2025高考数学二轮复习-排列组合+概率统计131-140-专项训练【含答案】

由加法原理知，共有(种).注意到从而公式9(其中都是正整数,且).模型9一方面,可把看作二项式的展开式中含项的系数.另一方面，,将展开后,按含项的系数,可分类解决.第1类，的展开式中含项的系数与的展开式中含项的系数的积为第2类，的展开式中含项的系数与的展开式中含项的系数的积为；第3类，的展开式中含项的系数与的展开式中含项的系数的积为；…第类，的展开式中含项的系数与的展开式中含项的系数的积为.由加法原理知，含项的系数为,从而.【评注】1.本问题是利用二项式定理的两种展开方式来完成模型构造的,这也是证明组合数恒等式的常用方法.2.本题也可通过构造模型8来解决,若令，即得公式8.3.与本模型类似的还有利用，证明朱世杰恒等式：.公式10模型10求从副不同的手套中任取只,全不配对的情况总数.完成这件事，一方面可分步完成：第1步,只手套必须来自于副不同的手套,有种，并对这副手套编号；第2步,在1号手套中任选1只,有2种；第3步,在2号手套中任选1只,有2种；…第步，在号手套中任选1只,有2种；由乘法原理知,共有种.另一方面,也可分类解决,设集合为只左手套,集合为只右手套,分别从集合中取只手套,对应盖从集合中取不同于集合中的只手套(如图1所示由加法原理知,不同的取法有种从而公式11.模型11(集合分拆问题)把集合分拆成两个集合和,且,这样的分拆共有多少种?完成这件事,一方面按集合中的元素个数进行分类:第1类,当中有0个元素(即种)时,中的元素有种,共有种；第2类,当中有1个元素(即种)时,中的元素有种,共有种；第3类,当中有2个元素(即种)时,中的元素有种,共有种；第4类,当中有3个元素(即种)时,中的元素有种,共有种；第类,当中有个元素(即种)时,中的元素有种，共有种.由加法原理知，共有(种).另一方面,可对元素实行分步解决:第1步,对于元素来说，可以只进入，也可只进入，也可进入，故有3种；第2步,对于元素来说，可以只进入，也可只进入，也可进入，故有3种；第3步,对于元素来说，可以只进入，也可只进入，也可进入，故有3种；第步,对于元素来说，可以只进入，也可只进入，也可进入，故有3种.由乘法原理知,共有种，从而公式12模型12将集合分拆成两个集合和，即，这样的分拆共有多少种?按集合中元素的个数进行分类:第1类,当中有0个元素(即种)时，中的元素有种,共有种；第2类,当中有1个元素(即种)时，中的元素有种,共有种；第3类,当中有2个元素(即种)时，中的元素有种,共有种；第4类,当中有3个元素(即种)时，中的元素有种,共有种；第类,当中有个元素(即种)时，中的元素有种,共有种.从而有种另一方面，可对元素实行分步解决第1步,对于元素来说，可以只进入，也可只进入，也可以和都不进,故有3种；第2步,对于元素来说，可以只进入，也可只进入，也可以和都不进,故有3种；第3步,对于元素来说，可以只进入，也可只进入，也可以和都不进,故有3种；…第步,对于元素来说，可以只进入，也可只进入，也可以和都不进,故有3种.由乘法原理知,共有种.从而.总之,排列组合问题源于生活,因而对于相关的排、组恒等式必可找到其相应的生活原型,得到合理具体的科学解释.同时,这样的解决问题方式对于培养创新能力、激发学习数学的兴趣、创设良好的人文环境都有很大的实际意义和深远的教育意义.附录2概念梳理，形成网络随机事件的概念剖析1.随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件.随机事件一般用大写英文字母等来表示。2.确定事件（1）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件.（2）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。必然事件和不可能事件合起来称为确定事件.3.事件的概率在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总接近于某个常数,并在它附近摆动,这时就把这个常数叫作事件的概率,记作由定义可知，显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.4.等可能性事件的概率一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常试验中的某一事件由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有个,即此试验由个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是.如果某个事件包含的结果有个,那么事件的概率.【评注】使用公式计算时,确定的数值是关键，其计算方法灵活多变，没有固定的模式，可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。（二）互斥事件的概念剖析1.互斥事件与对立事件（1）互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件；（2）对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件。2.互斥事件的基本特征（1）互斥事件研究的是两个事件之间的关系；（2）所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；（3）两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。从集合角度来看，两个事件互斥,则表示这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.对立事件是互斥事件的一种特殊情况,是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件,集合的对立事件记作，从集合的角度来看,事件所含结果的集合正是全集中由事件所含结果组成集合的补集,即.