2025高考数学二轮复习-拉档提分数列161-170-专项训练【含答案】

【例6】已知在数列中，，，求证.【解析】(i)当时，显然成立.(ii)假设当时成立，即也成立，当时，易知又，所以只需要证明即可.由上式得，平方得，即，显然成立，所以当时，成立.由(i)(ii)知待证不等式成立.【评注】还可以证明一个加强命题：，可以直接用数学归纳法证明，请读者行尝试.【娈式训练】设是满足不等式的正整数的个数.(1)求的解析式；(2)记，，试比较与的大小.【例7】已知在数列中，，求证：(是非负整数).【解析】(i)当时，，成立；(ii)假设当时，，是非负整数，那么当时，显然是非负整数，即时命题成立.由(i)(ii)知命题成立.【评注】这题是一个数列递推关系问题，和以前我们能够解出的递推关系不一样，是无法求解的.不过看题目并不是要求通项，只是证明通项是一个给出的固定形式，故可采用数学归纳法证明.【变式训练】已知为正整数，用数学归纳法证明:当时，.【例8】已知在数列中，，记为的前项和，求证:(1)(2)(3).【解析】(1)由题意知，显然则，故只需要证明即可.用数学归纳法证明：当时，成立；(ii)假设当时，成立，那么当时，，即，由(i)ii)知，对任意的，.从而即.(2)用数学归纳法证明.当时，成立；(ii)假设当时，，那么当时，，即当时命题成立.由(i)(ii)知，对任意的.(3)，得.故第七章数列函数，解几结合一、数列函数，有机结合在解数列综合题时经常碰到与函数相结合的题目，对于这类题目不少学生感到难度较大，其主要原因是难以运用函数知识进行解题.下面通过具体的例子来说明这类题型的求解方法.1.与反比例函数有机结合【例1】如图，已知点列在曲线上，点列满足且其中(1)求与的关系；(2)求证：.【解析】解法1：，由得①又②把①代入②，得，得所以(2)因为所以，所以，所以，.当时，因为，所以又，所以，所以，所以.综上知待证不等式成立.解法2：，将绕，点逆时针旋转得，则，所以，即.(2)由得，所以…累加得即，所以又所以.另一方面，由得，累加可得，即，从而，所以综上知待证不等式成立.【变式训练】如图，已知点列在曲线上，点列在轴上，为等腰直角三角形，求.2.与一次函数有机结合【例2】设数列的前项和，是常数，且，求证:(1)数列是等差数列；(2)以为坐标的点都在同一直线上，并写出此直线的方程.【解析】(1)要证明数列是等差数列，只要证明其中k，t是常数即数列的通项是关于的一次函数即可.由以及得所以从而数列的通项是关于的一次函数，所以数列是等差数列.(2)要证明以为坐标的点都在同一直线上，只要证明且与点连线的斜率为定值即可.因为所以，以为坐标的点都在过点且斜率为的同一直线上，所以所求的直线方程为，即.【变式训练】已知点依次在轴上，且，点依次在射线上，且.(1)用表示点的坐标；(2)设四边形的面积为求证:.3.与二次函数有机结合【例3】已知，点在的图象上，过点的切线交轴于点，.(1)求与的关系式(2)求证:数列单调递减；(3)求证:；(4)求证(5)求.【解析】(1)，消得(2)由(1)知则，所以所以数列单调递减.(3)所以.(4)，即，所以(5)由(4)知，从而.【例4】已知点在曲线上，如图，作出点列.(1)求数列的通项；(2)若，求证：(3)若，求证：.【解析】(1)(2)证法1：，则，左边故不等式成立.证法2:由，知，故，从而(3)由，知，所以.【例5】已知二次函数在处取得最小值(1)求的解析式；(2)若任意实数x都满足等式(为多项式，)，试用表示和(3)设圆的方程为，圆与外切，是各项都为正数的等比数列，记为前个圆的面积之和，求，.【解析】(1)设，由得，所以(2)将代入已知等式得，上式对任意的都成立，取和分别代入上式得，且，解得(3)由于圆的方程为又由(2)知，故圆的圆心在直线上，又圆与圆相切，故有，设的公比为q，则有得代入①得，所以.【例6】已知是正整数组成的数列，，且.点在函数的图象上.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求证：.【解析】(1)由已知得，所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列，即(2)由(1)知，，，所以.【例7】已知数列是公差为的等差数列是公比为且)的等比数列，设.(1)求数列和的通项公式；(2)设数列的前项和为，如果对一切都有成立，求【解析】(1)由题意知解得则，.同理得，解得所以.(2)由，得，相减得，又，所以，即是首项为8，公比为-2的等比数列.所以【变式训练】1.在直角坐标平面上有一点列对每一个自然数，点在函数的图象上，且点，点，点构成一个以点为顶点的等腰三角形.(1)求对每一个自然数n，以点的纵坐标构成的数列的通项公式；(2)令求的值.2.已知函数，，数列满足，，求证:数列是等比数列.【拓展提升】1.已知，点在函数的图象上，其中.(1)求证:数列是等比数列；(2)设，求及数列的通项公式；(3)记，求数列的前项和，并证明：.2.已知拋物线和点，过点作任意直线，交拋物线于B，C两点.(1)求的重心的轨迹方程，并表示成的形式；(2)设数列满足，，求证.4.与指数函数有机结合【例8】已知函数.(1)求证:函数的图象关于点对称；(2)求的值；(3)若，求证:对任意自然数n，总有成立.【解析】(1)设是图象上任意一点，则点关于点对称的点的坐标为.已知，则，故，即函数的图象关于点对称.(2)由(1)有，即，所以则(3)，即，不等式等价于.下面用数学归纳法证明.当时，左边，右边，不等式成立；当时，左边右边，不等式成立；假设当时不等式成立，即，则当时，左边，右边，当时，上式恒为正值，则，所以对任意自然数n，总有成立，即对任意自然数n，总有成立.【例9】在直角坐标平面上有点列对每一个自然数n，点在函数的图象上，且点，点与点构成一个以点为顶点的等腰三角形.(1)求点的纵坐标的表达式；(2)若对每一个自然数n，以为边长能构成一个三角形，求的取值范围(3)设，当是(2)中确定的范围内的最小整数时，则的最大项是第几项?【解析】(1)由于三角形为等胺三角形，所以点在与两点连线的中垂线上，从而又因为点在函数的图象上，所以.(2)因为函数是单调递减函数，所以对每一个自然数有又因为以为边长能