2025高考数学二轮复习-函数与不等式221-230-专项训练【含答案】

(例31设函数若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点则下列判断正确的是A.当时B.当时C.当时D.当时答案B解法2:今则,设,则，令得要使的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，只需，整理得于是可取来研究.当时得此时;当时解得此时0故选.解法3：令可得.设不妨设结合图形可知，当时即此时即;同理可得当时故选.例4.已知a是实数，函数如果函数在区间上有零点求的取值范围.[解析解法1:若显然在[-1,1]上没有零点,所以令解得.当时,恰有一个零,点在[-1,1]上;当即时,在[-1,1]上也恰有一个零点;当y=f(x)在[-1,1]上有两个零点时,则有解或得或.(4)当时在上有一个零,点.综上,所求实数的取值范围是或.解法2:用参数分离法更简便.由得,则由得,所以或.变式训练已知是实数,函数讨论函数在区间[-1,1]上零点的情况.[例5设集合当实数p,q取遍[-1,1]的所有值时,所有集合的并集为答案[解析设方程的两根为当p,q取遍[-1,1]的所有值时，所求集合为例6.设函数的两个零点为,且在区间上恰有两个正整数,求的取值范围.(解析令则,令则，则即例7试求当为何值时,方程有两个不等实根?解析作函数，的图象,使两个图象恰有两个不同的交,点,当时，无解当时,有一解;当时，有两解.故例8若函数的一个零点在0和1之间,另一个零点在1和2之间,试求的取值范围.[解析由的图象如图1,有即把看成动点与定点之间连线的斜率，可得.[例9已知函数.若求方程的解集;若试判断函数在上的零点个数,并求此时所有零点之和的取值范围.[解析(1)解法1:当时由得或解得即解集为.解法2:当时,由得,得或所以或或即解集为(2)当时,令因为,所以,得先判断与的大小即即故当时存在两个零点.当时,令即,得同上可判断故时存在一个零点.综上可知当时存在三个不同的零点,设易知在上单调递增，故且.例10已知函数.(1)当时,求在上的最大值和最小值;若方程有3个不相等的实根求的取值范围.解析(1)当时,当时,当时，故(2)(1)若因为方程有3个不相等的实根,故当时,方程有2个不相等的实根，当时，方程有1个实根,故解得,不妨设则,则所以的取值范围是;(2)若当时,方程的判别式小于0,$不符合题意;若显然不合题意.故的取值范围是.[例11]已知函数其中为实数,且(1)当时,根据定义证明在上单调递增求集合函数有三个不同的零点[解析(1)当时.任取设则由所设得又，所以即.所以在上单调递增.(2)解法1:函数有三个不同零点,即方程有三个不同的实根.方程化为或记(i)当时的图象开口均向上.由知在上有唯一零,点.为满足有三个零,点,在上应有两个不同零点.由(ii)当时的图象开口均向下.由知在上有唯一零点.为满足有三个零点,在上应有两个不同零,点.综合(iii)可得.(七)含不等式型零点[例1]若则函数的两个零点分别位于区间A.和内B.和内C.和内D.和内[答案IA[解析易知又则又该函数是二次函数,且图象开口向上,可知两个零点分别在和内,故选[例2]已知是定义在上的奇函数,当时当时且若直线与函数的图象恰有5个不同的交点,则实数[答案[解析1因为与都是上的奇函数,且原点为两函数图象的一个公共点,要使两图象恰有5个不同的公共点,则时,两图象应当恰有2个不同的公共点.当时当时则当时其图象是无数段抛物线段.则当时，直线与曲线相交,且与曲线相切.由得则得.显然故此时,切点横坐标为与符合.与曲线相交于点.当时,令得,则即当时,两图象没有公共点.故当时,两图象恰有5个不同的公共点.[例3]已知是定义在上的偶函数，对任意的都有且当1]时则方程在[-1,5]内的所有实根之和为A.0B.2C.4D.8[答案D解析因为在区间为减函数,且则方程)在[0,1]上有唯一的根且因为是定义在上的偶函数,则方程在[-1,0)上有唯一的根.又对任意的都有故则的图象关于点(1,0)对称,则方程在(1,2]上没有根.再由对任意的都有知,故则的图象关于直线对称,则方程在[3,4)上有唯一的根在[4,5]上有唯一的根则方程)在[-1,5]上的所有实根之和为故选[例4]设为整数,方程在区间(0,1)内有两个不同的根,则的最小值为A.B.答案D设为方程两根,则有且故令,则故即.又即,所以又为整数,故解得(舍,所以即的最小值为13.故选[例5设函数满足,且当时又函数则函数在上的零点个数为A.5个B.6个C.7个D.8个[答案B解析因为所以,故的周期为2.如图,画出与的大致图象，它们共有6个交点,故在上的零,点个数为6.故选B.[例6)若关于的不等式至少有一个正数解,则实数的取值范围是A.B.C.D.[答案D解析不等式变形为转化为当时，函数的图象上至少有一个点在函数图象的下方.作出函数和的图象(如图)当函数的图象与函数的图象在轴右侧相切时，得当函数的图象过点(0,2)时,得由图可知故选[例7]已知函数若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为答案解析由，得，作出函数的图象当时,两个函数的图象不可能有4个交点,不满足条件，则此时当时,当直线和抛物线相切时,有三个零点,此时即,则由即解得或,当时不成立,故,要使两个函数有四个零,点,则,若与有两个交点,只需要当时,有两个不同的零,点即可，即整理得则由即,解得舍去)或综上的取值范围是(0,1).(例8)已知函数关于的函数有8个不同的零点,则实数的取值范围为答案[解析如图作出函数的图象,因此只有在时直线与的图象有四个交,点,所以要满足关于的函数3有8个不同的零点,令则方程在(上有两个不等实根,则有例9已知函数恰好有2个不同零点,则实数的取值范围是A.C.D.答案：D解析：令，则所以函数有两个不同的零点,即函数与函数有两个不同的交,点,函数恒过定,点.当时此时函数与函数有一个交,点,不符合题意;当时,函数的图象开口向下,且恒过定点此时函数与函数有两个不同的交点当时,函数的图象开口向上,且恒过定,点对称轴为根据二次函数的对称性,要使函数与函数有两个不同的交点,需满足解得所以.综上所述，a的取值范围为故选例10已知定义在上的函数且，若方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是A.B.C.D.答案C解析：由知函数的周期为2.作函数和函数的图象,如图所示,函数恒过定点(0,2)结合图象可知,的取值范围为故选.(例11)设,若关于的不等式的解集中的整数恰有3个,则A.B.C.D.答案C[解析]由得,分别画出与的图象如图，由题设解集中整数有3个，从而得,故选变式训絲已知函数设若函数有4个零点,则的取值范围是2.若关于的不等式至少有一个负数解,则实数的取值范围是3.已知关于的不等式有且仅有三个整数解,则实数的取值范围是八数列函数型零点[例1]设数列是首项为0的递增数列,且满足对于任意的总有两个不同的根,则的通项公式为[答案解析当时,,又因为对于任意总有两个不同的根,所以所以又对于任意的总有两个不同的根,所以由此可知用累加法求得.评注:本题是数列与三角函数的结