随机数学标准化作业B

普通高等教育“十一五”国家级规划教材

随机数学

(B)

标准化作业

吉林大学公共数学中心

2013.2

第一次作业

院(系)班级学号姓名

一、填空题

1.10个人编号1,2,…，10且随意围一圆桌坐下，则有某一对持相邻号码的两个人

正好座位相邻的概率是.

2.已知事件A和B满足尸(AB)=P(1万)，且尸(A)=0.4,则P(B)=.

3.已知尸(A)=」，尸(814)=,，P(AIB)=!,贝l]P(AU8)=

432

4.在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于9”的概率

5

为.

5.两个相互独立的事件A和B都不发生的概率是工，且4发生8不发生和A不发生3

9

发生的概率相等，则尸(A)=.

6.在4重伯努利试验中，已知事件A至少出现一次的概率为0.5,则在一次试验中A

出现的概率为.

二、选择题

1.下列等式不成立的是()

(A)A=AB\JAB.(B)A-B=AB.

(C)(AB)(AB)=0.(D)(A-B)\JB=A.

2.设A,民C是同一个实验的三个事件,则事件(4U8)(4U斤)EUB)可化简为()

(A)AUB.(B)A-B.(C)AB.(D)0.

3.已知事件A和B满足尸(A8)=0,则()

(A)A和8相互独立.(B)AB=d>.

(C)4B未必为0.(D)P(A)=O或尸(8)=0.

4.在10件产品中有2件次品，依次取出2件产品,每次取一件,取后不放回，则第二次取

到次品的概率为()

(A)—.(B)(C)

455

5.设有4张卡片分别标以数字1,2,3,4,今任取一张；设事件A为取到1或2,事

件B为取到1或3,则事件A与8是()

(A)互不相容.(B)互为对立.(C)相互独立.(D)互相包含.

6.设每次试验成功的概率为p(0<p<1),则重复进行试验直到第九次才取得成功的概

率为()

(A)p(1-p)"-1.(B)“°(l—p)"T.(C)("—l)p(l-p)i.(D)—

三、计算题

1.将w只球随机地放入N(w<N)个盒子中，设每个盒子都可以容纳〃只球，求：(1)

每个盒子最多有一只球的概率R;(2)恰有机(切4“)只球放入某一个指定的盒子中的概率

p2；(3)w只球全部都放入某一个盒子中的概率P3.

2.三个人独立地去破译一份密码’已知每个人能译出的概率分别为1:：'问三人

中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

2

3.随机地向半圆。＜〉〈百羡二^^^内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区

域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴夹角小于生的概率.

4

4.仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损

坏时，仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个

元件损坏时，仪器发生故障的概率为0.95,当三个元件都不损坏时，仪器不发生故障.求:

(1)仪器发生故障的概率；(2)仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率.

3

5.在100件产品中有10件次品；现在进行5次放回抽样检查，每次随机地抽取一件

产品，求下列事件的概率：(1)抽到2件次品；(2)至少抽到1件次品•

四、证明题

1,设0<P(A)<l,0<P(8)<l,尸⑷8)+尸(川石)=1,证明事件A与8相互独立.

2.设事件A的概率P(A)=0,证明A与任意事件都相互独立.

4

第二次作业

院(系)班级学号姓名

一、填空题

1.-实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是不合格产品的概

率为Pj=」一(i=1,2,3),X表示3个零件中合格的个数，则尸{X=2}=.

z+1

2.设随机变量X的分布函数为

0,x<—1,

0.4,-1<%<1,

F(x)=\

0.

、Lx>3.

则x的分布律为.

3.设随机变量X的概率密度为/(x)=]吧<1'用y表示对x的3次独立重复观

察中事件wg1出现的次数，则p{y=2}=.

4.设随机变量X,y服从同一分布，x的概率密度函数为

-3

—x?,0<x<2,

/W=18

.0,其它，

设4={X>a}与8={y>a}相互独立，>P{AUB}=->则。=.

5.设随机变量X服从二项分布3(2,p),随机变量F服从二项分布B(3,p),若

P{X>1}=|,贝UP{Y>1}=.

6.设随机变量X服从N(2,〃)，且p{2<X<4}=0.34UP{X<0}=.

7.标准正态分布函数0(1.96)=.

二、选择题

1.下面能够作为某个随机变量的分布律的是()

5

135]

(A)0.50.30.3)

(012L〃L)

(C)

2.设/⑴=sinx,要使〃%)=sinx能为某随机变量X的概率密度，则X的可能取值

的区间是()

331

(A)[7C-71].(B)[—肛2万].(C)[0,乃].(D)[0,-^].

