上海市上海中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷(含详解)

2021-2022学年上海中学高一（上）期中数学试卷一.填空题（每题3分）1．不等式（a2+1）x＜3的解为．2．用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数．3．设正实数x，y满足xy＝20，则x+4y的最小值为．4．给定正实数a，b，化简代数式•（）﹣1＝．5．已知实数a，b满足log2a＝log5b＝，则lg（）＝．6．设集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|2﹣m≤x≤2m﹣1}．若A∩B＝A．则m的取值范围是．7．已知集合A＝{（x，y）x2+y2＝50，x，y是自然数}，则A的真子集共有个．8．设集合A＝N，B＝{x|＞0，x∈R}，则A∩∁RB＝．9．若不等式ax2+bx﹣7＜0的解集为（﹣∞，2）∪（7，+∞），则不等式﹣7x2+bx+a＞0的解集为．10．设x＞1，若log2（log4x）+log4（log16x）+log16（log2x）＝0，则log2（log16x）+log16（log4x）+log4（log2x）＝．11．已知a、b、c均为正实数，则的最大值为．12．集合A＝{1，2，4，…，26194}共有个数在十进制下的最高位为1．二、选择题（每题4分）13．（4分）设a，b，c，d为实数，下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞ C．若＞b，则a＞b2 D．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b214．（4分）已知实数a，b，则“＞0”是“|a|＞|b|”的（）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要15．（4分）设a＝log35，b＝log57，则＝（）A． B． C． D．16．（4分）已知实数a，b，c满足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|＝6，，则a2+b2+c2的最大值为（）A．3 B．9 C．18 D．27三、解答题（共48分）17．（6分）若实数x，y满足集合{x，xy，lg（xy）}与集合{0，|x|，y}相等，求x，y的值．18．（8分）解下列不等式：（1）x2﹣5x+7＜|2x﹣5|；（2）+2x＜5．19．（10分）已知正实数x，y满足xy+2x+y＝4，（1）求xy的最大值，并求取得最大值时x，y的值；（2）求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．20．（10分）某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式x＝3﹣（k为常数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．己知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k的值，并将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？21．（14分）已知实数a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）＝bx2+cx+d，g（x）＝ax3+bx2+cx+d．记方程f（x）＝0的解集为A，方程g（f（x））＝0的解集为B，若满足A＝B≠∅，则称f（x），g（x）为一对“太极函数”．问：（1）当a＝c＝d＝1，b＝0时，验证f（x），g（x）是否为一对“太极函数”；（2）若f（x），g（x）为一对，“太极函数”，求d的值；（3）已知f（x），g（x）为一对“太极函数”，若a＝1，c＞0，方程f（x）＝0存在正根m，求c的取值范围（用含有m的代数式表示）．

2021-2022学年上海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（每题3分）1．不等式（a2+1）x＜3的解为（﹣∞，）．【分析】根据a²+1＞0，结合不等式性质即可求解．【解答】解：因为a²+1＞0，所以该不等式解为x＜，故答案为：（﹣∞，）．2．用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数{x|x＝10n﹣1，（n∈N*）}．【分析】十进制下个位为9的正整数为10n﹣1，（n∈N*），用描述法写入集合即可．【解答】解：十进制下个位为9的正整数为10n﹣1，（n∈N*），用描述法表示为{x|x＝10n﹣1，（n∈N*）}，故答案为：{x|x＝10n﹣1，（n∈N*）}．3．设正实数x，y满足xy＝20，则x+4y的最小值为8．【分析】由基本不等式，即可得解．【解答】解：因为x＞0，y＞0，所以x+4y≥2＝2＝8，当且仅当x＝4y，即x＝4，y＝时，等号成立，所以x+4y的最小值为8．故答案为：8．4．给定正实数a，b，化简代数式•（）﹣1＝．【分析】由＝，＝•，）﹣1＝代入化简即可．