2025高考一轮复习（人教A版）第19讲 复数（含答案）

高考一轮复习（人教A版）第十九讲复数阅卷人一、选择题得分1．若复数z满足z=i⋅z，则zA．1−i B．1+i C．1+2i D．1−2i2．若z−1i+1=2，则A．3 B．2 C．5 D．33．已知z在复平面内对应的点为1,−1，z的共轭复数为z，则（）A．z⋅z=1 B．z−z=2i C．4．已知z1=a+1A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知z=5i2+i，则A．2i B．4i C．1 D．26．已知复数i−2是关于x的方程x2+px+q=0(p,A．25 B．5 C．41 D．417．已知z=1+i1−i，则A．i B．−i C．1+i D．1−i8．设复数z=sin(θ+π4)+2iA．π4 B．5π4 C．2023π4阅卷人二、多项选择题得分9．设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都可以表示为三角形式rcosθ+isinθ，其中r为复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为z的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现rcosθ+isinA．2cosπ10C．2cosπ210．已知z1，zA．若z1=B．若z1+z2∈RC．若z1z2=0D．若z1211．设复数z1A．z1⋅zC．若z1z2=0，则z1=0或阅卷人三、填空题得分12．如图1点Za,b，我们知道复数z=a+bia,b∈R可用点Za,b表示.一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成rcosθ+isinθ的形式，即a=rcosθb=rsinθ,其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角（以x非负半轴为始边，OZ所在射线为终边的角），我们规定0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若OZ1=r1cosθ1+isinθ1,OZ2=r2cosθ2+isinθ2，则r1cosθ1+isinθ1⋅r2cosθ2+isinθ13．若(3+i)99=x+yi14．已知集合M⊆{x∣x=in+i−n,n∈15．如果复数z=x+yi(x∈R,y∈R)，z1=−2，z2=−12，z3=i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，阅卷人四、解答题得分16．已知关于x得二次方程：x2（1）当方程有实数根时，求点(a（2）求方程实数根的取值范围.17．已知复数z=a+bi（a，b∈R），存在实数t，使z=（1）求证：2a+b为定值；（2）若|z−2|≤a18．已知复数z1（1）若z1=z（2）a=−2，b=4，求z119．已知复数z=m+2+m−2im∈R，z（1）求m的值；（2）若z−3i是关于x的实系数一元二次方程x2

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C【解析】【解答】解：因为z−1i+1所以z-1=21+i则z=故答案为：C.【分析】先利用复数的除法运算可得z，再利用模长公式即可求解.3．【答案】D【解析】【解答】解：因为z在复平面内对应的点为1,−1，所以z=1−i，z=1+i，

A、z⋅z=2，

B、z−z=−2i，

C、z+故答案为：D.【分析】由共轭复数的概念及复数的四则运算逐个判断即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：因为复数z1=a+1−2i为纯虚数，所以则复数z2=−1+i，复数z2故答案为：B.【分析】根据复数z1为纯虚数求得a5．【答案】D【解析】【解答】解：z=5i2+i=5i(2−i)(2+i)(2−i)故答案为：D．【分析】根据复数的除法运算化简求得复数z，再根据共轭复数的定义求其共轭复数，最后根据复数的加法运算求解即可．6．【答案】C【解析】【解答】解：因为复数i−2是关于x的方程x2所以−2-i也是方程的一个根，由韦达定理可得-2+i+-2-i则|pi+q|=|4i+5|=41故答案为：C.【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理、复数的求模公式求解即可.7．【答案】A【解析】【解答】解：因为z=1+i1−i=故答案为：A．【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则求得z=i，代入z+z8．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得sin(θ+π对于A，当θ=π4时，对于B，当θ=5π4时，对于C，当θ=2023π4时，对于D，当θ=2025π4时，故答案为：C.【分析】利用已知条件和复数为纯虚数的判断方法，从而得出θ的值，再逐项判断找出正确的选项.9．【答案】B,D10．【答案】A,C11．【答案】A,B,C12．【答案】213．【答案】2【解析】【解答】解：由于32则(所以x=0，y=299，即故答案为：2100【分析】利用复数的运算法则和i的周期性，从而得出x，y的值，进而得出x+2y的值.14．【答案】8【解析】【解答】解：易知in周期为4，

当n=1时，x=i+i−1=0；

当当n=3时，x=i3+i−3=0；

当n=4时，x=i故答案为：8个.【分析】根据in的周期性，分别计算n取1，2，3，4时x的值，根据集合元素的个数，确定集合M15．【答案】4+2【解析】【解答】解：由z=x+yi(x∈R,y∈R)，z1=-2,z2=-12,z3=i

知Zx,y,Z1-2,0,Z2-12,0,Z30,1,

从而Z1Z→=x+2,y,Z1Z2→=32,0,Z1Z3→=16．【答案】（1）解：设方程的实数根为x0，则x即(x02两式消去x0可得(整理可得(2a−1即点(a,b（2）解：由x02+2整理得8a因为a∈R，所以Δ=16x02故方程的实数根的取值范围是[−4，0].【解析】【分析】（1）设方程的实数根为x0，代入方程结合复数相等列式计算即可；

（2）由x02+2x17．【答案】（1）解：z=2+4it根据复数相等可得a=2tb=3at−故2a+b为定值；（2）解：z−2=a−2+bi，且|z−2|≤a又因为2a+b=6，即b=6−2a，则(a−2)2+(6−2a)所以原不等式组即为a≥0a2−7a+10≤0故a的取值范围为[2【解析】【分析】（1）化简z=2+4it−3ati整理可得a−bi=218．【答案】（1）解：复数z1因为z1=z（2）解：当a=−2，b=4时，z1则z1【解析】【分析】（1）由题意，根据复数相等求解即可；

（2）将a=−2，b=4代入求得复数z119．【答案】（1）解：已知z=m+2+m−2i，则由z+z=6，得m+2+m−2i+m+2−m−2​​​​​​​（2）解：由（1）可知，z=3−i，将z−3i=3−4i代入方程可得：3−4i2+a3−4i+b=0，即：−7+3a+b−4a+24i=0，代入一元二次方程中得：x2解得：x1=6+即方程另外一个复数根为3+4i【解析】【分析】（1）根据共轭复数的概念，再结合复数的加法运算法则，从而得出实数m的值.（2）由（1）可知z=3−i，将z−3i=3−4i代入一元二次方程中，从而建立关于a，b的方程组，进而求出参数a，b的值，再将a，b的值代入一元