222

3.设耳⑴和尸2(九)分别为随机变量X1和X2的分布函数，为使/⑴=*(%)-如⑺是

某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取()

3222

(A)a=-,b=~-(B)a=—,b=—.

5533

1?13

(C)a=—,b=—(D)a=—,b=—.

2322

4.已知连续型随机变量X的分布函数为

0,x<0,

F(x)=<kx+b,0<X<7T,

J,X>7T,

则参数左和b分别为()

(A)k=0,b=—,(B)k=—,b=0.

n兀

(C)k=—9b=0(D)k=O,b=—

2%2兀

5.设随机变量X的概率密度函数为

I[o4,x3,0<x<1,

/(x)=

其它，

则使尸｛X>a｝=尸｛X<a｝成立的常数a=()

(A)板.(B)-.(C)1--.

2V2

且「｛｝；⑴贝!

6.设随机变量X服从正态分布N(〃,"),XN1=,/=1,J()

6

(A)//=l,cr2=l.(B)fi—1,cr=1—.

(C)〃=1,"=—.(D)〃=0,〃=1.

'2%'

7.设随机变量X服从正态分布N(〃,")，则随着cr2的增大，概率尸{IX-〃l<0}()

(A)单调增大.(B)单调减少.

(C)保持不变.(D)增减性不定.

三、计算题

1.一批产品由9个正品和3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回，

直到取得正品为止.用X表示取到的次品个数，写出X的分布律和分布函数.

2.设随机变量X的概率分布为

X-2-10123

P0.100.200.250.200.150.10

(1)求y=-2X的概率分布；(2)求z=x,的概率分布.

7

3.设连续型随机变量X的概率密度为

x,0<x<1,

f（x）=<kQ-x）,1<x<2,

0,其它，

求：（1）E的值；（2）X的分布函数.

4.设随机变量X服从正态分布N(3,4),求:P{2<X<3},P{IXl>2},P{IXI<3}.

8

5.设连续型随机变量X的分布函数为

0,x<-a,

x

F(x)=SA+5arcsin—,-a<x<a,(a>0)

a

1,x>a,

求：（1）常数A、B.（2）随机变量X落在卜■!，■!内的概率.（3）X的概率密度函数.

6.已知随机变量X的概率密度为

ax+b,0<%<1,

/（不）=

0,其他，

且1=:求（1）常数的值；（2）尸”

2

9

7.已知随机变量X的概率密度为

fx（x）=e-M,-8<x<+8,

又设

yJ+l,X>0,

求：（i）y的分布律；（2）计算尸卜>；｝.

8.已知随机变量X的概率密度为

e~x,x>0,

/w=

0,x<0,

求：随机变量y=x2的概率密度函数.

10

四、证明题

1,设随机变量X服从正态分布N(〃,")，证明：y=aX+b(a*O)仍然服从正态分布,

并指出参数.

2,设随机变量X服从参数为；1=2的指数分布，证明：丫=1-片2乂服从［0,1］上的均匀

分布.

11

第三次作业

院（系）班级学号姓名

一、填空题

1.设随机变量x与y相互独立，具有相同的分布律，

X01

P0.40.6

则max｛X,Y]的分布律为.

2.设随机变量（X,Y）的联合分布律为

——-——mNTI

P｛X=m,Y=ri]='2m+l'-m,n-1,2,L,

0,m<n,

则关于X的边缘分布律为P｛X=m]=,关于Y的边缘分布律为P｛Y=〃｝=.

3.设有二维连续型随机变量（X,y）,则尸（X=y）=

4.设随机变量x和y相互独立，x在区间（0,2）上服从均匀分布，y服从参数为2=1

的指数分布，则概率尸｛x+y>i｝=.

5.若二维随机变量（X,y）在区域｛（x,y）l/+y24R2｝上服从均匀分布，贝i]（x,y）的

概率密度函数为.

6.设随机变量小广）~以0,1,2,3,0）,则4+另=

7.设随机变量X1,X2，L相互独立，并且服从相同的分布，分布函数为尸（x）,

记随机变量X=max（X1,Xz，L,Xn）,则X的分布函数Fx（x）=.

二、选择题

1.关于随机事件｛XWa,yW6｝与｛X>al>6｝下列结论正确的是（）

（A）为对立事件.（B）为互斥事件.

12

(C)为相互独立事件.(D)P[X<a,Y<b}>P{X>a,Y>b].

