八年级上册数学冀教版-12-4-分式方程

八年级数学•上新课标[冀教]12.4分式方程1.理解分式方程的概念及意义.2.了解解分式方程的基本思路和解法.3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根方法.1.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,体会分式方程的模型.2.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧.通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.【重点】可化为一元一次方程的分式方程的解法.【难点】理解解分式方程时可能无解的原因.【教师准备】课件1~9.【学生准备】复习一元一次方程的有关知识.导入一:【课件1】小红家到学校的路程为38km.小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后再步行2km,才能到学校,路途所用时间是1h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍,求小红步行的速度.教师提出问题:(1)上述问题中有哪些等量关系?(2)根据你所发现的等量关系,设未知数并列出方程.(3)如果设小红步行的时间为xh,又应该怎么列方程?在活动中教师要关注:(1)学生是否能将实际问题转化为数学问题;(2)大部分学生能否将这个问题很好地分析出来?能否列方程?(3)基础较差的学生对于该题的理解是否有困难?如何适当加以个别引导?[设计意图]先通过一个行程问题,引导学生从分析入手,列出含有未知数的式子表示有关的量,并进一步根据等量关系列出方程,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.另外以生活中的实际问题为背景,让学生感到数学贴近生活,激起了探究新知识的欲望.导入二:【课件2】西天取经路上,唐僧给徒弟们出了一道天竺国的数学题目:某项工程要在规定的期限内完成,甲队单独做正好能够按期完成,乙队单独做则需要延期3天完成.现在这两个队合作2天后,再由乙队单独做,也正好按期完成.如果设规定的期限是x天,工程总量为1,如何列方程呢?三个徒弟都给出了自己的答案:孙悟空:2x+xx+3=1;猪八戒:2x+2x+3=1;沙和尚:21x+1x同学们分析这个问题列出的方程还是整式方程吗?该如何解呢?[设计意图]创设故事情境导入,将所出现的方程与整式方程比较,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.探究一:分式方程及其解法思路一1.分式方程【课件3】一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?教师提出问题.学生独立思考,根据“两次航行所用的时间相等”这一相等关系建立方程.〔解析〕设江水的流速为v千米/时,则轮船顺流航行的速度为(30+v)千米/时,逆流航行的速度为(30-v)千米/时,顺流航行90千米所用的时间为9030+v小时,逆流航行60千米所用的时间为6030-v教师提问:刚才我们所接触的方程38-21-x=9×2x学生思考,议论后在全班交流.归纳:该类方程分母含有未知数.教师讲解并板书:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.[知识拓展](1)理解分式方程要明确两点:①是方程;②分母中含有未知数(也可以看成方程中含有分式).(2)整式方程和分式方程统称为有理方程.2.分式方程的解法【课件4】如何解分式方程38-21-x=9×2在同学讨论的基础上分析:由于我们比较熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程转化为整式方程,其关键是去掉含有未知数的分母.引导学生进一步分析:把方程的两边乘最简公分母可将分式方程化为整式方程,解这个整式方程可得方程的解.说明:教师提出问题后,鼓励学生寻求解决问题的方法,引导学生将分式方程转化为整式方程,学生自然会想到“去分母”来实现这种转变,求出方程的解,并要求验根.在活动中教师要关注:(1)学生能否从所列方程中观察到它与整式方程的区别在于“分母中含有未知数”;(2)学生能否有利用“转化思想”解决问题的意识;(3)学生是否能够认真倾听别人的见解,从中获取知识.[过渡语]通过解上面的分式方程,你明白该如何解分式方程了吗?归纳:解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘最简公分母,这是解分式方程的一般方法.[设计意图]怎样解分式方程?这是本节的核心问题.这里又一次让学生运用“转化”思想,把待解决或未解决的问题,通过转化,划归到已经解决或比较容易解决的问题中去,最终使问题得到解决.思路二1.分式方程38-21-x=9×学生观察,回答:(1)分母含有未知数,(2)是方程.教师引导学生概括:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).提问:你还能举出一个分式方程吗?【课件5】判断下列各式哪个是分式方程.(1)x+y=5;(2)x+25=2y-z3;(3)1x;(4)yx根据相关定义可得:(1)(2)是整式方程,(3)(4)是分式,(5)是分式方程.2.分式方程的解法[过渡语]如何解分式方程呢?我们一起回顾几个问题:(1)解一元一次方程时是怎样去分母的?从中能否得到一点启发?(2)有没有办法可以去掉分式方程中的分母?