2024-2025学年江西省南昌十五中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省南昌十五中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y=14x2A.(116,0) B.(0,116)2.双曲线x24−yA.y=±32x B.y=±23x3.若X服从两点分布，P(X=1)−P(X=0)=0.34，则P(X=1)=(

)A.0.57 B.0.67 C.0.68 D.0.774.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在线段OA上，且OM=2MA，点A.−23a+12b+15.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.1415926<π<3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有(

)A.24个 B.36个 C.72个 D.60个6.若直线l：(1+3λ)x+(1+λ)y−2−4λ=0(λ∈R)与圆C：x2+y2+4y−12=0相交于A，B两点，则A.6 B.14 C.27.2015年春节放假安排，农历除夕至正月初六放假，共7天，某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人，若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有(

)A.1440种 B.1360种 C.1282种 D.1128种8.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：

①平面CMN截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面图形是五边形；

②直线B1A.②③ B.②④ C.①③ D.①④二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l1：ax−3y+1=0，l2：x−by+2=0，则(

)A.若l1⊥l2，则ab=−3

B.若l1//l2，则ab=3

C.若l110.在(2x+x)6的展开式中，下列说法正确的是A.所有二项式系数之和为26 B.第4项的二项式系数最大

C.所有项的系数的和为36 D.x11.如图，P是椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)A.|PF1|=m+a，|PF2|=m−a

B.若θ=60°，则1e12+3e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，用A，B，C三个不同的元件连接成一个系统N.当元件C正常工作且元件A，B至少有一个正常工作时，系统N正常工作.已知元件A，B，C正常工作的概率依次为0.8，0.7，0.8，则系统N能正常工作的概率为______．13.如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有______种.(用数字填写答案)14.2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支(把圆锥面换成相应的二次锥面时，则可得到双曲线).现用一个垂直于母线的平面去截一个等边圆锥(轴截面为等边三角形)，则所得的圆锥曲线的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

(1)计算：C33+C43+C516.(本小题12分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A17.(本小题12分)

平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(2,2)，B(−4,2)，点P满足|PA||PB|=12．

(1)求P点的轨迹方程；

(2)求过点Q(8,−4)且与圆P相切的直线18.(本小题12分)

CℎatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用CℎatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，CℎatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下CℎatGPT，小张和CℎatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个．

(1)在小张和CℎatGPT的这次挑战中，求小张答对的题数X的分布列；

(2)给CℎatGPT输入一个问题，求该问题能被CℎatGPT回答正确的概率；19.(本小题12分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63，右顶点为(2,0)．

(1)求椭圆E的方程；

(2)过原点O且与y轴不重合的直线l与椭圆E交于M，N两点.已知点P(0,2)，直线PM，参考答案1.C

2.A

3.B

4.A

5.B

6.C

7.D

8.C

9.BCD

10.ABC

11.ACD

12.0.752

13.72

14.315.解：(1)根据题意，C33+C43+C53+⋯+C123=C44+C43+C53+⋯+C123

=C16.解：(Ⅰ)证明：由于CC1⊥CA，CC1⊥CB，AC⊥BC，

故以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，M(1,1,3)，C1(0,0,3)，D(2,0,1)，E(0,0,2)，

所以C1M=(1,1,0),B1D=(2,−2,−2)，

因为C1M⋅B1D=(1,1,0)⋅(2,−2,−2)=2−2+0=0，

所以C1M⊥B1D，因此C1M⊥B1D；

(Ⅱ)因为AC⊥平面BCC1B1，所以平面C17.解：(1)设P(x,y)，则|PA||PB|=(x−2)2+(y−2)2(x+4)2+(y−2)2=12，

化简得，x2+y2−8x−4y+4=0，即(x−4)2+(y−2)2=16．

(2)由圆P为(x−4)2+(y−2)2=16，则其圆心为(4,2)，半径为4，

18.解：(1)设小张答对的题数为X，则X的可能取值是8，9，

P(X=8)=C98C

X

8

9

P

9

1(2)设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被CℎatGPT正确回答”，

由题意知P(A−)=0.1,P(