2.设二维随机变量(X,y)在平面区域G上服从均匀分布，其中G是由x轴，y轴以及

直线y=2x+l所围成的三角形域，则(X,F)的关于X的边缘概率密度为()

8x+2,—<x<0,8x+4,—<x<0,

(A)./x(尤)='2(B).A(x)=2

0,其它.0,其它.

4x+2,—<x<0,4x+4,—<x<0,

(C)/X(x)=.2(D)fx(x)=-2

0,其它.0,其它.

3.设平面区域G是由x轴，y轴以及直线x+1=l所围成的三角形域，二维随机变量

(X,Y)在G上服从均匀分布，则篇(xly)=()(0<y<2)

2

,0<x<1——,

(A)fX[Y(x\y)=<2->2

0,其它.

2

0<x<1——

(B)/xv(xiy)=T_y'2

0,其它.

1

,0<x<1——

(C)fxiY(xh)=\2-y2

0,其它.

1V

-------,0<x<l--,

(D)fxir(xIy)=<1-y------------------2

0,其它.

4.设二维随机变量(x,y)的分布函数为

兀

F(x,y)=A—+arctan%B+arctan—

22

则常数A和B的值依次为()

7()

(A)乃2和士.(B)，和区.C1和5(D)卜吟.

71兀4

5.设X］和X?是两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度分别为工(x)和人。),

分布函数分别为耳(x)和K(x),则下列说法正确的是()

13

（A）工。）+力（无）必为某一随机变量的概率密度.

（B）/（尤）力（尤）必为某一随机变量的概率密度.

（C）片（尤）+耳（尤）必为某一随机变量的分布函数.

（D）f；（x）鸟（x）必为某一随机变量的分布函数.

6.如果（x,y）是连续型随机变量，下列条件中不是x与y相互独立的充分必要条件的

是()，其中为任意实数.

(A)P{X>x,Y>y}=P{X>x}P[Y>y].

(B)F(x,y)=Fx(X)FY(y).

(C)f(x,y)=fx(x)fY(y).

a?/。,、)

(D)=f(x,y)-

dxdy

7.设随机变量x,y相互独立，x服从N（O,I）,y服从贝N）

（A）P（X+Y<0）=0.5.（B）P（X+r<l）=0.5.

（Op（x-y<o）=o.5.（D）p（x-y<i）=o.5.

三、计算题

1.设随机变量X在1,2,3,4四个数字中等可能取值，随机变量y在1~X中等可能

地取一整数值，求（X,y）的概率分布，并判断x和y是否独立.

14

2.设随机事件4、8满足尸（A）=（尸网4）=P（A忸）=g,令

fl,A发生，yjl,B发生,

[o,4不发生，一[o,8不发生,

求（1）（x,y）的概率分布；（2）z=x+y的概率分布.

3.已知随机变量X和y相互独立，且都服从正态分布N（O,炉），求常数R,使得概率

P[y/x2+Y2<R]=0.5.

15

4.已知二维随机变量(x,y)的概率密度为

品一"，x>0,y>0,

f(x,y)=

0,其它.

(1)求系数k；(2)条件概率密度fx|y(x|y)；(3)判断x和y是否相互独立；(4)计算概

率尸｛X<2,<1｝；(5)求2=111也｛乂1｝的密度函数心(Z).

16

5.设随机变量。在区间［-2,2］上服从均匀分布，令

X=[T若口"1,y=1-1若UWL

"I1若U>-1,1若U>1,

求(XI)的联合分布律.

6.设（X,y）的概率密度

1,0<x<1,0<y<2x,

/(尤,y)=

0,其它.

求z=2x-y的概率密度.

17

第四次作业

院(系)班级学号姓名

一、填空题

1.设随机变量X的分布律为

X-202

P0.40.30.3

则E(X)=____________,E(X2)=____________,E(3X2+5)=____________.

2.设随机变量X和y相互独立，且。(x)=b和。(y)=G都存在，则

DQX-37)=.

3.设随机变量X的概率密度为

1XC//

0,、—cos—,0<x<

/(元)=22

0,其它.

对X独立重复地观察4次，用Y表示观察值大于色的次数，则现片)=.

3

4.设随机变量X〜N(0,1),Y〜乃(4),并且X与丫的相关系数为0.5,则有

O(3X-27)=.

5.对一批圆木的直径进行测量，设其服从几切上的均匀分布，则圆木截面面积的数

学期望为.

6.设随机变量X在［7,2］上服从均匀分布，设随机变量

1,X>0,

y=［0,X=0,

-1,X<0,

贝I」D(Y)=.

7.设X服从［-1,1］上的均匀分布，则成X,)=,0(X3)=.