【评注】对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件.3.和事件的特性与概率计算事件至少有一个发生,则事件的和,记作.当为互斥事件时,事件是由“A发生而不发生”以及“发生而不发生”构成的,因此当和互斥时,事件的概率满足加法公式:(互斥且有.当计算事件的概率比较困难时,有时计算它的对立事件的概率则要容易些,为此有.对于个互斥事件,其加法公式为.【评注】分类讨论思想是解决互斥事件中有一个发生的概率的重要指导思想.(三)独立事件的概念剖析1.独立事件与独立重复试验(1)相互独立事件:事件是否发生对事件发生的概率没有影响,这样的两个事件叫相互独立事件.(2)独立重复试验:如果在一次试验中某事件发生的概率为,那么在次独立重复试验中,这个事件恰好发生次的概率为.2.相互独立事件的基本特征（1）相互独立是研究两个事件之间的关系；（2)所研究的两个事件是在两次试验中得到的；（3）两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的.【评注】互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下,二者互不影响.两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生,而互斥事件不可能同时发生.3.积事件的特性与概率计算事件与同时发生,则与的积事件,记作.当和是相互独立事件时,事件满足乘法公式，还要弄清的区别.表示事件与同时发生,因此它们的对立事件与不同时发生,也等价于与至少有一个发生的对立事件,即，因此有，但.(四)离散型随机变量的分布列随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫作随机变量.随机变量最常见的两种类型,即离散型随机变量和连续型随机变量.如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫作离散型随机变量；如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量.1.离散型随机变量的分布列如果离散型随机变量的可能取值为，由于试验的每个结果的出现有一定的概率,于是随机变量取每一个值也有一定的概率，人们常常习惯地把它们写成表格的形式,如:这种表即为随机变量的概率分布，简称为的分布列.分布列的表达式可有如下几种:（1）表格形式；（2)一组等式；（3）压缩为一个带“”的等式.2.离散型随机变量期望和方差的计算公式设离散型随机变量的分布列为期望：它反映了离散型随机变量取值的平均水平.方差：.它反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.3.期望和方差的性质（五）二项分布的概念剖析1.二项分布的定义如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率.于是得到随机变量的概率分布如下:我们称这样的随机变量服从二项分布,记作其中为参数,并记.2.二项分布的特征鉴别（1）关键是看某一事件是否是进行次独立重复,且每次试验只有两种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布.（2)当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有两种试验结果,此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列.3.二项分布的期望与方差若，则.(六)几何分布的概念剖析“”表示在第次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把次试验时事件发生记为事件不发生记为，那么根据相互独立事件的概率乘法分式，于是得到随机变量的分布列:我们称这样的服从儿何分布,并记其中(七)正态分布的概念剖析1.正态分布的定义总体密度曲线是以下函数的图象:，①①式中的实数是参数,分别表示总体的平均数与标准差,这个总体是有无限容量的抽象总体.其分布叫作正态分布,常记作①的图象被称为正态曲线.特别地,在函数①中,当时,正态总体称为标准正态总体,这时,相应的函数表达式是，②相应的曲线称为标准正态曲线.当我们不知道一个总体的分布时,往往是从总体中抽取一个样本,并用样本的频率分布去估计总体的分布,而且随着样本容量越大分组的组距越小,样本的频率分布就更加接近总体分布.当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时,频率分布直方图就会演变成一条光滑曲线,即反映总体分布的总体密度曲线.可以知道,反映总体分布的总体密度曲线的形状是形形色色的,不同形状的总体密度曲线是不同总体分布的反映,而正态分布以及反映这种分布的正态曲线是众多的总体分布及总体密度曲线中的一类重要分布.2.正态分布的意义正态分布是概率统计中最重要的一种分布,其重要性我们可以从以下两方面来理解:一方面,正态分布是自然界最常见的一种分布.一般说来,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用都不太大,则这个指标服从正态分布.例如,产品尺寸是一类典型的总体,对于成批生产的产品,如果生产条件正常并稳定,即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定,而且不存在产生系统误差的明显因素,那么,产品尺寸的总体分布就服从正态分布.又如测量的误差；炮弹落点的分布；人的身高、体重等；农作物的收获量,等等,都服从或近似服从正态分布.另一方面,正态分布具有许多良好的性质,很多分布可以用正态分布来近似描述,另外,一些分布又可以通过正态分布来导出,因此在理论研究中正态分布也十分重要.标准正态分布若，则，，标准正态曲线是一种特殊的正态分布曲线.由于它具有非常重要的地位,已专门制作了“标准正态分布表”.