2025年中考数学总复习《几何求解证明之圆中的最值问题》同步测试题-附答案

第第页2025年中考数学总复习《几何求解证明之圆中的最值问题》同步测试题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题（共5小题）1．如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（）A．2 B．2 C．4+22 D．2．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝35，点C为平面内一动点，BC=32，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点A．（35，65） B．（355C．（65，125） D．（653．如图，⊙O的半径为4，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则△ABC面积的最大值是（）A．123 B．122 C．434．平面直角坐标系内，已知点A（1，0），B（5，0），C（0，t）．当t＞0时，若∠ACB最大，则t的值为（）A．22 B．52 C．5 5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝63，D是BC边上一点，CD＝2BD，线段AD的最大值为（）A．12 B．6+23 C．6+3 D．二．填空题（共8小题）6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是4，则△ABC的面积为．7．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为．8．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2+PB2的最大值为．9．如图，⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为⊙O上一动点，Q为弦AP上一点，AQ＝3PQ．若点D的坐标为（0，﹣4），则CQ的最小值为．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是1．过⊙O上一点P作等边三角形PDE，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则PD的取值范围是．11．如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，当点A，B在圆上运动时，线段AC的最大值为．12．如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则CE2+BE2的最大值是．13．如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，D是线段BC上的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E，交BC的延长线于点F，射线BE交EF于点G，则BE•EG的最大值为．三．解答题（共6小题）14．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作PC⊥l，垂足为点C，PC与⊙O交于点D，连接PA，PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．（1）当x＝3时，求弦PA，PB的长度；（2）用含有x的代数式表示PD•CD，并求出当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？15．如图，直线l：y=43x+b与y轴交于点A，与x轴交于点B（﹣6，0），点C是线段OA上一动点（0＜AC＜325）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交线段AB于另一点D，连接OD并延长交⊙（1）求△OAB的面积；（2）若∠ACD＝∠AOD+∠OAD，求点D的坐标；（3）若点C在线段OA上运动时，求OD•DE的最大值．16．如图，半圆O的直径AB＝4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．（1）计算：劣弧PQ的长；（2）思考：点M与AB的最大距离为，此时点P，A间的距离为；点M与AB的最小距离为．（3）探究：当半圆M与AB相切时，求AP的长．（注：结果保留π，cos35°=63，cos55°=17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，那么称点P为线段AB的“完美点”．