二、选择题

1.对于随机变量X,关于E(X)和成X?)合适的值为()

(A)3,8.(B)3,-8.(C)3,10.(D)3,-10.

18

2.设x是一随机变量，且E（X）=〃,O（X）=4（〃q>0为常数），则对于任意常数

C,必有()

(A)E[(X-C)2]=£(X2)-C2.(B)£[(X-C)2]=E[(X-//)2].

(C)E[(X-C)]<E[(X-4)2].(D)E[(X-C)2]>E[(X-/z)2].

3.设O(X)=2,则。(3X-2)=(

(A)16.(B)18.(C)20.(D)8.

4.对于以下各数字特征都存在的任意两个随机变量x和y,如果E（xy）=E（x）E（y）

则有（）

(A)D(XY)=D(X)D(Y).(B)D(X+Y)=D(X)+D(Y).

(Ox和y相互独立.(D)X和F不相互独立.

5.设成乂)=〃,。(乂)=标>0,则为使E(a+6X)=0,D(a+6X)=l,则a和b分别是

()

(A)a=——,b=—.(B)a———,b=—.

oooa

(C)a=—//,b=(y.(D)a=/i,b=—.

o

Y

6.若随机变量x与y满足y=i-5，且。(x)=2,贝ijcov(x,y)=()

(A)1.(B)2.(C)-1.(D)-2.

7.已知二维随机变量（x,y）服从二维正态分布，贝ijx和丫的相关系数0xy=o是x和

丫相互独立的（）

（A）充分条件，但不是必要条件.（B）必要条件，但不是充分条件.

（C）充分必要条件.（D）既不是充分也不是必要条件.

三、计算题

1.设随机变量X的概率密度为

ax,0<x<2,

/（x）=<cx+b,2<x<4,

0,其它.

已知或X）=2,尸{IvX<3}=一,求凡瓦c的值.

19

2.设二维随机变量（x,y）的概率密度为

:（x+y），0<x<2,0<y<2,

/（x,y）=j8

0,其它，

求E（X）,E（y）,cov（X,y）,px4DO（X+y）.

20

3.设二维离散型随机变量（x,y）的联合概率分布为

012

X

0101

1212

10]_0

3

2j_0j_

44

（1）写出关于x、y及xy的概率分布；（2）求x和y的相关系数Px「

4.在数轴上的区间［0,回内任意独立地选取两点M与N,求线段MV长度的数学期望.

21

5.一民航送客车载有20名乘客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个

车站没有旅客下车就不停车，假设每位旅客在各个车站下车的可能性相同，且各个旅客是

否下车相互独立，求停车次数X的数学期望.

6.假设由自动流水线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（〃,l）,内径

小于10或大于12为不合格品，其余为合格品；销售合格品获利，销售不合格品亏损，已

知销售一个零件的利润7（元）与零件内径X的关系为

-1,X<10,

T=（20,10<X<12,.

-5,X>12,

问平均内径〃取何值时，销售一个零件的平均利润最大.

22

第五次作业

院（系）班级学号姓名

一、填空题

1.设随机变量X和y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,则根

据切比雪夫不等式，有尸{IX-y126}W.

2.在每次试验中，事件A发生的可能性是0.5,则1000次独立试验中，事件A发生的

次数在400次到600次之间的概率＞.

二、选择题

1.一射击运动员在一次射击中的环数X的概率分布如下：

X109876

P0.50.30.10.050.05

则在100次独立射击所得总环数介于900环与930环之间的概率是（）

（A）0.8233.（B）0,8230.（C）0.8228.（D）0.8234.

2.设随机变量X「X2,…，X,,…相互独立，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当〃

定充分大时，Xj+X2+L+X,近似服从正态分布，只要X,（i=l,2,L）满足条件（）

（A）具有相同的数学期望和方差.（B）服从同一离散型分布.

（C）服从同一连续型分布.（D）服从同一指数分布.

三、计算题

1.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔客户中被盗索赔占20%,以X表示在随机

抽查的100个索赔客户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X的概率分布；（2）利

用德莫佛一拉普拉斯定理，求被盗索赔客户不少14户且不多于30户的概率的近似值.

23

2.设某种元件使用寿命(单位：小时)服从参数为;I的指数分布，其平均使用寿命为

40小时，在使用中当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件，如此继续下去.已知每个元

件的进价为。元，试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算，才可以有95%的把握保

证一年够用(假定一年按照2000个工作小时计算).

3.一条生产线的产品成箱包装，每箱的重量时随机的.假设平均重50千克，标准差为

5千克.如果用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每量车最多可以装

多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977,(0(2)=0.977.)

