专训6-三角函数在学科内的综合应用

阶段方法技巧训练（二）专训6三角函数在学科内的综合应用习题课1．三角函数与其他函数的综合应用：此类问题常常利用函数

图象与坐标轴的交点构造直角三角形，再结合锐角三角函

数求线段的长，最后可转化为求函数图象上的点的坐标．2．三角函数与方程的综合应用：主要是与一元二次方程之间

的联系，利用方程根的情况，最终转化为三角形三边之间

的关系求解．

3．三角函数与圆的综合应用：主要利用圆中的垂径定理、直

径所对的圆周角是直角等，将圆中的边角关系转化为同一

直角三角形的边角关系求解．4．三角函数与相似三角形的综合应用：此类问题常常是由相

似得成比例线段，再转化成所求锐角的三角函数．1类型三角函数与一次函数的综合应用1．如图，直线y＝kx－1与x轴、y轴分别交于B，C两点，tan∠OCB＝.(1)求点B的坐标和k的值；(2)若点A(x，y)是直线y＝kx－1上的

一个动点(且在第一象限内)，在点A的运动过程中，

试写出△AOB的面积S与x的函数关系式．(1)把x＝0代入y＝kx－1，得y＝－1，∴点C的坐标是(0，－1)，∴OC＝1.

在Rt△OBC中，∵tan∠OCB＝

，∴OB＝.∴点B的坐标是.

把B的坐标代入y＝kx－1，得k－1＝0.解得k＝2.(2)由(1)知直线AB对应的函数关系式为y＝2x－1，

所以△AOB的面积S与x的函数关系式是S＝

OB·y＝×(2x－1)＝

x－.解：2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛

物线过点C，且对称轴直线x＝1交x轴于点B，连接EC，AC，

点P，Q为动点，设运动时间为t秒．(1)求点A的坐标及抛物线对应的函数解析式；(2)如图，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度

运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到

达终点时，另一个点随之停止运动．当t

为何值时，△PCQ为直角三角形？2类型三角函数与二次函数的综合应用(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝1，矩形OCDE的三个顶

点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)，点A在DE上，∴点A坐标为(1，4)，

设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－1)2＋4，

把C(3，0)的坐标代入抛物线对应的函数解析式，

可得a(3－1)2＋4＝0，解得a＝－1.

故抛物线对应的函数解析式为y＝－(x－1)2＋4，

即y＝－x2＋2x＋3.解：(2)依题意有OC＝3，OE＝4，∴CE＝

＝5.

当∠QPC＝90°时，∵cos∠QCP＝

，∴，解得t＝

；

当∠PQC＝90°时，∵cos∠QCP＝

，∴，解得t＝.∴当t＝

或t＝

时，△PCQ为直角三角形．3三角函数与反比例函数的综合应用类型3．如图，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan∠AOB＝.(1)求k的值；(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位

置，反比例函数y＝(x＞0)的图象恰好

经过DC的中点E，求直线AE对应的函数解析式；(3)若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论，并说明理由．(1)易知A点的坐标为(2，3)，∴k＝6.(2)易知点E纵坐标为

，由点E在反比例函数y＝

的图象上，求出点E的坐标为

，结合A点坐标

为(2，3)，

求出直线AE对应的函数解析式为y＝－

x＋.解：(3)结论：AN＝ME.理由：在解析式y＝－

x＋

中，

令y＝0可得x＝6，令x＝0可得y＝.∴点M(6，0)，N.∴OM＝6，ON＝.

方法一：如图，延长DA交y轴于点F，

则AF⊥ON，且AF＝2，OF＝3，∴NF＝ON－OF＝.根据勾股定理可得AN＝.∵CM＝6－4＝2，EC＝

，∴根据勾股定理可得EM

＝

，∴AN＝ME.方法二：如图，连接OE，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF＝2，∵S△EOM＝

OM·EC＝×6×＝

，S△AON＝

ON·AF＝××2＝

，∴S△EOM＝S△AON.又∵△AON中AN边上的高和△EOM中ME边上的高相等，∴AN＝ME.4三角函数与方程的综合应用类型4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.

已知a，b是关于x的一元二次方程x2－(c＋4)x＋4c＋8

＝0的两个根，且9c＝25asinA.(1)试判断△ABC的形状；(2)△ABC的三边长分别是多少？(1)∵a，b是关于x的方程x2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个

根，∴a＋b＝c＋4，ab＝4c＋8.∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(c＋4)2－2(4c＋8)＝c2.∴△ABC为直角三角形．解：(2)∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴sinA＝.将其代入9c＝25asinA，

得9c＝25a·，9c2＝25a2，3c＝5a.∴c＝

a.∴b＝

a.

将b＝

a，c＝

a代入a＋b＝c＋4，

解得a＝6.∴b＝×6＝8，c＝×6＝10，

即△ABC的三边长分别是6，8，10.5．已知关于x的方程5x2－10xcosα－7cosα＋6＝0有两个

相等的实数根，求边长为10cm且两边所夹的锐角为α

的菱形的面积．∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴(－10cosα)2－20(－7cosα＋6)＝0，解得cosα＝－2(舍去)或cosα＝.设在一内角为α的直角三角形中，α的邻边长为3k(k＞0)，∴斜边长为5k，则α的对边长为

＝4k，∴sinα＝

，则菱形一边上的高为10sinα＝8cm，∴S菱形＝10×8＝80(cm2)．解：5三角函数与圆的综合应用类型6．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心、CD

为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF∶FD＝4∶3.(1)求证：点F是AD的中点；(2)求cos∠AED的值；(3)如果BD＝10，求半径CD的长．(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠ADE＝∠BAD＋∠B，∠DAE＝∠CAD＋

∠CAE，且∠B＝∠CAE，

∴∠ADE＝∠DAE，∴ED＝EA.∵ED为⊙O的直径，∴∠DFE＝90°，

∴EF⊥AD，∴点F是AD的中点．(2)解：如图，连接DM，则DM⊥AE.设EF＝4k，DF＝3k，

则ED＝

＝5k.∵AD·EF＝

AE·DM，∴DM＝

k，∴ME＝

k，

∴cos∠AED＝.(3)解：∵∠CAE＝∠B，∠AEC为公共角，∴△AEC∽△BEA，∴AE∶BE＝CE∶AE，∴AE2＝CE·BE，∴(5k)2＝

k·(10＋5k)．∵k＞0，∴k＝2，∴CD＝

k＝5.7．【中考·遂宁】如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N.(1)求证：∠ADC＝∠ABD；(2)求证：AD2＝AM·AB；(3)若AM＝

，sin∠ABD＝

，求线段BN的长．(1)证明：如图，连接OD，∵直线CD切⊙O于点D，

∴∠CDO＝90°.∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，

∴∠1＝∠3.∵OB＝OD，∴∠3＝∠4.∴∠1＝∠4，即∠ADC＝∠ABD.(2)证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝90°＝∠ADB.

∵∠1＝∠4，∴△ADM∽△ABD，∴，∴AD2＝AM·AB.(3)解：∵sin∠ABD＝

，∴sin∠1＝.∵AM＝

，

∴AD＝6，∴AB＝10，∴BD＝

＝8.

∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°，

∴∠DBN＋∠BDN＝∠1＋∠BDN＝90°，

∴∠DBN＝∠1，∴sin∠NBD＝

，∴DN＝

，

∴BN＝.6三角函数与相似三角形的综合应用类型8．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点