①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是，⊙C的半径是；②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由；（2）若点P在y轴负半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为．18．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是线段CD延长线上的一点，连结FA交⊙O于点G，连结CG交AH于点P，连结CA．（1）求证：∠ACG＝∠F．（2）如图②，若CA＝CG，求证：AG＝CD．（3）如图③，连结DG，AE＝8．BE＝2．①若tan∠F=34，求②求AG•DG的最大值．19．如图，P是y轴负半轴上一动点，坐标为（0，t），其中﹣4＜t＜0，以P为圆心，4为半径作⊙P，交y轴于A，B，交x轴正半轴于C，连接PC，BC，过点B作平行于PC的直线交x轴于D，交⊙P于E．（1）当t＝﹣3时，求OC的长；（2）当△PBC与△CBD相似时，求t的值；（3）当P在y轴负半轴上运动时，①试问BEOP②求BE•ED的最大值．参考答案与试题解析题号12345答案DDACB一．选择题（共5小题）1．如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（）A．2 B．2 C．4+22 D．【分析】如图，由三角形三边关系分析可得当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB﹣OA，以此即可求解．【解答】解：如图，点B为⊙O上一点，点D为正方形上一点，连接BD，OC，OA，AB，由三角形三边关系可得，OB﹣OD＜BD，OB是圆的半径，为定值，当点D在A时，取得最大值，∴当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB﹣OA，由题意可得，AC＝4，OB＝4，∵点O为正方形的中心，∴OA⊥OC，OA＝OC，∴△AOC为等腰直角三角形，∴OA=AC∴圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为OB﹣OA＝4−22故选：D．2．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝35，点C为平面内一动点，BC=32，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点A．（35，65） B．（355C．（65，125） D．（65【分析】由题意可得点C在以点B为圆心，32为半径的⊙B上，在x轴的负半轴上取点D（−352，0），连接BD，分别过C和M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，先证△OAM∽△DAC，得OMCD=OAAD=23，从而当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC【解答】解：∵点C为平面内一动点，BD=3∴点C在以点B为圆心，32为半径的⊙B在x轴的负半轴上取点D（−3连接BD，分别过C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，∵OA＝OB=35∴AD＝OD+OA=9∴OAAD∵CM：MA＝1：2，∴OAAD∵∠OAM＝∠DAC，∴△OAM∽△DAC，∴OMCD∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，∵OA＝OB=35，OD=∴BD=O∴CD＝BC+BD＝9，∵OMCD∴OM＝6，∵y轴⊥x轴，CF⊥OA，∴∠DOB＝∠DFC＝90°，∵∠BDO＝∠CDF，∴△BDO∽△CDF，∴OBCF=BD解得CF=18同理可得，△AEM∽△AFC，∴MECF=AM解得ME=12∴OE=O∴当线段OM取最大值时，点M的坐标是（655，故选D．3．如图，⊙O的半径为4，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则△ABC面积的最大值是（）A．123 B．122 C．43【分析】如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得结论．【解答】解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．由题意AB垂直平分线段OK，∴AO＝AK，∵OA＝OK，∴OA＝OK＝AK，∴∠OAK＝∠AOK＝60°．∴AH＝OA•sin60°＝4×32=∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴AB＝2AH＝43，∵OC+OH≥CT，∴CT≤4+2＝6，∴CT的最大值为6，∴△ABC的面积的最大值为12×43故选：A．4．平面直角坐标系内，已知点A（1，0），B（5，0），C（0，t）．