对于抽象函数课本中没有给出具体的表达式,但其几何意义非常明显,即由正态曲线轴、直线所围成的图形的面积.再由的曲线关于轴对称,可以得出等式以及标准正态总体在任一区间内取值概率一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体其图象不一定关于轴对称,所以研究其在某个区间的概率时，无法利用标准正态分布表进行计算.这时我们自然会思考:能否将一般的正态总体转化成标准的正态总体(0,1)进行研究.人们经过探究发现:对于任一正态总体其取值小于的概率.对于这个公式,课本中不加证明地给出,只用了“事实上,可以证明”这儿个字说明.这表明,对等式的来由不作要求,只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可.小概率事件和假设检验的基本思想小概率事件通常指发生的概率小于0.3\%的事件,因为对于这类事件来说，在大量重复试验中,平均每试验20次,才能发生1次,所以认为在一次试验中该事件是“不可能”发生的.这种认识便是进行推断的出发点.关于这一点我们要有以下两个方面的认识:一是这里的“不可能”发生是针对一次试验来说的,因为试验次数多了,该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用小概率事件“不可能”发生的原理进行推断时,我们也有的犯错误的可能.就是说,这里在概率的意义上所作的推理与过去确定性数学中的“若,则”式的推理有所不同.课本是借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想.进行假设检验一般分三步：第一步,提出统计假设.课本例子里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布第二步,确定一次试验中的取值是否落人范围.第三步,作出推断.如果,接受统计假设；如果由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.上面这种拒绝统计假设的推理,与我们过去学习过的反证法有类似之处.事实上,用反证法证明一个问题时,先否定待证命题的结论,这本身看成一个新的命题,从它出发进行推理,如果出现了矛盾,就把这个矛盾归因于前述新命题不正确,从而将它否定.否定了新命题,也就等于证明了原命题的结论.(八)几何概型的概念剖析1.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度、面积或体积成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.2.几何概型的概率计算在儿何概型中,事件的概率的计算公式为.3.古典概型与几何概型区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的,但古典概型要求基本事件有有限个,几何概型要求基本事件有无限个.4.几何概型的特征几何概型有两个特征:(1)试验结果有无限个；(2)每个结果的出现是等可能的.事件可以理解为区域的某一子区域,事件的概率只与区域的度量(长度、面积或体积)成正比,而与的位置和形状无关.【评注】解决几何概型的概率问题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.(九)线性回归1.回归分析对于两个变量,当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫作相关关系或回归关系.2.回归直线方程设与是具有相关关系的两个变量,且相应于个观测值的个点大致分布在某一条直线的附近,就可以认为对的回归函数的类型为直线型其中我们称这个方程为对的回归直线方程.3.相关关系研究两个变量间的相关关系是学习本节的目的.对于相关关系我们可以从以下三个方面加以认识:（1）相关关系与函数关系不同.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系.例如正方形面积与边长之间的关系就是函数关系.即对于边长的每一个确定的值,都有面积的唯一确定的值与之对应.相关关系是一种非确定性关系,即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.例如人的身高与年龄；商品的销售额与广告费等都是相关关系.(2)函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.例如有人发现,对于在校儿童,身高与阅读技能有很强的相关关系.然而学会新词并不能使儿童马上长高,而是涉及第三个因素一一年龄,当儿童长大一些,他们的阅读能力会提高,而且由于长大身高也会高些.（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系,在一定的条件下可以相互转化.例如正方形面积S与其边长间虽然是一种确定性关系,但在每次测量边长时,由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性.而对于具有线性关系的两个变量来说,当求得其回归直线后,我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计.相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲,函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况.因此研究相关关系,不仅可以使我们处理更为广泛的数学应用问题,还可以使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度.4.回归分析本节所研究的回归分析是回归分析中最简单,也是最基本的一种类型：一元线性回归分析.对于线性回归分析,我们要注意以下几个方面:（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法.