【解答】解：•（）﹣1＝••＝•＝，故答案为：．5．已知实数a，b满足log2a＝log5b＝，则lg（）＝2．【分析】先把已知的对数式化为指数式，求出a，b的值，再利用对数的运算性质求解．【解答】解：∵log2a＝log5b＝，∴a＝2，b＝，∴（ab）＝（2）＝102，∴lg（）＝lg102＝2，故答案为：2．6．设集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|2﹣m≤x≤2m﹣1}．若A∩B＝A．则m的取值范围是[4，+∞）．【分析】推导出A⊆B，列出方程组，能求出m的取值范围．【解答】解：集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|2﹣m≤x≤2m﹣1}，A∩B＝A，∴A⊆B，∴，解得m≥4．∴m的取值范围是[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．7．已知集合A＝{（x，y）x2+y2＝50，x，y是自然数}，则A的真子集共有7个．【分析】采用列举法，列举出A中的元素，再计算真子集个数．【解答】解：∵A＝{（x，y）|x2+y2＝50，x，y是自然数}．∴A＝{（1，7），（5，5），（7，1）}共3个元素．∴A的真子集有23﹣1＝7个．故答案为：7．8．设集合A＝N，B＝{x|＞0，x∈R}，则A∩∁RB＝{0，1，2，3}．【分析】先解一元二次不等式求出集合B，再根据集合的基本运算即可求解．【解答】解：∵B＝{x|＞0，x∈R}＝{x|（x+2）（x﹣3）＞0}＝{x|x＞3或x＜﹣2}，∴∁RB＝{x|﹣2≤x≤3}，∵A＝N，∴A∩（∁RB）＝{0，1，2，3}，故答案为：{0，1，2，3}．9．若不等式ax2+bx﹣7＜0的解集为（﹣∞，2）∪（7，+∞），则不等式﹣7x2+bx+a＞0的解集为（，）．【分析】设y＝ax2+bx﹣7，ax2+bx﹣7＜0的解集为（﹣∞，2）∪（7，+∞），得到开口向下，2和7为函数与x轴交点的横坐标，利用根与系数的关系表示出a与b的关系，化简不等式﹣7x2+bx+a＞0即可求得答案．【解答】解：因为不等式ax2+bx﹣7＜0的解集为（﹣∞，2）∪（7，+∞），所以，解得，则不等式﹣7x2+bx+a＞0即为14x²﹣9x+1＜0，解得，故﹣7x2+bx+a＞0的解集为（，）．故答案为：（，）．10．设x＞1，若log2（log4x）+log4（log16x）+log16（log2x）＝0，则log2（log16x）+log16（log4x）+log4（log2x）＝﹣．【分析】利用对数的运算性质求解．【解答】解：∵log2（log4x）+log4（log16x）+log16（log2x）＝0，∴++log2（log2x）＝0，∴＝0，∴••＝1，∴＝4，∵log2（log16x）+log16（log4x）+log4（log2x）＝＝＝＝﹣，故答案为：﹣．11．已知a、b、c均为正实数，则的最大值为．【分析】根据基本不等式的性质，利用a2+b2≥ab，b2+c2≥bc，即可求出的最大值．【解答】解：a、b、c均为正实数，则a2+b2≥ab，b2+c2≥bc，∴＝≤＝，当且仅当a＝c＝b时，等号成立，∴的最大值为．故答案为：12．集合A＝{1，2，4，…，26194}共有1859个数在十进制下的最高位为1．【分析】由2m的最高位为1，得到2mx（210）n的最高位也为1，构成以指数幂为10的周期性，得到前三个数最高位数字为l的数为20，24，27，结合周期性，即可求解．【解答】解：若2m的最高位为1，由210＝1024，其中210的最高位为1，可得2m×（210）n的最高位也为1，所以构成以指数幂为10的周期性，其中前三个数最高位数字为1的数为20，24，27，即每个周期内有3个最高位为1的数字，又由26190＝20×210×619，26194＝24×210×619的最高位为1，所以在集合A＝{1，2，4…，26194}中最高位为1的共有619×3+2＝1859个．故答案为：1859．二、选择题（每题4分）13．（4分）设a，b，c，d为实数，下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞ C．若＞b，则a＞b2 D．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2【分析】根据已知条件，结合特殊值法和作差法，即可求解．【解答】解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但a2＝b2，故A错误，对于B，令a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，满足a＞b＞0，c＞d＞0，但，故B错误，对于C，令a＝1，b＝﹣1，满足＞b，但a＝b2，故C错误，对于D，∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，a2＞b2，∴a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0，∴a2＞ab＞b2，故D正确．故选：D．14．