当t＞0时，若∠ACB最大，则t的值为（）A．22 B．52 C．5 【分析】先确定过A、B两点的⊙M与y轴相切于点C时∠ACB最大，再利用圆的有关知识求出OC的长即可．【解答】解：如图①，作过A、B两点的⊙M与y轴相切于点C，∵∠AC'B＜∠APB，∠APB＝∠ACB，∴∠AC'B＜∠ACB，∴⊙M与y轴相切于点C时，∠ACB最大．如图②，作MH⊥AB，连接OM、MA、MB，∵⊙M与y轴相切于点C，∴∠OCM＝90°，∵A（1，0），B（5，0），∴AB＝4，∵MH⊥AB，∴AH=12∴OH＝1+2＝3，∴MC＝MA＝MB＝3，∴MH=3∴OC=5∴t=5故选：C．5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝63，D是BC边上一点，CD＝2BD，线段AD的最大值为（）A．12 B．6+23 C．6+3 D．【分析】作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，OD，过O作OE⊥BC，利用圆周角定理和垂径定理，求出OB，利用勾股定理求出OD，根据AO+OD≥AD，得到当A，O，D三点共线时，AD最大，即可得解．【解答】解：作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，OD，过O作OE⊥BC，∵∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠BOE＝60°，∴∠OBE＝30°，∴OB＝2OE，∵BC=63，CD＝2∴BE=33∵OB2＝OE2+BE2，∴4OE2＝OE2+27，∵OE＞0，∴OE＝3，∴OB＝6，∵DE=BE−BD=3∴OD=D∵AO+OD≥AD，∴当A，O，D三点共线时，AD最大，即：AD=OA+OD=6+23故选：B．二．填空题（共8小题）6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是4，则△ABC的面积为48．【分析】如图，取BC的中点T，连接AT，QT．首先证明A，Q，T共线时，△ABC的面积最大，设QT＝TB＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT，QT，BQ．∵PB是⊙O的直径，∴∠PQB＝∠CQB＝90°，∴QT=12BC＝定值，∵AQ≥AT﹣TQ，∴当A，Q，T共线时，AQ的值最小，设BT＝TQ＝x，在Rt△ABT中，则有（4+x）2＝x2+82，解得x＝6，∴BC＝2x＝12，∴S△ABC=12AB•BC故答案为：48．7．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为18．【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．【解答】解：连接OP，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝5，MQ＝12，∴OM＝13，又∵MP′＝4，∴OP′＝9，∴AB＝2OP′＝18，故答案为：18．8．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2+PB2的最大值为100．【分析】设点P（x，y），表示出PA2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可．【解答】解：设P（x，y），∵PA2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2，∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2，∵OP2＝x2+y2，∴PA2+PB2＝2OP2+2，当点P处于OM与圆的交点P′处时，OP取得最大值，如图，∴OP的最大值为OP′＝OM+P′M=4∴PA2+PB2最大值为2×72+2＝100．故答案为：100．9．如图，⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为⊙O上一动点，Q为弦AP上一点，AQ＝3PQ．若点D的坐标为（0，﹣4），则CQ的最小值为17−3【分析】连接PO，过Q作QM∥OP，交AO于M，以M为圆心，MA为半径作圆，连接MC交⊙M于Q′，得到AM：AO＝AQ：AP，求出AM的长，推出MQ＝AM＝3，由勾股定理求出CQ′的长即可．【解答】解：连接PO，过Q作QM∥OP，交AO于M，以M为圆心，MA为半径作圆，连接MC交⊙M于Q′，∴AM：AO＝AQ：AP，∵AQ＝3PQ，∴AQ：AP＝3：4，∵D的坐标是（0，﹣4），∴OA＝OD＝4，∴AM=34AO∵OA＝OP，∴∠MAQ＝∠P，∵QM∥PO，∴∠MQA＝∠P，∴∠MAQ＝∠MQA，∴MQ＝MA＝3，∴Q在⊙M上，∴当Q与Q′重合时，CQ最小，∵OM＝AO﹣AM＝4﹣3＝1，OC＝4，∴MC=O∴CQ′＝CM﹣MQ′=17∴CQ的最小值是17−故答案为：17−10．