱ABC-A&G中，AB=AAi=AyC=BC=2.

（1）求证：

（2）若AC=0,Z4BB,=60,点用满足3丽，=2西，求二面角4-人始-知的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）在

2

【解析】（1）连接4比4与交于点o,连接OC,

•.•四边形AB&A为菱形，「•ABLA瓦，0为AB中点，

又CA=CB,.-.AiBIOCf

八同C|OC=0,AB1,C0u平面ACBt,..A8J•平面ACBt,

又平面ACB,,:.A,BLB}C.

(2)vZAfiB,=60,AB=AAi=2,.・.0B=5OA=\,

在RMOBC中,OC2=BC2-OB\:.OC=\,

在AOWC中，^OA2+OC2=AC2,:.OCLOA,

又。4003=。，04,。8<3平面4844，..叱_1.平面4珥4，

则以。为坐标原点，35,而，反为x，y，z轴可建如图所示空间直角坐标系,

则4(1,0,0),A(0,->/3,0),B,(-1,0,0),C(0,0,l),。卜1,-6,1),

.•.福

设M(x,y,z),则^?=(x-l,y,z),MC1=(-l-x,-x/5-y,l-z),

3(x-l)=2(-l-x)5

25/3

.>3y=2(-^-j),解得:

•••3与7=2宙,3?=--

3z=2(l-z)2

z=—

5

4^=(-l,x/3,0),

设平面M4,同的法向量G=(a,b,c),

_13^,2八

A]M,n=-ciH----uH—c=0,「L—//T.Grz\

555,令b=l,解得：a=y/3>c=-2\/3>「.〃=(真,1,-26)；

44•万=-a+6b=0

又OC_L平面A8&A,则平面4A片的一个法向量为正二(0,0,1)，

又二百角A-A.B.-M为锐二面角，•••二面角A-A.B.-M的余弦值为史.

2

8.如图，在多面体尸中，底面A3C是边长为2的等边三角形，4)_L底面A5C,AD//BE//CF,AD=4,

CF=3,Z£HE=45°.

D

(1)证明：AELDFy

(2)求二面角B-AF-E的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)晅

20

【解析】⑴由已知A£)_L平面ABC,得4)_LA8,

又ZME=45。，.-.ZE4B=45O,

又ADHBEHCF,则

:.BE=2,AE=2五，

在AADE中，由余弓玄定理DE，=AO^+AE'-2Ao•AE-cosNDAE=4‘+h>/I)—2x4x2VJx¥=8,

DE=2五,

故O&+A£=AD2,

:.AE1.DE，

如图所示，过点E作EG//8C,设EGnB=G,

则四边形8CGE为矩形，

2222

:.CG=BE=2,GF=CF-CG=3-2=lfEF=y]EG+FG=72+1=x/5»

又AF=jAC、CF2=物+32=屈,故A/2=人七2+七户2,

s.AELEF^

又0匹「律二E，且OE，Mu平面OEF，

.•.AE_L平面OE产，

s.AELDFx

(2)取BC中点。，以点。为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系,

则4(0,-1,0),网-75,0,0),£(-75,0,2),尸(0,1,3),

所以/=(-石,1,0),而=(023),荏=(-6,1,2),

设平面A3F的法向量用=(x，y,zj,

则［普7即IE产”令百=6则4=(点3,-2),

v7

Ar4=0\2yl+3zj=0

设平面AM的法向量为=(9,%，22)，

2y+3z=

,AFn,=0220，令％=3,则用二［一-热，二一2

则(—*即＜

AE•凡=0-\/3X2+y2+2z2=0

x_<+3x3+(—2)x(—2)

13l3局

所以8s（历㈤一y

J(石)+3、(-2)2-J-y-+32+(-2)220'

由图可知二面角3-4尸一E为锐二面角，

所以二面角A/-E的余弦值为迎.

20

9.如图1,在AABC中，ZACB=90°,DE是△ABC的中位线，沿OE将△AOE进行翻折，使得AACE是

等边三角形（如图2）,记A8的中点为尸.

（1）证明：OF_L平面ABC.

（2）若AE=2,二面角O・AGE为求直线48与平面ACO所成角的正弦值.

O

【答案】（1）证明见解析；（2）亚

4

取4。中点G,连接/G和EG,由已知得。上〃8C,且。E=gBC.

因为凡G分别为AB,AC的中点，所以尸G〃8C,且尸G=^BC

所以OE〃尸G,且OE=AG.

所以四边形DEGF是平行四边形.

所以EG〃。凡

因为翻折的BC_LAC,易知DE_LAC.

所以翻折后£>EJ_E4，DELEC.

又因为E4C|EC=E,EA,ECU平面AEC,

所以。石J•平面AEC.

因为OE〃占C,

所以3CJ•平面AEC.

因为成；u平面AEC所以EG」8c.

因为AACE是等边三角形，点G是AC中点，所以EG_LAC

又因为4CPl8C=C,AC,BCu平面ABC.

所以EGJ_平面ABC.

因为EG〃。尸，所以。/J_平面ABC.

(2)(方法一)如图，

过点E作37_LEC,以E为原点，EH、EC,ED所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系石-xyz,

设OE=a,则4(后1,0),B(0,2,2a),C(0,2,0),0(0,0,a),则丽=卜61,2〃)，4C=(-V3J,0),

历=(0,-2,a),

因为DE，平面AEC.所以加=(0,0,〃)是平面AEC的法向量，

设面ACD的法向量为用=(x,y,z),则

i7i-AC