2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何221-230-专项训练【含答案】

所以所以所以所以所以【例11】已知椭圆为附圆的左焦点,过点的直线交椭圆于两点，直线交轴于点,点在直线上的射影分别是点设直线与的交点为,是否存在实常数使得恒成立?【解析】如图,设与轴交于,点.将代入中，得.所以当为中,点时,所以成立,所以为中,点.同理,连接交轴于点,可得,所以点与点重合.因为为交,点,所以三,点重合，所以存在实常数使恒成立.【例12】已知椭圆为粗圆的左焦点,过点的直线交構圆于两点分别为椭圆的左，右顶点，动点满足试探究点的轨迹方程.【解析】如图,设由题设得焦点因为直线过焦点被因为则三点共线.同理,三点共线.故有由得将代入,得.因为交粗圆于点则即.整理得,则设.故由上式，得所以即轨迹方程为点的轨迹为直线.【例13】已知双曲线为双曲线的左焦点,过点的直线交双曲线于两点，分别为双曲线的左、右顶点,动点满足动点满足试探究是否为定值.【解析】如图,由题知设由“性质十二”可知点,在双曲线准线上,故可设因为与曲线相交所以整理得,已知点在同一条直线上，即将代入,得所以因为所以所以所以为定值.【例14】已知椭圆为椭圆的左焦点，过点的直线分别交椭圆于点和直线直线交直线于点,试判断点是否共线,并证明.【解析】解法1以左焦点为极点，对称轴为极轴，建立极坐标系，则圆锥曲线方程为如图所示,设,点,则.因为,点为直线与的交,点,所以点满足将点坐标代入方程,得化简得根据极坐标可得化简得将代入知,满足直线方程因此三点共线,证毕.解法2已知焦点坐标,设两条方程斜率的倒数为用其中一条得出点的相关坐标,再把两条直.线方程代入椭圆方程,全部都用表示,尽量消到只有或化共线为斜率相减等于0,如果中间步骤用韦达定理可得,则证毕.不行则得到的等式,用求根公式代入，得含的等式,最终等于0.【例15】已知椭圆为椭圆的左焦点，过点的直线分别交椭圆于点和直线直线交直线于点,试证明【解析】以左焦点为极点,对称轴为极轴,建立极坐标系，则圆雉曲线方程为如图所示,设点,则因为点为直线与准线的交点,所以将,点坐标代入直线的方程，得,化简得所以.易得平分【例16】已知椭圆过点的直线分别交粗圆于点和设直线与直线交于点，试证明点的轨迹为直线.【解析】如图,设直线,直线因为所以.解得故同理可得.解得故即所以直线直线联立(1)(2)解得.所以,点的轨迹为直线.【例17】已知椭圆为椭圆的左焦点，过点的直线分别交椭园于两点，设直线与轴交于点试求的值.【解析】如图，设直线.则同理所以又因为代入得，整理得于是代入,得即即因为所以.【例18】已知方向向量为的直线过点和椭圆的右焦点，且椭圆的中心和椭圆的右准线上的点满足：.（1）椭圆的方程；（2）设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为.设,求的值.【解析】(1)由题意知，直线的方程为令得,所以右焦点坐标为所以且.由可知,点和点关于直线对称.又过原点垂直于的直线方程为由(1)和(2)得.因为关于直线的对称点在椭圆的右准线上，所以所以.所以椭圆的方程为.(2)如图，设则有当时，直线的方程为所以有代入中消,并整理得.所以所以.因为所以所以.同理得所以;当时,经检验有所以的值为10.【例19】已知抛物线过点的动直线交拋物线于两点,过分别作切线过点作直线轴,交抛物线于两点父切线于两点试探索是否成立.【解析】如图,设,则过点的切线方程.且由于则则【拓展提升】已知抛物线过点的动直线交拋物线于两点,过分别作切线点是抛物线上动点,轴,交于点是抛物线在点处的切线,若过点且交于点交抛物线于点试探索是否成立.【解析】设由得从而因为轴，所以,故由得中点故由得故可理..所以.中点又与中点重合.从而有.【例20】已知椭圆过点的直线分别交椭圆于点和设直线过点且轴,交于点求证.【解析】如图,设则有同理因为三,点共线,所以.同理可得应有即将的值分别代入可得所以结论成立.【例21】已知椭圆过原点点的直线交椭圆于点,过点的中点弦为过分别作切线交于点求证.【解析】如图,设,由得因为所以.又因为过,点所以切线因为是的交,点,所以又因为直线过两点,所以.根据已知反解得所以,点在上.由解得又因为或因为,所以证毕.【例22】过拋物线外一点作拋物线的两条切线切点分别为另一直线过点与抛物线交于两点与直线交于点问是否为定值?【解析】如图,设,由切线公式得直线,将点坐标代入直线方程.联立得直线设直线.由得所以,由得因为过点存在拋物线的切线,所以同号，所以所以为定值2.【例23】已知椭圆过点的直线交粗圆于两点点在直线上,且满足试探求点的轨迹方程.【解析】如图,设.因为直线过点所以即.于是中得又因为,点在上,所以代入(1)得.所以,点轨遊方程为【例24】设椭圆过点且左焦点为.（1）求椭圆的方程；（2)当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点满足求证:点总在某定直线上.【解析】（1）由题意解得所求椭圆方程为(2)解法1设点的坐标分别为.由题设知均不为零,记则且.又四点共线,从而,于是从而又点在椭圆上,即并结合得即点总在定直线上.解法设,点,由题设均不为零,且又四点共线,可设,于是由于点在椭圆上,将(1)(2)分别代入的方程,整理得即得因为所以即点总在定直线上.【例25】过抛物线外一点作抛物线的两条切线切点分别为另一直线与拋物线交于点,与直线交于点,求证:点处的切线与直线平行.【解析】如图,建立平面直角坐标系,由题意可得.根据切线公式,抛物线在点处的切线.设由切线公式得，直线将点坐标代入直线的方程联立得直线所以平行过点的切线.联立得中点横坐标为.又因为点在上且所以,点即线段中点,.【例26】如图,过拋物线内部一点作拋物线的中点弦(为中点),两条切线交于点,过点作直线,且,点是直线上的动点,过点作抛物线的两条切线求证:直线过定点.【解析】设故由可得.又因为过点