24

第六次作业

院(系)班级学号姓名

一、填空题

1.已知从总体X中抽取一组样本容量为九(力＞2)的样本值再，z，L,玉，频数4表示样

本值中有乙个毛，则样本均值工=，样本方差/=，样本标准差

2.设X”X2，X3，X,是来自正态总体"(Op)的简单随机样本，记随机变量

222

X=a(Xt-2X2)+b(3X}-4XJ,则当a=,b=时，统计量X月艮从％分布,

其自由度为.

3.设总体X~BO,p),X1,X2，L,X,是来自总体X的样本，样本均值为文，则

E(X)=，O(X)=

4.设X,~N(〃,<r2),i=l,2,L,〃+1,是相互独立的,记

____1n1n-------2

x,=一£x“区-,

ni=i〃-L=i

则y=j~Tx,+1X“~

Vn+1S,,

5.设总体X的概率密度为

Xe-疝，x>0,

7(x)=

0,x<0,

X”XJ,七是来自总体X的样本，则XpXJ,X”的联合概率密度

/(再，4,L,x,)=________________

二、选择题

1.设总体X~N(〃,"),X],X2，L,X,是总体X的样本，无为样本均值，记

25

s；-〃)2,s：

Yl1i=lYlj=l

则下列随机变量中服从自由度为〃-1的r分布的是（）

X(C)x一4(D)X

(A)*.(B)jfL.

n—n-s31G'

2.设总体XX|,X?L,X是来自总体X的简单随机样本，则

IX—41

/{—<40.025)

(A)0.025.(B)0.975.(C)0.95.(D)0.05.

3.设随机变量x~t（〃）（〃>1）,y=」支,则（）

X

(A)Y.(B)Y~x\n~y)■(C)Y~F(l,ri).(D)Y~F(n,1).

4.设（X],Xz，L,X“）为总体N（l,22）的一个样本，手为样本均值，则下列结论中正确的

是()

V_11n

(A)—(B)：Z(X,T)2〜/(孙1)・

2/Vn4占

y7_11n

(C)LL~N(0,1).(D)-^(X,-l)2~/(/7).

7217n4i=i

5.设X〜/10),若尸{%(10)>1.8125}=0.05,则%§5(10)=()

(A)-1.8125.(B)1.8125.(C)0.95.(D)-0.95.

-、IA-A-C3-T-

二、计舁题

1.从正态总体N(20,3)中分别抽取容量为10和15的两个相互独立样本，求样本均值

之差的绝对值大于0.3的概率.

26

2.设X”X”L3是来自正态总体N(0,0.2)的样本，试求匕使喟乂；“)0.95.

3.设X"X2，L,X“是取自正态总体X~N(〃,/)的一个样本，样本均值为文，样本方差

为S2,E(X),D(X),E(S2),r)(S2).

27

4.设总体X的概率密度为

“、2cos2x,0<x<—,

=14

0,其它，

jr\5

X1,Xz，…，X"为总体X的样本，求样本容量”,使P{min(X「X2，L2.

127loT

2

5已知二维随机变量（x））服从二维正态分布wu,2，,。），判断「打9X服从

的概率分布.

28

第七次作业

院(系)班级学号姓名

一、填空题

1.设总体X服从参数为A的泊松分布，其中X>0为未知，,X?,…，X"为来自总体X

的样本，则几的矩体计量为初=.

2.设总体X在区间［仇2］上服从均匀分布，，<2为未知参数；从总体X中抽取样本

X1,X2,L,X,,则参数6的矩估计量为南=.

3.设总体X~7T(X),X1,X2，L,X"是来自总体X的样本，则未知参数4的最大似然估计

量为1.

4.该总体X~N(〃,1),一组样本值为-2,1,3,-2,则参数〃的置信水平为0.95的置

信区间为-

5.设总体X~N(〃,32),要使未知参数〃的置信水平为0.95的置信间的长度L42,

样本容量〃至少为.

二、选择题

1.设总体X在区间［0,24］上服从均匀分布，其中未知，则a的无偏估计量为

()

(A)+-X,.(B)%=-Xt+-X,+-X,.

121322216233

(C)*=；X］+；乂3.(D),=；X1+12+；乂4

2.设占,％,L,x,为总体X~N(〃,C2)的样本观察值，则〃的最大似然似计值为*=

()

(A)-E(x-//)2.(B)-x\,k=l,2,L.

n$'ni=\v'

(C)-x)2-(D)-x)2.

3.设总体X~N(〃,")，〃与〃均未知，X“X”L,X,为总体X的样本，则