2025高考一轮复习（人教A版）第49讲 二项分布与超几何分布（含答案）

2025高考一轮复习（人教A版）第四十九讲二项分布与超几何分布阅卷人一、选择题得分1．设随机变量X服从二项分布Bn,45，若PA．0.16 B．0.32 C．0.64 D．0.842．2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（）A．35 B．34 C．543．已知离散型随机变量X服从二项分布X~B(n，p)，且E(X)=4，D(X)=q，则1pA．2 B．52 C．944．在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25.某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为X，则X的方差D(X)=（）A．1.5 B．7.5 C．20.5 D．37.55．泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为Px=k=λkk!e−λk=0,1,2,⋯，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ=np．一般地，当A．1−1e B．1−2e C．6．下列说法中正确的是（）①设随机变量X∼B(8,12②甲､乙､丙､丁四人到4个景点游玩，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“甲独自去一个景点”，则P(A∣B)=2③已知变量X,Y,A．①② B．②③ C．①③ D．①②③7．已知随机变量X1，X2分别满足二项分布X1~B(n1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．设随机变量X~B(A．E(x)=3，D(x)=2 B．E(x)=4，D(x)=2C．E(x)=2，D(x)=1 D．E(x)=3，D(x)=1阅卷人二、多项选择题得分9．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为14、21、14，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行某项兴趣调查．已知抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣，现从这7人中随机抽取3人做进一步的深入访谈，用X表示抽取的3人中感兴趣的学生人数，则（）A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人B．随机变量X∼BC．随机变量X的数学期望为15D．若事件A=“抽取的3人都感兴趣”，则P10．已知随机变量X满足：X∼B4,pA．p=23 B．EX=4311．下列选项中正确的是（）A．已知随机变量X服从二项分布B10,1B．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望EC．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是5D．某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次12．下列说法正确的是（）A．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是1B．已知随机变量X~B(n,p)，若E(X)=30,D(X)=10，则p=C．已知An2D．从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为45阅卷人三、填空题得分13．某学校有A，B两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择A餐厅和选择B餐的概率均为12.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为35；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为45，则某同学第2天去A餐厅用餐的概率为；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量X为该班3名同学中第2天选择B餐厅的人数，则随机变量X的均值14．设随机变量X~B(2,p)，且P(X=0)=116，则p=；若Y=2X−1，则Y的方差为15．设随机变量X~B(12,p)阅卷人四、解答题得分16．某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的率为25，高一年级胜高三年级的概率为1（1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；（2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望.夏季濒临，在某校举办的篮球挑战杯上，篮球队员们向台下的观众展现出了一场酣畅淋漓的比赛．假定在本次挑战杯上同学甲每次投篮命中的概率为2317．若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；18．若该同学在每一节比赛中连续投中2次，即停止投篮，否则他将继续投篮，投篮4次后不管有没有连续投中，都将停止投篮，求他在每一节比赛中投篮次数X的概率分布列及数学期望．19．某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为14，12，14）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为23，（1）若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.（2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在n=5和n=6之中选其一，则应选择哪个？20．某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等．（1）求小张在三类中各选1个项目的概率；（2）设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：P(X≥1)=1-P(X=0)=1-Cn0所以X~B(4,45)故答案为：C.

【分析】根据二项分布的概率计算公公式求解出n，进而求方差.2．【答案】C【解析】【解答】解：设随机抽取两人中男生人数为X，且X=0,1,2，PX=0=C32则EX故答案为：C.【分析】设随机抽取两人中男生人数为X，且X=0,1,2，再求得概率，代入期望公式求解即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：∵离散型随机变量X服从二项分布X~B(n，p)，且E(X)=4，D(X)=q，

∴E(X)=np=4，D(X)=np(1-p)=q，

∴q+4p=4，即q4+p=1，

∴1p+14．【答案】D【解析】【解答】解：设答对题目个数为Y，因为某同学要么答对题目，要么答错，

总共8道题，选对的概率是0.25，故Y∼B8,0.25则D(Y)=8×0.25×0.75=1.5，又X=5Y,∴D(X)=D(5Y)=25D(Y)=37.5.故选：D

【分析】根据题意判断出某同学答对题目个数服从n=8，q=0.25的二项分布，由二项分布的的方差公式结合方差的性质即可求解.5．【答案】B【解析】【解答】因为随机变量X~B1000,0.001，PX≥2，所以n=1000≥20，p=0.001≤0.05，所以λ=1000×0.001=1，所以P(X=k)=1所以PX=0=1则PX≥2故答案为：B【分析】利用随机变量X~B1000,0.001，PX≥2，当n≥20而p≤0.05时，泊松分布可作为二项分布的近似可得λ，代入公式用6．【答案】D【解析】【解答】解：①随机变量X∼B(8,12)，则E(X)=8×12=4，故①正确；

②事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“甲独自去一个景点”，PAB=A4444=332，PB=C47．【答案】C【解析】【解答】解：因为X1~B(所以D(X所以n1>n若D(X1)>D(所以“n1>n故答案为：C.【分析】本题考查二项分布的方差，利用二项分布的方差公式D(x)=np(1-p)可求出D(X8．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可知，二项式(x+p因为(x+p可得npn−1=A、若选项A成立，则E(x)=np=3D(x)=np(1−p代入上式验证不成立，故A错误；B、若选项B成立，则E(x)=np=4D(x)=np(1−p代入上式验证不成立，故B错误；C、若选项C成立，则E(x)=np=2D(x)=np(1−p代入上式验证成立，C正确；D、若选项D成立，则E(x)=np=3D(x)=np(1−p故答案为：C.