把它转化为整式方程呢?学生自主探索,并尝试选分式方程求解.【课件6】解方程1+x5+解:两边同乘最简公分母2(x+5)得:2(x+1)=5+x, 2x+2=5+x, x=3.检验:把x=3代入原方程左边=1+35+3=12,右边=12,左边=右边.学生尝试去分母,将分式方程转化为整式方程,再求整式方程的解.结合解一元一次方程时检验的方法,教师提醒学生解完分式方程后进行检验.【课件7】如何解课件3中所列出的分式方程?解:方程的两边同乘(30+v)(30-v),得90(30-v)=60(30+v),解得v=6.检验:将v=6代入分式方程中,左边=52,右边=52,左边=右边,因此v=6师生共同分析、求解,进一步归纳:解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般方法.【拓展延伸】分式方程与整式方程的定义区分:特点说明举例整式方程方程里所有的未知数都出现在分子上,分母只是常数而没有未知数有“元”和“次”的说法3x+12=-x是一元一次方程2x+y=3是二元一次方程分式方程方程里分母中含有未知数x-1x=2,1y探究二:分式方程的增根[过渡语]刚才我们学习了分式方程和分式方程的解法,知道解分式方程时要验根.那么为什么一定要验根呢?学习了下面的知识,同学们一定会迎刃而解.【课件8】解分式方程x+1x教师提出问题,让学生解方程.解:方程两边同乘x-1,得x+1=-(x-3)+(x-1),解这个整式方程,得x=1.师:x=1是方程的解吗?为什么?说明:学生先独立解决,然后提出自己的看法,进行小组讨论.在学生讨论期间,教师应到学生中,参与学生的数学活动,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并懂得在解分式方程时一定要进行验根.归纳:在解分式方程时,通过去分母将分式方程转化为整式方程,并解这个整式方程,再将整式方程的根代入分式方程(或公分母)中检验.当分母的值不等于0时,这个整式方程的根就是分式方程的根;当公分母的值为0时,分式方程无解,我们把这样的根叫做分式方程的增根.【课件9】解方程:2x+2-2-解:方程两边同乘x+2,得2-(2-x)=3(x+2),解这个整式方程,得x=-3,经检验,x=-3是原分式方程的根.[知识拓展](1)检验的方法有两种:①把未知数的值代入所乘最简公分母中,最简公分母为0是增根,舍去.最简公分母不为0的未知数的值就是原分式方程的解.②把未知数的值代入原方程,若左右两边的值相等,则这个未知数的值就是原方程的根;若某个分式的分母为0,则这个未知数的值就是增根,舍去.(2)解分式方程时,必须注意以下几点:①若分式方程中的分母是多项式,应先对各分母因式分解,再寻求最简公分母;②将一个分式方程的两边同时乘最简公分母时,每一个式子都应乘到,不要漏乘,特别是不要漏乘没有分母的项;③解含字母系数的分式方程时,字母系数应视为具体数处理;④解分式方程时,检验这一步必不可少,它是解分式方程的一个重要步骤.解分式方程的一般步骤:1.在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.2.解这个整式方程.3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零;使最简公分母为零的根不是原方程的根,必须舍去.[设计意图]学生通过回顾,自己总结,实现了自我评价,让对本节知识学得不是很好的学生有所收获.1.下列方程:①2x+x-15=10;②x-1x=2;③12x+1-3=0;A.①② B.②③ C.③④ D.②④解析:①2x+x-15=10是整式方程;②x-1x=2是分式方程;③12x+1-3=0是分式方程;④2.分式方程xx-1-1=3(xA.x=1 B.x=-1C.x=2 D.无解解析:在方程的两边同乘最简公分母(x-1)(x+2),变为整式方程为x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,解得x=1,检验:当x=1时,(x-1)(x+2)=0,所以原分式方程无解.故选D.3.方程4x-12x-2解析:去分母得4x-12=3x-6,解得x=6,经检验x=6是分式方程的解.故填6.4.若代数式1x-2和32x+1的值相等解析:根据题意,得1x-2=32x+1,方程两边都乘最简公分母(x-2)(2x+1),得2x+1=3x-6.解得x=7.经检验5.解方程.(1)3x-2x(2)5x解析:把方程的左右两边同时乘最简公分母,化成整式方程进行计算,注意检验.解:(1)去分母,得3x+6-2x=0,解得x=-6.经检验,x=-6是原方程的解.(2)方程两边都乘最简公分母x(x-2),得5x=3(x-2).解这个一元一次方程,得x=-3.检验:把x=-3分别代入原方程的左边和右边,得左边=5-3-2=-1,右边=3-3=-1,左边=右边,因此,6.当m为何值时,去分母解方程4x+13x-解析:增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的公分母为0的根.有增根,那么最简公分母3(x-2)=0,所以增根是x=2,把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值.解:方程两边都乘3(x-2),得4x+1=3x-6+3(5x-m),即3m=14x-7.分式方程若有增根,则公分母必为零,即x=2,把x=2代入整式方程3m=14x-7有:3m=14×2-7,解得m=7,所以当m=7时,去分母解方程4x+13x-12.4分式方程探究一:分式方程及其解法例1例2探究二:分式方程的增根例3一、教材作业【必做题】1.