两个变量具有相关关系是回归分析的前提.（2)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的,对于性质不明确的两组数据,可先作散点图，在图上看它们有无关系,关系的密切程度,再进行相关回归分析.（3)求回归直线方程,应注意到,只有在散点图大至呈线性时,求出的回归直线方程才有实际意义,否则,求出的回归直线方程毫无意义.5.相关系数有时散点图中的各点并不集中在一条直线的附近,仍可以按照求回归直线方程的步骤求得回归直线方程.显然这种情形下求得的回归直线方程没有实际意义.那么,在什么情况下求得的回归直线方程才能对相应的一组观测数据具有代表意义？课本中不加证明地给出了相关系数的公式.相关系数公式的作用在于我们对一组数据之间的线性相关程度可作出定量的分析,而不是仅凭画出散点图,直觉地从散点图的形状粗浅地得出数据之间的线性相关程度.线性相关性检验相关性检验是一种假设检验,它给出了一个具体检验与之间线性相关与否的具体办法.限于要求，中学阶段只要求掌握这种检验方法的操作步骤，而不要求对这种方法包含的原理进行深入研究.其具体检验的步骤如下：（1）在课本的附表3中查出与显著性水平0.05与自由度(为观测值组数)相应的相关系数临界值（2）根据公式，计算r的值.（3)检验所得结果.如果,那么可以认为与之间的线性相关关系不显著,从而接受统计假设.如果表明一个发生的概率不到的事件在一次试验中竟发生了.这个小概率事件的发生使我们有理由认为与之间不具有线性相关关系的假设是不成立的,拒绝这一统计假设也就是表明可以认为与之间具有线性相关关系.有了相关性检验方法后,我们对一组数据作线性回归分析,只需先对这组数据的线性相关性进行检验.如若具有线性相关性,则可依据求回归直线方程的方法进行求解,而不必像前面那样,先画散点图,再依照散点图呈线性后求回归直线方程.这样就使得回归直线方程更能真实地反映实际情况，具有应用于实际的价值.（十）最小二乘法记回归直线方程为称为变量对变量的回归直线方程,其中a,b叫作回归系数.是为了区分的实际值y,当胶时,变量的相应观察值为而直线上对应于的纵坐标是设,的一组观察值为且回归直线方程为当取时,的相应观察值为差刻画了实际观察值与回归直线上相应点的纵坐标之间的偏离程度,称这些值为离差.我们希望这个离差构成的总离差越小越好,这样才能使所找的直线很贴近已知点.记回归直线就是所有直线中取最小值的那条.这种使“离差平方和为最小”的方法,叫作最小二乘法.可以得到的计算公式为其中由此得到的直线就称为回归直线,其中分别为的估计值.由知,回归直线一定过平均值点,即一定过点.（十一）值得注意的事项1.由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列具有以下两个性质:①②(2)若随机变量的分布列为则称服从二项分布,记作其中为参数,并记对二项分布来说,概率分布的两个性质成立.①②二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用.2.(1)常见的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样.这三种抽样方法的共同点都是等概率抽样,即抽样过程中每个个体被抽取的概率相等,体现了这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为,个体数为N,则用这三种方法抽样时,每一个个体被抽到的概率都是.（2）三种抽样方法的共同点、各自特点、相互联系及适用范围如下表：类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率相等从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均分成几个部分，然后按照事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样总体由差异明显的几部分组成3.总体密度曲线反映了总体分布，即反映了总体在各个范围内取值的概率.总体在区间内取值的概率等于该区间上总体密度曲线与轴、直线和直线所围成曲边梯形的面积.4.（1）正态分布由参数唯一确定,如果随机变量根据定义有.（2）正态曲线具有以下性质:①曲线在轴的上方,与轴不相交.②曲线关于直线对称.③曲线在时位于最高点.④当时,曲线上升；当时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以轴为渐近线,向它无限靠近.⑤当一定时,曲线的形状由确定.越大,曲线越“矮胖”,表示总体越分散；越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.*5.(1)在“标准正态分布表”中,相应于的值是指总体取值小于的概率,则:①；②(2)对于任一正态总体来说,取值小于的概率.(3)从理论上讲,服从正态分布的随机变量的取值范围是,但实际上取区间以外的数值的可能性微乎其微，在实际问题中常常认为它是不会发生的.因此,往往认为它的取值是个有限区间，即区间这即为实用中的三倍标准差规则,也叫规则.在企业管理中,经常应用这个规则进行产品质量检查和工艺生产过程控制.6.线性回归的相关关系与函数关系不同,有相关关系的两个变量存在密切关系,但不存在确定性的函数关系.7.最小二乘法提供了一种估计的方法,但对有些数据,直接使用最小二乘法是有局限性的,比如一组数据都在某直线附近,但有一个数据明显偏离该直线了,在实际处理中,这种数据一般会先舍去,再对剩下的数据使用最小二乘法,因为那组明显偏离直线的数据很可能是一组错误的数据.参考答案第一章排列与组合【变式训练1】1.【解析】解法1这里百位与个位是特殊位置,0是特殊元素.若从“元素优先”考虑,则先按是否包含0分为两类.第一类:有0,则0在个位,分两步有种；0不在个位,分三步有种.第二类:无0,此时只有个位是特殊位置.先由2,4选排个位,有种,再由其余三个元素选排其余两位,有种.由加法原理,偶数共有(个).解法2若从“位置优先”考虑，