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是1．过⊙O上一点P作等边三角形PDE，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则PD的取值范围是3−1≤PD≤3【分析】找到最大值与最小值的位置，分别求出取值范围的临界值即可解答．【解答】解：如图，过点P作PM⊥DE于点M，连接OM，设DP＝DE＝a，∵△PDE为等边三角形，PM⊥DE，∴∠DPE＝60°，∠DPM＝30°，M为DE中点，∴DM=12a，根据勾股定理可得PM=D以此可得PM+OM≥1，即32解得：a≥3如图，过点P作PM⊥DE于点M，连接OM，设DP＝DE＝a，同理可得，OM=12a根据图象可得，PM﹣OM≤1，即32解得：a≤3综上，3−1≤a≤∴PD的取值范围是3−1≤PD≤故答案为：3−1≤PD≤11．如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，当点A，B在圆上运动时，线段AC的最大值为3+1【分析】如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH＝BA，连接PH．证明AC=12PH，求出【解答】解：如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH＝BA，连接PH．∵BA＝AH，BC＝CP，∴AC∥PH，AC=12∴当PH的值最大时，AC的值最大，∵∠AOB＝2∠APB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AO＝AH＝AB，∴∠HOB＝90°，∴OH=3OB＝23∵PH≤OH+OP，∴PH≤23+∴当P、O、H共线时，PH最大，PH的最大值为23+∴AC的最大值为12（23+2）故答案为：3+12．如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则CE2+BE2的最大值是6．【分析】连接AC，OD，DE，设E（x，y），利用90°的圆周角所对的弦是直径可得，AC是⊙D的直径，再利用平面直角坐标系中的两点间距离公式求出CE2+BE2＝2（x2+y2）+2，OE2＝x2+y2，可得当OE为⊙D的直径时，OE最大，CE2+BE2的值最大，然后进行计算即可解答．【解答】解：连接AC，OD，DE，设E（x，y），∵∠AOC＝90°，∴AC是⊙D的直径，∵AO＝BO＝CO＝1，∴A（0，1），C（1，0），B（﹣1，0），∴AC=2CE2＝（x﹣1）2+y2，BE2＝（x+1）2+y2，∴CE2+BE2＝（x﹣1）2+y2+（x+1）2+y2＝2（x2+y2）+2，∵OE2＝x2+y2，∴当OE为⊙D的直径时，OE最大，CE2+BE2的值最大，∴OE2＝AC2＝（2）2＝2，∴CE2+BE2的最大值＝2×2+2＝6，故答案为：6．13．如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，D是线段BC上的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E，交BC的延长线于点F，射线BE交EF于点G，则BE•EG的最大值为32．【分析】如图，过点C作CH⊥EG于点H．利用相似三角形的性质证明EB•EG＝2AE•EC，设EC＝x，在Rt△ABC中，AC=BC2−AB2=102−62【解答】解：如图，过点C作CH⊥EG于点H．∵CH⊥EG，∴EH＝GH，∵∠A＝∠CHE＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴△ABE∽△HCE，∴AEEH∴BE•EH＝AE•EC，∴BE•2EH＝2•AE•EC，∴EB•EG＝2AE•EC，设EC＝x，在Rt△ABC中，AC=B∴EB•EG＝2x•（8﹣x）＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴x＝4时，BE•EG的值最大，最大值为32，故答案为：32．三．解答题（共6小题）14．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作PC⊥l，垂足为点C，PC与⊙O交于点D，连接PA，PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．（1）当x＝3时，求弦PA，PB的长度；（2）用含有x的代数式表示PD•CD，并求出当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？