教材第20页练习第1,2题.2.教材第20~21页习题A组第1,2题.【选做题】教材第21页习题B组.二、课后作业【基础巩固】1.在下列各式中,是关于x的分式方程的是 ()A.2x-3y=0 B.x+12-C.3x-2=2.在下列方程中,是分式方程的有 ()①x5=4;②6x=4;③xA.2个 B.3个 C.4个 D.1个3.关于x的方程2x-1=1的解是 A.x=4 B.x=3 C.x=2 D.x=14.分式方程5x+2=3xA.x=1 B.x=2C.x=3 D.x=4【能力提升】5.将分式方程1x=2x-2去分母后得到的整式方程A.x-2=2x B.x2-2x=2xC.x-2=x D.x=2x-46.关于x的分式方程mx+1=-1的解是负数,则m的取值范围是 (A.m>-1 B.m>-1且m≠0C.m≥-1 D.m≥-1且m≠07.分式方程32x-18.解方程2x【拓展探究】9.已知方程x+1x=2+12的解是x1=2,x2=12;x+1x=3+13的解是x1=3,x2=13;x+1x=4+14的解是x1=4(1)在横线上写出下面两个方程的解:①x+1x=10+110,②x+1x=a+1a,(2)试写出方程x+1x+1=a+1【答案与解析】1.C(解析:根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可.2x-3y=0是整式方程,故A选项错误;x+12-3=2x7是整式方程,故B选项错误;3x-2=5x是关于x的分式方程,故C选项正确2.B(解析:根据分式方程的定义:分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断.①方程分母中不含未知数,故①不是分式方程;②方程分母中含未知数,故②是分式方程;③方程分母中含表示未知数的字母,故③是分式方程;④方程分母中含未知数,故④是分式方程.)3.B(解析:将分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.去分母得2=x-1,解得x=3,经检验x=3是原分式方程的解.)4.C(解析:去分母得5x=3x+6,移项、合并同类项得2x=6,解得x=3,经检验,x=3是原分式方程的解.)5.A(解析:分式方程两边乘最简公分母x(x-2),得x-2=2x.)6.B(解析:方程两边同乘(x+1),得m=-x-1,解得x=-1-m,因为x<0,所以-1-m<0,解得m>-1,又x+1≠0,所以-1-m+1≠0,所以m≠0,即m>-1且m≠0.)7.x=2(解析:去分母得3=2x-1,解得x=2,经检验,x=2是分式方程的解.)8.解:去分母得2x=3x-6,解得x=6,经检验,x=6是原分式方程的解.9.解:(1)①x1=10,x2=110②x1=a,x2=1a(2)因为x+1x+1=a+1a+1,所以x+1+1x+1=a+1+1a+1,所以x+1=a+1或x+1=1a+1,正确地引导、点拨保证了学生掌握正确的知识.本节课的重点内容:解分式方程的思路、步骤、如何检验等都用多媒体形式给学生展示出来.在解分式方程的过程中容易出现的问题都给学生做出强调.给学生的鼓励不是很多.鼓励可以让学生有充足的自信心.“信心是成功的一半”,在今后的课堂教学中,应尊重其差异性,尽可能分层教学,评价标准多样化.注意说明分式方程有时无解的原因,讲清分式方程检验的必要性和解分式方程与整式方程的区别,从而再强调解分式方程必须检验,不能省略这一步.练习(教材第20页)1.解:(1)x=-1.(2)x=3是增根,原方程无解.2.解:由题意得BCEF=12.设BC=x,则EF=x+3,由题意得xx+3=12,方程两边同乘2(x+3)得2x=x+3,解得x=3.检验:当x=3时,2(x+3)≠0,所以x=3是原方程的根.当x=3时,x+3=6,所以BC习题(教材第20页)A组1.解:(1)方程两边同乘(x+1)(x+2),得x+2=2(x+1).解这个整式方程,得x=0.检验:当x=0时,(x+1)(x+2)≠0,所以x=0是原方程的根.(2)方程两边同乘2x,得2×15-25=x.解这个整式方程,得x=5.检验:当x=5时,2x≠0,所以x=5是原方程的根.(3)方程两边同乘(x-7),得x-8-(-1)=8(x-7).解这个整式方程,得x=7.检验:当x=7时,x-7=0,所以x=7是原方程的增根,原方程无解.(4)方程两边同乘(x+1)·(x-4),得x-4-2(x+1)=0.解这个整式方程,得x=-6.检验:当x=-6时,(x+1)(x-4)≠0,所以x=-6是原方程的根.2.解:设一车间平均每天生产x件,则二车间平均每天生产(550-x)件.根据题意得2400x=2400-400550-x,解得x=300.经检验,x=300是原方程的根且符合题意,所以550-x=250.B组解:(1)方程两边同乘x(x-1)(x-2)得x(x-2)+x(x-1)=2(x-1)(x-2),解这个整式方程得x=43.检验:当x=43时,x(x-1)(x-2)≠0,所以x=43是原方程的根.(2)方程两边同乘x(x-1)(x+1)得5(x-1)-(x+1)=0,解这个整式方程得x=32.检验:当x=32时,x(x-1)(x+1)≠0,所以本节课接触到的是分式方程,是在学生掌握了一元一次方程的解法及分式四则混合运算的基础上展开的,同时解决了解分式方程的问题,为以后的教学——“应用”打下了良好的基础,因而在教材中具有不可忽略的地位与作用.解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)