2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何51-60-专项训练【含答案】

六、三角三线，新妙破招（一）中线相关问题【例10】的两边中线所在的直线方程分别是：和，顶点的坐标为，求边所在直线的方程.【解析】设点在上，则中点在上，于是，整理得.故.所以.同理，在上，设点，则中点必在上，于是，求得.所以所以的方程为.【评注】在已知直线上设参数点，并使得横、纵坐标均为整式（如设点），可避免复杂运算.【例11】已知两条直线方程分别是和，过点作直线与这两条直线交于点，且恰为中点，求这条直线的方程.【解析】在上取点，则点关于点的对称，点为，必在上于是，求得，所以，.【变式训练】已知，，过点分别交于点.(1)若，求直线的方程；（2）若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）（二）高线相关问题【例12】的两条高线方程分别为和，是的一个顶点，求所在直线的方程.【解析】由定点直线系方程得直线的方程:与联立解得交点的坐标为.直线方程：，与联立解得交点的坐标为.由点坐标得直线的方程为：.（三）角平分线问题【例13】在中，已知，并且两条角平分线所在直线方程分别为，，求直线的方程.【解析】设点关于：的对称点为，则由对称点公式得：.，故，.设点关于：的对称点为，则直接由代入法得，即.由，两点得直线的方程为：.第三章圆拉档经典题例本章对圆的十八种基本问题，以例题的形式专门进行系统梳理，也是学生作业中的易错题，难度中等，错误有代表性.为了让同学们消除错误及巩固知识，设置了与例题有关联的“变式训练”.对于有一般规律的典型问题，还给出了“规律探索”，涉及的重要知识，给出了“概念梳理”.为满足不同层次同学的需求还给出了“拓展提升”问题，有一定难度.一、动态圆的包络问题【例1】已知全集，集合，求集合的面积.【解析】由于原点到直线的距离恒为2，故集合是圆的外部（包括圆周）点集，所以其补集为圆的内部点集：.因此，集合的面积为【规律探索】一般圆的包络方程：直线族包络出以定点为圆心，为半径的圆，即包络圆，如右图所示.【解析】定点到直线的距离为定值.所以直线包络出以定点为圆心，为半径的圆.【变式训练】已知集合，集合中直线围成的正三角形是否都全等?【答案】【例2】如图1，阴影部分是集合在平面直角坐标系下表示的点集，则阴影部分中间形如“水滴”部分的面积是_________.【答案】【解析】已知令，则.如图2，“水滴”部分的面积是两个弓形加中间的等边三角形再加下面的半圆.因此所求面积为.【变式训练】1.在例2图1中，阴影是集合，在平面直角坐标系下表示的点集，则阴影部分的面积为________.2.已知圆，直线，下面四个命题：①对任意实数和，直线与圆相切；②对任意实数和，直线与圆有公共点；③对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切；④对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切，其中真命题的序号是_________.3.已知集合，求集合表示的面积.【答案】16.【拓展提升】1.求集合的面积.【解析】轨迹探求设动圆圆心的轨迹为线段.集合表示的面积是动圆运动时扫过的区域(如图由图计算得其面积为.2.已知集合，求集合表示的面积.【解析】由，可知是的切线（如图4）所以的面积为.【评注】椭圆的面积为，椭圆上一点的切线方程为.二、快速求解对称之圆【例3】曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为______.【答案】【解析】所求曲线上任意点关于直线的对称点为，则有：，所以.【评注】此解法适合求任意曲线的对称曲线方程，不必求圆心坐标.【变式训练】1.圆与圆关于直线对称，则圆的方程为____________.2.圆与圆关于直线对称，则圆的方程为____________.3.曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为____________.4.曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为____________.【答案】1.；2.；3.；4..【拓展提升】曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为____________.【答案】.【解析】取曲线上任意点，则其关于直线的对称点为，所以曲线为：，所以.三、圆方程的基本求法【例4】圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是____________.【答案】或.【解析】设圆心坐标为，半径为，则解得或【评注】设圆方程时要先看题设条件侧重几何特征计还是侧重代数特征，然后设相应的圆方程.【变式训练】已知是圆（为参数，）上的点，则圆的标准方程为____________，点对应的值为过点的圆的切线方程是____________.【拓展提升】如果直线将圆：的面积平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是____________.【答案】.【解析】提示：采用运动观点求解，过程略.四、圆的参数方程应用【例5】若，，若，则的取值范围是____________.【答案】解析由得.由图1得.【评注】圆的参数方程在消参时要注意参数取值范围.【例6】如图2，动点，分别在射线和轴正半轴上，动点在动圆上，且圆在三角形区域内与两射线无交点.求周长的最小值.【解析】作关于轴和射线的对称图形，如图3.由于，所以.设动圆圆心为，则，于是.如图4，点关于角两边对称变换后，得为定值.要使最短，由于，只要最小，即.所以周长.【评注】求三角形周长最小问题，一般都利用对称变换，转化为两点之间线段最短问题.【变式训练】1.向量，与的夹角为，则直线与圆的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.由的值确定【答案】：2.已知（，且）直线过点，，则直线被圆所截得的弦长为_________.【答案】【拓展提升】若对任意，直线与圆均无公共点，则实数的取值范围是_________.【答案】.【解析】或当时，得，故无解；当时，得，故解得.五、由圆定义快速解题【例7】在中，已知.求面积的最大值【解析】已知，由正弦定理得利用圆的第二定义知，点的轨迹是关于直线对称的圆，如图1.由于可得，所以.故圆的半径为，所以.【评注】本题考查阿波罗尼斯圆【规律探究】圆的第二定义：(阿波罗尼斯圆).动点与两定点的距离比为定值，则动点的轨迹是圆.令则圆的第二定义(阿波罗尼斯圆)的重要性质.1.设，当时，动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（如图2）且.2.顶点与圆的直径端点的连线，分别为的内角、外角平分线，如图3.【解析】几何法由内角平分线性质可知：，由外角平分线性质.3.为的角平分线.【解析】如图4，由,，可得，故为的角平分线.4.过点的任一弦与点构成的的内切圆的圆心是不动点.【解析】如图5，由上述证明知，恰是内角平分线的交点.【例