【分析】（1）根据切线的性质得AB⊥l，则AB∥PC，所以∠CPA＝∠PAB，再根据AB为⊙O的直径得到∠APB＝90°，则可判断△PCA∽△APB，利用相似比可计算出AP，然后利用勾股定理可计算出PB；（2）如图，过O作OE⊥PD，垂足为E，根据垂径定理得到PE＝ED，易得四边形OECA为矩形，则CE＝OA＝2，所以PE＝ED＝x﹣2，接着表示出PD和CD，然后根据二次函数的性质求解．【解答】解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l，又∵PC⊥l，∴AB∥PC，∴∠CPA＝∠PAB，∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠PCA＝∠APB，∴△PCA∽△APB，∴PC：AP＝AP：AB，∵PC＝x＝3，∴3：AP＝AP：4，∴AP＝23，在Rt△APB中，PB=AB（2）如图，过O作OE⊥PD，垂足为E，∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE＝ED，在矩形OECA中，CE＝OA＝2，∴PE＝ED＝x﹣2，∴CD＝PC﹣PD＝x﹣2（x﹣2）＝4﹣x，∴PD•PC＝2（x﹣2）•（4﹣x）＝﹣2x2+12x﹣16＝﹣2（x﹣3）2+2，∵2＜x＜4，∴当x＝3时，PD•CD的值最大，最大值为2．15．如图，直线l：y=43x+b与y轴交于点A，与x轴交于点B（﹣6，0），点C是线段OA上一动点（0＜AC＜325）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交线段AB于另一点D，连接OD并延长交⊙（1）求△OAB的面积；（2）若∠ACD＝∠AOD+∠OAD，求点D的坐标；（3）若点C在线段OA上运动时，求OD•DE的最大值．【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出点A坐标即可求解；（2）利用辅助线DH，先证明△OCD∽△ODA，利用圆的半径从而得出OD，OC，OA的关系，即可求解；（3）利用勾股定理求出AB，再利用辅助线OG证明△DEF∽△DGO，最后利用半径r表示OD，DE，DF和DG的关系即可求解．【解答】解：（1）∵直线l：y=43x+b与x轴交于点∴将（﹣6，0）代入，得：43×（﹣6）+∴b＝8，∴y=43当x＝0时，y＝8，∴A（0，8），∴S△OAB=12×OA×（2）如图，过点D作DH⊥OA于点H，∵∠ACD＝∠AOD+∠OAD，∠ACD＝∠AOD+∠ODC，∴∠OAD＝∠ODC，∴△OCD∽△ODA，∴OCOD∴OD2＝OC•OA，设AH＝4m，DH＝3m，则：AH＝AD＝5m，∴OH＝OA﹣AH＝8﹣4m，OC＝8﹣5m，∴D（﹣3m，8﹣4m），∴OD2＝OH2+DH2＝（8﹣4m）2+（3m）2，∵OD2＝OC•OA，∴（8﹣4m）2+（3m）2＝（8﹣5m）•8，解得：m=24∴D（−7225，（3）如图，过点O作OG⊥AB于点G，AB交⊙A于点D，F，连接EF，∵OB＝6，OA＝8，∴AB=O∵AGOA∴AG=O设AC＝AD＝r，则：DG=325∵DF为直径，∴DF＝2r，∠DEF＝90°，∴△DEF∽△DGO，∴ODDF∴OD•DE＝DF•DG＝2r•（325−r）＝﹣2r2+645r＝﹣2（r−当r=165时，OD•最大值为5122516．如图，半圆O的直径AB＝4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．（1）计算：劣弧PQ的长；（2）思考：点M与AB的最大距离为3，此时点P，A间的距离为2；点M与AB的最小距离为32（3）探究：当半圆M与AB相切时，求AP的长．（注：结果保留π，cos35°=63，cos55°=【分析】（1）连接OP，OQ，得△OPQ为等边三角形，根据圆心角的度数求出弧长即可；（2）过点M作MC⊥AB于点C，当C点与O点重合时，M与AB的距离最大，当Q点与B点重合时，M与AB的距离最小，分别求出所需数据即可；（3）当半圆M与AB相切时，此时MC＝1，且分以下两种情况讨论，当C点在线段OA上和C点在OB上，分别计算出AP即可．【解答】解：（1）连接OP，OQ，∵AB＝4，∴OP＝OQ＝2，∵PQ＝2，∴△OPQ是等边三角形，∴∠POQ＝60°，∴PQ=60°π×2（2）过点M作MC⊥AB于点C，连接OM，AP，由C点的位置可知，当C点与O点重合时点M与AB的距离最大，如图：此时AP＝2，PM＝1，OM=A∵OM⊥AB，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OP，∴△AOP是等边三角形，∴AP＝2，由C点的位置可知，当Q点与B点重合时，M与AB的距离最小，如图：∵∠OBP＝60°，BM＝1，∴MC＝BM•sin60°=3故答案为：3，2，32（3）当半圆M与AB相切时，此时MC＝1，且分以下两种情况讨论：①当C点在线段OA上时，在Rt△OCM中，由勾股定理得，OC=O∴cos∠AOM=OC∴∠AOM＝35°，∵∠POM＝30°，∴∠AOP＝∠AOM﹣∠POM＝35°﹣30°＝5°，∴AP=当点C在线段OB上时，此时∠BOM＝35°，∵∠POM＝30°，∴∠AOP＝180°﹣∠POM﹣∠BOM＝115°，∴AP=综上，当半圆M与AB相切时，AP的长为π18或2317．