2025高考一轮复习（人教A版）第28讲空间向量基本定理（含答案）

高考一轮复习（人教A版）第二十八讲空间向量基本定理阅卷人一、选择题得分1．空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在A．12a−C．12a+2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P−ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，点E是PC边上一点，且EC=2PE，若DE=xAB+yA．1 B．2 C．13 D．3．在平行六面体ABCD−A1B1C1DA．3 B．6 C．3 D．64．已知a,b,c是空间的一组基底，其中AB=2A．−34 B．34 C．45．如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台ABCD−A1B1C1D1，若AB=2AA．34AAC．34AA6．在四面体OABC中，空间的一点M满足OM=14OA+A．12 B．13 C．5127．如图，平行六面体各棱长为1，且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60A．64 B．63 C．628．p:a，b，c是三个不共面的单位向量，q:A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件阅卷人二、多项选择题得分9．若a,A．a，b，c不可能共面B．若a⊥b，bC．对空间任一向量p，总存在有序实数组(x,y,z)，使pD．a+b，b+10．如图所示四面体OABC中，OB=OC=4，OA=3，OB⊥OC，且∠AOB=∠AOC=60°，CD=23CB，G为AD的中点，点A．OG=B．当H是靠近A的三等分点时，DH，OC，AB共面；C．当OH=56D．DH⋅OH的最小值为11．下列关于空间向量的命题中，正确的是（）A．若空间向量a,b，满足aB．若非零向量a,b,cC．若OA,OB,OC是空间的一组基底，且D．若向量a+b,12．下列四个命题中正确的是（）A．已知a→,b→,B．n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若a⋅nC．已知向量a→=9,4,-4，b→=1,2,2D．O为空间中任意一点，若OP=xOA+yOB+z阅卷人三、填空题得分13．如图，在四面体ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点，且AEEB=AHHD=CFFB=CGGD=114．已知三棱锥P−ABC的体积为15,M是空间中一点，PM=−115PA+15．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P阅卷人四、解答题得分16．在正四面体ABCD中，P是△ABC内部或边界上一点，满足AP=λAB+μ（1）证明：当|DP|取最小值时，DP⊥BC；（2）设DP=xDA+y17．已知平行六面体ABCD−A1B1C1D（1）试用a,b,（2）求MN的长度．18．三棱柱ABC−A1B1C1中，N为B1C1中点，点M在线段（1）试用a，b，（2）若∠BAC=∠BAA1=∠CA19．如图，在四面体ABCD中，AE=λAB，AH=λAD，CF=(1−λ)（1）求证：E、F、G、H四点共面．（2）若λ=13，设M是EG和FH的交点，O是空间任意一点，用OA、OB、OC、OD表示

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：点N为BC的中点，如图所示：

则有ON=1所以MN=故答案为：B.【分析】由向量的三角形法则和平行四边形法则，再利用基底表示所求向量．2．【答案】A【解析】【解答】解：因为EC=2PE，所以PE=则DE==23AP−23AC+AB故答案为：A.【分析】由题意，利用空间向量基本定理将DE用AB，AC和AP表示出来，对照各项系数计算即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：由题意，以AB→，AD→，AA所以A=1+1+1+2×1×1×12故答案为：B.【分析】由题意，以AB→，AD4．【答案】D【解析】【解答】解：由题意，设存在唯一的实数对(x,y)，使得AB=x即2a则2a则x=2，y=−32，λy−x=0，

解得故答案为：D.【分析】根据题意，设存在唯一的实数对(x,y)，使得AB=xAC+y5．【答案】C【解析】【解答】解：因为AD所以BD1→=AD1所以CM→故答案为：C.【分析】利用空间向量的基本定理求解即可.6．【答案】D【解析】【解答】在四面体OABC中，OA,OB,则由MA,MB,MC，得故选：D

