课标专用天津市2024高考数学二轮复习题型练5大题专项三统计与概率问题

PAGEPAGE1题型练5大题专项(三)统计与概率问题题型练第58页

1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球竞赛允许不同协会的运动员组队参与.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手两名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参与竞赛.(1)设A为事务“选出的4人中恰有两名种子选手,且这两名种子选手来自同一个协会”,求事务A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解:(1)由已知,有P(A)=C2所以,事务A发生的概率为635(2)随机变量X的全部可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=C5kC3所以,随机变量X的分布列为X1234P1331随机变量X的数学期望E(X)=1×114+2×37+3×37+42.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设全部电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(3)假设每类电影得到人们喜爱的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜爱,用“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜爱(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D(ξ1),D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)的大小关系.解:(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事务A,第四类电影中获得好评的电影为200×0.25=50(部).P(A)=50140+50+300+200+800+510=502000=(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事务B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)由题意可知,定义随机变量如下:ξk=0则ξk明显听从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下:第一类电影:ξ110P0.40.6D(ξ1)=0.4×0.6=0.24;其次类电影:ξ210P0.20.8D(ξ2)=0.2×0.8=0.16;第三类电影:ξ310P0.150.85D(ξ3)=0.15×0.85=0.1275;第四类电影:ξ410P0.250.75D(ξ4)=0.25×0.75=0.1875;第五类电影:ξ510P0.20.8D(ξ5)=0.2×0.8=0.16;第六类电影:ξ610P0.10.9D(ξ6)=0.1×0.9=0.09.综上所述,D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)=D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6).3.2024年在人民大会堂实行了庆祝改革开放40周年大会.会后,央视媒体平台,收到了来自全国各地的纪念改革开放40年改变的老照片,并从众多照片中抽取了100张照片参与“改革开放40年图片展”,其作者年龄集中在[25,85]之间,依据统计结果,作出频率分布直方图如下:(1)求这100位作者年龄的样本平均数x和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表);(2)由频率分布直方图可以认为,作者年龄X听从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(60<X<73.4);②央视媒体平台从年龄在[45,55]和[65,75]的作者中,依据分层抽样的方法,抽出了7人参与“纪念改革开放40年图片展”表彰大会,现要从中选出3人作为代表发言,设这3位发言者的年龄落在区间[45,55]的人数是Y,求变量Y的分布列和数学期望.附:180≈13.4,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545.解:(1)这100位作者年龄的样本平均数x和样本方差s2分别为x=30×0.05+40×0.1+50×0.15+60×0.35+70×0.2+80×0.15=60,s2=(-30)2×0.05+(-20)2×0.1+(-10)2×0.15+0×0.35+102×0.2+202×0.15=180.(2)①由(1)知,X~N(60,180),从而P(60<X<73.4)=12P(60-13.4<X<60+13.4)≈0.34135②依据分层抽样的原理,可知这7人中年龄在[45,55]内有3人,在[65,75]内有4人.故Y可能的取值为0,1,2,3.P(Y=0)=C30C43C73P(Y=2)=C32C41C37所以Y的分布列为Y0123P418121所以Y的数学期望为E(Y)=0×435+1×1835+2×1235+34.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采纳分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠足够,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;②设A为事务“抽取的3人中,既有睡眠足够的员工,也有睡眠不足的员工”,求事务A发生的概率.解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采纳分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)①随机变量X的全部可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=C4k·C所以,随机变量X的分布列为X0123P112184随机变量X的数学期望E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3②设事务B为“抽取的3人中,睡眠足够的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事务C为“抽取的3人中,睡眠足够的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B+C,且B与C互斥.由①知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B+C)=P(X=2)+P(X=1)=67.所以,事务A发生的概率为65.一款击鼓小嬉戏的规则如下:每盘嬉戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘嬉戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘嬉戏获得的分数为X,求X的分布列.(2)玩三盘嬉戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款嬉戏的很多人都发觉,若干盘嬉戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而削减了.请运用概率统计的相关学问分析分数削减的缘由.解:(1)X可能的取值为10,20,100,-200.依据题意,得P(X=10)=C3P(X=20)=C3P(X=100)=C3P(X=-200)=C3所以X的分布列为X1020100-200P3311(2)设“第i盘嬉戏没有出现音乐”为事务Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=18所以,“三盘嬉戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-183=1-因此,玩三盘嬉戏至少有一盘出现音乐的概率是511512(3)X的数学期望为E(X)=10×38+20×38+100×18-200×1这表明,获得分数X的均值为负,因此,多次嬉戏之后分数削减的可能性更大.6.在某个春晚分会场,演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服,在寒气逼人的零下20℃春晚现场表演了精彩的节目.石墨烯发热服的制作:从石墨中分别出石墨烯,制成石墨烯发热膜,再把石墨烯发热膜铺到衣服内.(1)从石墨分别石墨烯的一种方法是化学气相沉积法,使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料供选择,探讨人员对附着在A材料上再结晶做了30次试验,胜利28次;对附着在B材料上再结晶做了30次试验,胜利20次.用2×2列联表推断:能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为试验是否胜利与材料A和材料B的选择有关?A材料B材料成功不胜利(2)探讨人员得到石墨烯后,再制作石墨烯发热膜有四个环节:①透亮基底及UV胶层;②石墨烯层;③银浆线路;④表面封装层.前三个环节每个环节生产合格的概率均为12,每个环节不合格须要修复的费用均为200元;第四环节生产合格的概率为23,此环节不合格须要修复的费用为100元,问:一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均附:K2=n(ad-P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解:(1)列表A材料B材料合计成功282048不胜利21012合计303060K2的观测值k=60×(28×10-2×所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下,不能认为试验是否胜利与材料A和材料B的选择有关.(2)设X为一次生产出石