2025高考数学二轮复习-函数与不等式281-290-专项训练【含答案】

所以不等式对任意的实数成立.(i)(ii)当时,得恒成立，记,则若则时取最大值.(2)若则时取最大值.所以所以即实数的最小值为.(2)由题意知,对任意的实数总存在实数m,使方程有6个不同的根.而(i)当时在上递增,在上递减，则方程不可能有6个不同的根a=-1时在上递增,在上递减,则方程不可能有6个不同的根;-1<a<0,即时在上递增，在上递减,在上递增.又要使方程在[-3,3]上有6个不同的根,则对任意都有当即时,令,则当即时即有当时,则解得舍去)或,即有(2)当即时在上递增,在上递减，在上递增,对任意无解.综上可得,的取值范围为.[例10已知函数函数有四个不同的零点,自左到右依次为,B,C,D,问是否存在t,使得|AB|,|BC|,|CD|能构成锐角三角形?若存在,求的取值范围.[解析1因为所以构成的三角形是等腰三角形,从而只要即构成锐角三角形.设则有故例11.已知函数，为常数且求证:函数的图象关于直线对称;若满足,但,则称为函数的二阶周期点,如果有两个二阶周期点试确定的取值范围（3)对于(2)中的和,设为函数的最大值点,记的面积为讨论的单调性.解析因为,有,所以函数的图象关于直线对称.则或当时,有所以只有一个解又故0不是二阶周期点.当时，所以有解集又当时，故中的所有点都不是二阶周期点.当时,有所以有四个解,即又,故只有是的二阶周期点.综上所述,所求的取值范围为.(3)由(2)得,因为为函数的最大值,点,所以或.当时求导得,所以当时单调递增,当时单调递减;当时求导得,因为从而有,所以当时单调递增.例12已知函数.记在区间[0,4]上的最大值为求的解析式;是否存在实数,使函数在区间(0,4)上的图象上存在两点,在这两点处的切线相互垂直?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.解析(1)当时在上单调递减,其最大值为.当时在[0,a]上单调递减，在上递增.今解得即当时的最大值为;当时的最大值为.y=f(x)的图象是由两段反比例函数的图象组成的.因此,若在图象上存在两点)满足题目要求,则P,Q分别在两图象上,且不妨设则,即得则得且所以.所以当时,的图象上存在两点,在这两,点处的切线相互垂直.例例13.已知函数求曲线在点处的切线方程;当时,求的最大值.[解析由已知得且所以所求切线方程为即(2)由已知得其中当时,(i)当时所以在上递减,所以因为所以;(ii)当即时恒成立,所以在上递增,所以因为,故（iili)当即时令得且,所以,所以所以,所以由得当时所以当时递增时递减,所以因为・又因为所以所以所以当时所以因为此时当时,3一4a是大于零还是小于零不确定,所以有:当时所以此时;当时所以此时综上所述,得|已知函数求证:当时，(i)函数的最大值为(ii(2)若对恒成立,求的取值范围.解析i当时在上恒成立，此时的最大值为当时,在上的正负性不能判断，此时的最大值为即综上所述，函数在上的最大值为.(ii)要证即证，亦即证在上的最大值小于(或等于,设当时在上恒成立，此时的最大值为当时在上的正负性不能判断，即综上所述,函数在上的最大值小于(或等于),即在上恒成,立.(2)由(1)知,函数在上的最大值为,且函数在上的最小值比一要大.由对恒成立,得取为纵轴,为横轴，则可行域为和目标函数为如图.由图易得,当目标函数过点时,有故所求的取值范围为.例15已知函数若在[-1,1]上的最大值和最小值分别记为求的值;设,若对恒成立,求的取值范围.解析(1)因为所以(i)当时,有,故此时在(-1,1)上是增函数,因此-1<a<1时,若,则在上是增函数,若,则在上是减函数所以由于因此,当时当时(iii)当时,有,故,因此在(-1,1)上是减函数,因此综上,（2）令则因为对恒成立,即对恒成立,所以由(1)知:(i)当时,在[-1,1]上是增函数在[-1,1]上的最大值是最小值是则且矛盾;时在[-1,1]上的最大值是最小值是所以从而且令则在上是增函数,故因此;(iii)当时在[-1,1]上的最大值是最小值是所以解得(IV)当时,在[-1,1]上的最大值是最小值是所以解得综上,得的取值范围为[评注I本题主要考查函数最大(最小)值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识,同时考查推理论证、分类讨论、分析问题和解决问题的综合能力.[例16.]设函数的定义域为D,其中(1)当时,写出函数的单调区间(不要求证明)(2)若对于任意的均有成立,求实数的取值范围.解析(1)单调递增区间是单调递减区间是(2)当时,不等式成立;当时等价于设(i)当时在(0,2]上单调递增,所以即故(iii)当时在上单调递增,在上单调递减,在上单调递减,在上单调递增，在[1+a,2]上单调递增，所以且.因为所以且.当时,因为所以;当时,因为所以.综上所述,当时当时,.[例17.1已知二次函数若且在[0,2]上的最大值为求函数的解析式;对任意得实数,都存在实数使得不等式成立,求实数的取值范围.解析(1).(2)当或时,总有靠近原点右侧的点使成立,当时,取在[0,2]上就没有点使成立.故.[例18]已知函数.当时,写出函数的单调区间;若函数f(x)是偶函数,求实数的值;对任意的实数,不等式恒成立,求实数的取值范围.(解析(1)当时,在上单调递减,在上单调递增.(2)由于是偶函数,故,即得即故（3)若对任意的实数不等式恒成立,则由得,即恒成立因为所以,设得，令得令解得(负根舍去了),故[评注可以尝试的另外两种解法:解法1:由得,则或以下略.解法2:由得,令则即不恒成立,当时,若则以下略.[例设函数若对一切恒成立,则的最小值为[答案解析原不等式可化为令则设，则得,或.由故.由图得所以.则实数的取值范围是A.B.C.D.答案A[解析取则因为所以(1)时,解得时,解得时,,解得,综上知时符合题意,排除取则，因为所以,(1)时,解得予盾时,解得矛盾;时,解得予盾;[例21]已知函数为常数,且).(1)若求不等式的解集;（2）若函数y=f(x)在上有两个不同得零点求的取值范围.解析(1)由于故函数.若则等价于解得或;若则等价于解得故不等式无解.综上所述,的解集为或