【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得.设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得OP→7．【答案】B【解析】【解答】解：因为动点P满足AP=x所以AP−AA又因为点P在平面BDA1内，所以|AP|的最小值，即为点连接BD,DA1,A1B，如图所示：所以三棱锥A−A1BD为正四面体，过点A作AH⊥平面BDA1所以AH⊥A1H所以|AH|=A1A2−故答案为：B.【分析】由平面向量共面定理可知：点P在平面BDA1内，则|AP|的最小值即为点P到平面BDA1的距离，求出三棱锥A−A1BD8．【答案】A【解析】【解答】解：若a，b，c是三个不共面的单位向量，则a,若a,b,c为空间的一个基底，则a，b，c是三个不共面的向量，不一定是单位向量，则必要性不成立，故故答案为：A.【分析】根据基底的定义，结合充分，必要条件的定义判断即可.9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A，由空间的基底定义，可知a，b，c不可能共面，故A正确；对于B，如图是底面为等边三角形的直三棱柱，若A则显然有a⊥b，b⊥c，但对于C，由空间向量基本定理，可知C正确；对于D，假设a+b，b+则存在λ,μ∈R，使a+b=λ(显然方程组无解，即a+b，b+故a+b，b+故答案为：ACD.【分析】根据空间的基底的定义和空间向量基本定理，则判断出选项A和选项C；通过举反例可排除选项B项；运用反证法思路，假设a+b，b+10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：以OA,OB,OC为基底，则OA=3，OB=A、因为AD=所以OG=OA+B、当H是靠近A的三等分点，即OH=DH=又AB=OB−OA，所以DH=−23C、因为HG⃗所以：HG⃗⋅OA⃗=D、设OH=λOA，因为：DH=所以DH⋅OH=当λ=13时，DH⋅故答案为：BCD.【分析】由题意以OA,11．【答案】C,D【解析】【解答】对于A，模长相等方向可不同，显然A错误；对于B，由于空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行，所以B错误；对于C，由平面的向量示可知OA,OB,OC是空间的一组基底，则A,B,C三点不共线.由OD=对于D，若向量a+b,b+c,c+a是空间一组基底，则对空间中的任何一个向量故答案为：C、D【分析】结合空间向量定义可直接判断A错误；由空间的垂直关系可判断B错误；由四点共面的结论可判断C正确；由基底向量的定义化简可判断D正确.12．【答案】A,D【解析】【解答】对于A，假设a→,b→,m→因为a→,b→,所以a→,b对于B，当l⊂α时，满足a⋅n=0，但直线l对于C，因为a→=9,4,-4则a在b方向上的投影向量为a→对于D，由空间向量基本定理的推论可知：若OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1，则P，故答案为：AD.【分析】根据空间向量共面基底的性质判断A正确；根据线面平行的条件判定B错误；根据投影向量的定义式求C错误；根据向量基本定理的推论判断D正确.13．【答案】1【解析】【解答】解：因为AEEB=AHHD=CFFB=CG所以AM=1故答案为：16【分析】由题意结合对应边成比例两直线平行和比例关系以及平行四边形的定义，从而得出四边形EFGH为平行四边形，再结合空间向量基本定理，从而以AB,AC,14．【答案】10【解析】【解答】解：如图所示：因为PM=−115即15PM即10PM=−MA因为−15+25使得MD=−15所以PM=12MD，即又因为三棱锥P−ABC的体积为15，则VA−MBC故答案为：10.【分析】根据题意，由空间向量的运算可得2PM=−15MA+25MB+415．【答案】3【解析】【解答】解：如下图所示：由题意可知，点P为C1则AP=所以，x=12，y=1，则故答案为：32【分析】本题考查空间向量的基本定理.先利用空间向量的基本定理可得出AP关于AB、AD、AA1的表达式：AP→=A16．【答案】（1）证明：取AB中点M，AC中点N，连接MN，如图所示：则AB=2AM，因为AP=λAB+μ所以三点P,又四面体ABCD为正四面体，所以DM=DN，当P为MN中点时，DP⊥MN，此时|DP|取得最小值，又因为MN//BC，所以DP⊥BC（2）解：易知λ,DP=所以x=12，y=λ，故x2+y根据二次函数的性质，当λ=14时，x2当λ=0或12时，x2+故x2+17．【答案】（1）解：AN=（2）解：AM=NM=所以|=1则MN=29【解析】【分析】（1）利用向量线性运算，结合几何体特征确定AN与a,（2）由（1），结合空间向量数量积的运算律及已知条件求MN的长度.（1）AN=（2）AM=NM=所以|=1所以MN=2918．【答案】（1）解：三棱柱ABC−A1B1C1中，N为B1则B1N=因此MN=1（2）解：∠BAC=∠BAA1=∠CA则a⋅b=|所以|=1【解析】【分析】（1）数形结合，利用空间向量的线性运算求解即得.（2）由（1）的结论，利用空间向量的数量积运算即可得出结论.19．【答