【分析】利用二项式的展开式和题设条件，得到npn−1=9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三个社团分别需抽取x,y,z人，

则x14=y21=z14所以，从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人，所以，选项A正确；随机变量X的取值可能为1，2，3，PX=1=C51所以，随机变量X的分布列为X123P142所以，选项B错误；由期望公式可得随机变量X的数学期望为EX因为PA故选：ACD.【分析】结合分层抽样的方法，从而求出各社团所需抽取人数，进而判断出选项A；由题意得出随机变量X是取值，再由组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，从而判断出选项B和选项D；再由随机变量的分布列求数学期望公式判断出选项C，从而找出正确的选项.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于A，因为X∼B4,p,EX=3对于B，由选项A可知EX对于C，因为E2X+1对于D，因为D2X+1故选：BCD．【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式，从而列方程求出p的值，进而判断出选项A；再由选项A结合期望公式判断出选项B；由期望的性质判断出选项C；由方差的性质判断出选项D，从而找出正确的选项.11．【答案】B,C【解析】【解答】解：A中，X~B10,12，DB中，X服从超几何分布，N=10,M=7,n=2，EXC中，根据题意，设“第一次摸出正品”为事件A，“第二次摸出正品”为事件B，则PAB=A62D中，设9次射击击中k次概率PX=k则C9k⋅0.8k⋅0.29−k≥故选：BC．【分析】由二项分布的方差公式、超几何分布的均值公式分别判断A、B，由条件概率与对立事件关系可判断C，由二项分布的性质可判断D．12．【答案】A,C【解析】【解答】对于A：两位男生和两位女生随机排成一列共有A4两位女生不相邻的排法有A22A对于B：据二项分布的数学期望和方差的公式，可得E(X)=np=30,D(X)=np(1−p)=30(1−p)=10，解得p=2对于C：由An2=Cn对于D：设随机变量X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，所以P(X=2)=C故答案为：A、C.【分析】对于A，利用排列知识以及古典概型概率计算公式，即可判断A正确；对于B，根据二项分布的期望、方差公式列方程，即可判断B错误；对于C，根据排列、组合数的定义展开计算，即可判断C正确；对于D，根据X服从超几何分布计算概率，判断D错误.13．【答案】710；【解析】【解答】解：设事件A1:第一天去A餐厅；事件A2:第二天去A餐厅；事件B1:第一天去B餐厅；由题意，可知PA1=PB1则PA所以第2天去A餐厅的概率为710由题意，可知每个人去B餐厅的概率为1−710=310故答案为：710；9【分析】根据题意设出对应的事件，以及概率，再代入全概率公式求解即可；随机变量X服从二项分布，代入二项分布的期望公式求解即可.14．【答案】34；【解析】【解答】解：随机变量X~B(2,p)，则P(X=0)=116=C20p0(1−p)2，解得p=34故答案为：34；3【分析】根据二项分布的概率公式求解即可；根据二项分布的方差性质求解即可.15．【答案】8【解析】【解答】解：因为X∼B(12,p)，所以E(X)=12p≤4，得又因为D(X)=12p(1−p)=12(−p2+p)，且函数f(p)=−p2所以D(X)故答案为：83【分析】根据二项分布的期望公式求得0<p≤116．【答案】（1）解：由题意知，高三年级胜高二年级的概率为35，

设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P，

则P=P（2）解：由题意可知，随机变量X=2，3，4，5，则PX=2=1PX=4PX=5故X的分布列为X2345P14416EX【解析】【分析】（1）先求得高三年级胜高二年级的概率，再根据二项分布求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率.（2）根据题意，先确定出随机变量X的所有可能取值，再结合独立事件求概率公式，分别求出相应概率，从而列出随机变量的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式，从而求得随机变量X的数学期望.（1）由题意，知高三年级胜高二年级的概率为35设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P，则P=Px=3（2）由题意可知X=2，3，4，5，则PX=2=1PX=4PX=5故X的分布列为X2345P14416EX【答案】17．解：令该同学投中i次的概率为PY=i，则

P18．解：易知X的可能取值为2，3，4，PX=2PX=3PX=4则X的概率分布列为：X234P4411EX【解析】【分析】（1）根据题意，利用二项分布求解即可；（2）根据题意，易知X的可能取值为2，3，4，再分别求其概率、列出分布列，最后再求期望即可．17．解：令该同学投中i次的概率为PY=i，则

P18．解：易知X的可能取值为2，3，4，PX=2PX=3PX=4则X的概率分布列为：X234P4411EX19．【答案】（1）解：设甲所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件A1，A2，则PB即该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为12（2）解：当n=5时，X为甲答对题目的数量，则X∼B(10,p)，故当n=5时，甲获奖励的概率P1当n=6时，甲获奖励的情况可以分为如下情况：①前10题答对题目的数量大于等于6，②前10题答对题目的