2025高考一轮复习（人教A版）第15讲 三角恒等变换（含答案）

高考一轮复习（人教A版）第十五讲三角恒等变换一、选择题1．已知sin(α−β)=A．79 B．19 C．−12．若sinα−cosαA．−π12 B．−π20 C．3．已知角α的终边不在坐标轴上，且2sin2α=sinα，则cos2α=（）A．−78 B．78 C．−74．我国国旗的图案由一大四小五颗五角星组成，如图，已知该五角星的五个顶点构成正五边形的五个顶点，则cosαcosπ−βA．cos18∘ B．cos236∘ 5．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，则SaA．216 B．28 C．9156．将方程sinxcosx+3sin2x=A．−34 B．−24 C．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2−A．π12 B．5π12 C．7π128．已知a=sinα,1−4cos2α，b=1,3A．17 B．−17 C．29．函数fx=cosA．3 B．4 C．5 D．6二、多项选择题10．已知O为坐标原点，点Acosα,sinα，Bcosβ,sinβ，A．|OA|=|OBC．OA⋅OC=cos11．已知sinπA．cosα−π6C．cosα+5π6=−212．已知函数fxA．fx的最小正周期为B．−π12,C．x=−π12是曲线D．fx在区间π13．已知函数fxA．fxB．fxC．fx是周期函数，且最小正周期为D．fx三、填空题14．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为π3的扇形.C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接平行四边形，则四边形ABCD的面积最大值为15．已知函数fx=23sinxcosx−2sin216．已知关于x的方程2sinx+cosx=1在0,2π内有2个不同的解α,β，则cosα−β=四、解答题17．已知函数f(x)=3（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=1,a=7,c=8，求△ABC的面积．18．已知α,β为锐角，tanα=4（1）求cos2α与tan2α的值；（2）求tanα−β19．已知函数fx=sin4x+2（1）求常数a的值；（2）求函数fx20．已知0<α<π2,（1）求tanβ的值；（2）求2α+β的大小.

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】∵cosαsinβ=16，

∴sinα-β=sinαcosβ-cosαsinβ=2．【答案】B【解析】【解答】解：sinα−cosα由sinα−cosα则α−π4=6α+kπ,k∈Z取k=0,α=−π20，取故答案为：B.【分析】根据正切的二倍角公式以及同角三角函数基本关系化简可得tanα−π4=tan3．【答案】A4．【答案】D【解析】【解答】解：由题意，中间的五边形内角和5β=5−2π，则β=3π5，两个α与一个β为同一个等腰三角形的内角，可得2α+β=π，则α=π则cosαcosπ−β=cosπ故答案为：D.【分析】由图可得β=3π5，5．【答案】A【解析】【解答】解：因为S=12bc则S=1当且仅当b=c时，等号成立，所以12sinA=6t−2tcosA∴t≤2故答案为：A.【分析】由三角形的面积公式和余弦定理，结合基本不等式求最值的方法，从而对Sa2+4bc6．【答案】C【解析】【解答】解：由方程sinxcosx+3sin2则2x−π3=arcsin−即2x=π3−arcsin3因为arcsin3所以2x1=2x3=π3即2x则x2−x同理2x则x3−x2同理可计算得a3=−3所以a1故答案为：C.【分析】由题意，利用三角恒等变形和辅助角公式化归为正弦值求角，由于不是特殊值，这里借助反三角函数来表示所求的角，然后组成数列xn，并依次计算a1,7．【答案】B8．【答案】B【解析】【解答】解：因为a//所以1−4cos1−41−25sin所以sinα=35又因为α∈0,π2，所以sin所以tanα−故答案为：B.【分析】利用向量平行的坐标表示和二倍角的余弦公式，从而解方程可得sinα的值，再结合角α的取值范围和同角三角函数基本关系式得出tanα的值，再根据两角差的正切公式得出9．【答案】C【解析】【解答】解：函数fx令fx=0，求得cosx=0因为x∈0,13π6，所以cosx=0有两个解，分别为sinx=36且y=sinx在2π,13π6上单调递增，所以sinx=36综上所述fx=0在0,13π6上有5个解，即fx故答案为：C.【分析】利用正弦的二倍角公式化简函数fx10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、因为点Acosα,sinα，Bcosβ,sinβ

所以B、由Acosα,sinα，Ccosα+β2,sinOB→因为AC→所以|ACC、由选项B知，故C正确；D、OA⋅显然2cos2α−β2−1故答案为：ABC.【分析】由题意，根据向量模的坐标表示及数量积运算，结合余弦的两角和差角公式化简判断即可.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、cosα−B、cos2α−C、cosα+D、若α∈0,π，则π且sinπ3+α=2可得cos=−5所以cosα=故选：BCD.【分析】由已知条件sinπ3+α=23，因此各选项以π3+α为整体，

A、由π3+α-α−π6=π2⇒α−π6=π3再由π3+α12．【答案】A,C,D13．【答案】B,D14．【答案】315．【答案】[16．【答案】−17．【答案】（1）−（2）63或18．【答案】（1）解：α,β为锐角，tanα=43，由同角三角函数基本关系可得整理可得169cos2由余弦的二倍角公式可得：cos2α=2cos因为tanα=43，所以（2）解：因为α,β为锐角，所以α+β∈0,π又因为cosα+β=−5因此tanα+β因此tan=−【解析】【分析】（1）由题意，结合同角三角函数的关系和余弦二倍角公式化简求解即可；（2）由同角三角函数的关系和正切的两角和差公式化简求值即可.（1）因为tanα=43,tanα=代入sin2α+cos2α=1因此cos2α=2cos因为tanα=43，所以（2）因为α,β为锐角，所以α+β∈0,π又因为cosα+β=−5因此tanα+β因此tan=−19．【答案】（1）解：f(x)==3因为x∈0,π2，所以2x−π6∈−由题知，2+a=3，解得a=1．（2）解：由−π2+2kπ≤2x−π6解得−π所以函数f(x)的单调递增区间为k