高中数学复习专题06 导数及其应用（学生版）

专题06导数及其应用一、填空题1．（2024新高考Ⅰ卷·13）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.一、单选题1．（2022新高考Ⅰ卷·7）设，则（

）A． B． C． D．2．（2023新高考Ⅱ卷·6）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．二、多选题3．（2022新高考Ⅱ卷·12）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．4．（2023新高考Ⅱ卷·11）若函数既有极大值也有极小值，则（

）．A． B． C． D．三、填空题5．（2022新高考Ⅰ卷·15）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．6．（2022新高考Ⅱ卷·14）曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．一、导数的运算1、求导的基本公式基本初等函数导函数（为常数）2、导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：；（2）函数积的求导法则：；（3）函数商的求导法则：，则．3、复合函数求导数复合函数的导数和函数，的导数间关系为：4、切线问题（1）在点的切线方程切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．（2）过点的切线方程设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．二、单调性基础问题1、函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．2、已知函数的单调性问题=1\*GB3①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；=2\*GB3②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．三、讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；四、极值与最值1、函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．2、函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【导数及其应用常用结论】1、恒成立和有解问题（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．一、单选题1．（2024·河北保定·三模）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．2．（2024·陕西西安·三模）已知函数则在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．3．（2024·河北保定·三模）已知二次函数（且）的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A（异于点O），若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为（

）A． B． C． D．4．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（）A． B． C．1 D．25．（2024·湖南长沙·二模）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．16．（2024·贵州黔东南·二模）已知正实数，满足，则的最大值为（

）A．0 B． C．1 D．7．（2024·福建泉州·二模）在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则t的值为（

）A． B． C．4 D．58．（2024·天津和平·三模）已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（

）A． B．． C． D．9．（2024·辽宁·二模）已知正实数，记，则的最小值为（

）A． B．2 C．1 D．10．（2024·新疆喀什·三模）已知，，，则（

）A． B． C． D．11．（2024·安徽合肥·三模）已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．二、多选题12．（2024·河北衡水·三模）已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（

）A． B．函数在区间上单调递减C．过点能作两条不同直线与相切 D．函数有5个零点13．（2024·重庆·三模）若函数既有极小值又有极大值，则（）A． B． C． D．14．（2024·山西太原·三模）已知是函数的极值点，若，则下列结论正确的是（

）A．的对称中心为 B．C． D．15．（2024·河北·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于直线对称． B．的图象关于点对称．C． D．三、填空题16．（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为.17．（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是．18．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为.19．（2024·广东·三模）设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为.20．（2024·浙江绍兴·三模）若，且，则的最小值是．21．（2024·河北·三模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围是．22．（2024·