（4分）已知实数a，b，则“＞0”是“|a|＞|b|”的（）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【分析】由分式不等式转化为整式不等式，结合平方差公式和绝对值不等式，由充分必要条件的定义可得结论．【解答】解：已知实数a，b，不等式＞0等价为（a+b）（a﹣b）＞0，即为a2﹣b2＞0，即a2＞b2，即为|a|＞|b|，所以“＞0”是“|a|＞|b|”的充要条件．故选：C．15．（4分）设a＝log35，b＝log57，则＝（）A． B． C． D．【分析】利用对数的运算性质和换底公式求解．【解答】解：∵a＝log35，b＝log57，∴ab＝log37，∴＝log1549﹣log1545＝2log157﹣log155﹣2log153＝﹣﹣＝﹣﹣＝﹣﹣＝﹣﹣＝，故选：D．16．（4分）已知实数a，b，c满足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|＝6，，则a2+b2+c2的最大值为（）A．3 B．9 C．18 D．27【分析】利用绝对值的性质可知|a|≤3，|b|≤3，|c|≤3，然后取a，b，c＝±3，不合题意，再取a＝3，b＝﹣3，c＝0，符合题意，即可得解．【解答】解：∵6＝|a|+|b|+|c|+|a+b+c|≥|（a+b+c）﹣a﹣b+c|＝2|c|，∴|c|≤3，同理可得|a|≤3，|b|≤3，若a，b，c＝±3，显然不可能；若a＝3，b＝﹣3，c＝0，此时符合题意，则a2+b2+c2＝18．故选：C．三、解答题（共48分）17．（6分）若实数x，y满足集合{x，xy，lg（xy）}与集合{0，|x|，y}相等，求x，y的值．【分析】由集合{x，xy，lg（xy）}与集合{0，|x|，y}相等知，xy＝1，此时，{0，1，x}＝{0，|x|，y}，由此能够求出x，y的值．【解答】解：由集合{x，xy，lg（xy）}与集合{0，|x|，y}相等知，lg（xy）＝0，即xy＝1，此时，{0，1，x}＝{0，|x|，y}．所以或，解得x＝y＝1或x＝y＝﹣1．当x＝y＝1时，A＝B＝{0，1，1}，与集合元素互异性矛盾，应舍去；当x＝y＝﹣1时，A＝B＝{﹣1，0，1}，故x＝y＝﹣1．18．（8分）解下列不等式：（1）x2﹣5x+7＜|2x﹣5|；（2）+2x＜5．【分析】（1）结合不等式的特征，利用函数的对称性去掉绝对值符号求解不等式即可；（2）将不等式进行变形，然后结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值可得不等式的解集．【解答】解：（1）当时，不等式即：x2﹣5x+7＜2x﹣5，整理可得x2﹣7x+12＜0，解得3＜x＜4，令f（x）＝x2﹣5x+7，g（x）＝2x﹣5注意到函数f（x），g（x）均关于直线对称，由函数的对称性可得当时不等式的解集为1＜x＜2，综上可得，不等式的解集为（1，2）⋃（3，4）．（2）不等式即，不等式有解时，x≥1，注意到函数单调递增，函数g（x）＝﹣2x+5单调递减，且f（2）＝g（2）＝1，结合函数的定义域可得不等式的解集为{x|1≤x＜2}．19．（10分）已知正实数x，y满足xy+2x+y＝4，（1）求xy的最大值，并求取得最大值时x，y的值；（2）求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．【分析】（1）由已知得4﹣xy＝2x+y，然后结合基本不等式即可求解；（2）由已知先用y表示x，然后代入后结合基本不等式可求．【解答】解：（1）因为xy+2x+y＝4，所以4﹣xy＝2x+y，当且仅当2x＝y时取等号，解得，故xy的最大值8﹣4，此时x＝，y＝2﹣2；（2）因为xy+2x+y＝4，所以x＝＝﹣1+，所以x+y＝﹣1++y＝﹣3++y+2＝﹣3+2，当且仅当y+2＝，即y＝﹣2，x＝﹣1时取等号，x+y的最小值3+2．20．（10分）某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式x＝3﹣（k为常数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．己知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k的值，并将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？【分析】（1）当m＝0时，x＝1，求出k的值，从而得到x，然后利用每件产品的销售价格为1.5×元，列出y的函数关系式即可；（2）利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可知，当m＝0时，x＝1，则1＝3﹣k，解得k＝2，所以x＝3﹣，因为每件产品的销售价格为1.5×元，∴利润函数y＝x[1.5×]﹣（8+16x+m）＝4+8x﹣m＝4+8（3﹣）﹣m＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0）．（2）因为利润函数y＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0），所以，当m≥0时，+（m+1）≥2＝8，∴y≤﹣8+29＝21，当且仅当＝m+1，即m＝3（万