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，那么称点P为线段AB的“完美点”．①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是（4，3）或（4，﹣3），⊙C的半径是32；②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由；（2）若点P在y轴负半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为（0，−7）【分析】（1）①过点C作CD⊥AB于点D，利用圆周角定理和垂径定理计算CD，AD的长度，进而得到线段OD的长度即可得到点C坐标；利用勾股定理即可求得AC的长度，则⊙C的半径可求；②设⊙C交y轴于点D，E，连接CD，CE，过点C作CG⊥CD于点G，CF⊥AB于点F，利用（1）①的结论和垂径定理计算线段EG的长度，则线段OE，OD的长度可求，结论可得；（2）设⊙C与y轴切于点P，在y轴上任取一点Q（与点P不重合），连接BQ，AQ，BQ与⊙C交于点D，连接AD，利用圆周角定理和三角形的外角大于任何一个不相邻的内角，得到当点P为⊙C与y轴的切点时，当∠APB的度数最大，利用切割线定理求出线段OP的长即可得出结论．【解答】解：（1）①∵点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0），∴OA＝1，OB＝7．∴AB＝6．过点C作CD⊥AB于点D，如图，则AD＝BD=12∴OD＝AO+AD＝4．∵∠APB＝45°，∴∠ACB＝2∠APB＝90°，．∵CD⊥AB，CA＝CB，∴CD=12∴C（4，3）．同理：根据对称性，在第四象限也存在符合条件的点（4，﹣3）．∴AC=A∴⊙C的半径是32．故答案为：（4，3）或（4，﹣3）；32；②y轴正半轴上有线段AB的“完美点”，理由：设⊙C交y轴于点D，E，连接CD，CE，过点C作CG⊥CD于点G，CF⊥AB于点F，如图，则∠AEB＝∠ADB＝∠APB＝45°．∴D，E为y轴正半轴上线段AB的“完美点”．则EG＝DG=12DE，CD＝CE＝3∵CG⊥DE，CF⊥AB，∠O＝90°，∴四边形OFCG为矩形．∴CG＝OF＝4，OG＝CF＝3．在Rt△CGE中，∵EG2＝CE2﹣CG2，∴EG=C∴GE＝DG=2∴OE＝OG﹣GE＝3−2，OD＝OG+DG＝3+∴E（0，3−2），D（0，3+∴y轴正半轴上有线段AB的“完美点”，“完美点”的坐标为（0，3+2）或（0，3−（2）设⊙C与y轴负半轴切于点P，在y轴负半轴上任取一点Q（与点P不重合），连接BQ，AQ，BQ与⊙C交于点D，连接AD，如图，则∠APB＝∠ADB，∵∠ADB＞∠AQB，∴∠APB＞∠AQB．∴当P运动到⊙C与y轴相切时，∠APB的度数最大．连接PC并延长交⊙C于点E，连接AE，如图，∵OP是⊙C的切线，∴CP⊥OP，∴∠OPA+∠ABE＝90°．∵PE为⊙C的直径，∴∠PAE＝90°，∴∠APE+∠E＝90°，∴∠OPA＝∠E，∴∠E＝∠OBP，∴∠OPA＝∠OPB，∵∠AOP＝∠POB＝90°，∴△OAP∽△OPB，∴OAOP∴OP2＝OA•OB．∴OP=OA⋅OB∴P（0，−7解法二：过点C′作C′H⊥AB于点H，如图，∵C′（4，﹣3），∴C′P＝C′A＝4，AH＝3，∴C′H=4∴OP＝C′H=7∴P（0，−7故答案为（0，−718．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是线段CD延长线上的一点，连结FA交⊙O于点G，连结CG交AH于点P，连结CA．（1）求证：∠ACG＝∠F．（2）如图②，若CA＝CG，求证：AG＝CD．（3）如图③，连结DG，AE＝8．BE＝2．①若tan∠F=34，求②求AG•DG的最大值．【分析】（1）连接BG，利用垂径定理和圆周角定理解答即可；（2）连接AD，利用垂径定理和在同圆或等圆中等弦对等弧，等弧对等弦解答即可；（3）①过点P作PH⊥AC于点H，连接BC，OC，利用勾股定理和直角三角形的边角关系求得tan∠CAE=CEAE=12；设PH＝3k，则CH②利用AG•DG与△ADG的面积的关系，当△ADG的面积取最大值时，AG•DG最大；利用△ADG的面积的值解答即可求得结论．【解答】（1）证明：连接BG，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠AGB＝90°．∴∠ABG+∠BAG＝90°．∵弦CD⊥AB于点E，∴∠F+∠BAG＝90°．∴∠ABG＝∠F．∵∠A