信息必刷卷02（浙江专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷含解析

信息必刷卷02（浙江专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷信息必刷卷02（浙江专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷绝密★启用前2025年高考考前信息必刷卷02（浙江专用）数学考情速递高考·新动向：浙江省使用全国新课标Ⅰ卷，结合最新八省联考动向，更加注重动手画图能力，虽然八省联考最后一道压轴题不是新定义题，但以数列为背景的压轴题仍可能是今年的趋势。高考·新考法：以数列为背景，融入到概率，统计中，综合考察学生对数列和正态分布，二项分布的理解高考·新情境：以珠海航展为背景考察条件概率；以拿破仑三角形为背景考察解三角形知识命题·大预测：考察全概率公式和贝叶斯公式（如本卷第13题）；在概率统计中融入数列递推关系求通项；（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合若，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．或2．已知角α的终边过点，则的值是（

）A．1 B． C．-1 D．3．已知平面直角坐标系中，，，，若，则的坐标为：（

）.A． B． C． D．4．若存在正实数x，y，使得等式和不等式都成立，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．5．第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（

）A． B． C． D．6．已知在上是增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知数列的前12项和为164，且满足，则的值为（）A．4 B．5 C．6 D．78．设函数，若，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在的展开式中，下列说法正确的是（

）A．二项式系数之和为64 B．各项系数之和为1C．展开式中二项式系数最大的项是第4项 D．展开式中第5项为常数项10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．的图象关于直线对称B．在上单调递增C．是奇函数D．将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象11．如图，正方体的体积为8，E，F，G，M分别为的中点，则下列说法正确的是（

）A．直线平行于平面B．向量在向量上的投影向量为C．点M到直线的距离为D．点P为线段上一点，则直线与直线所成角的范围是第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．为虚数单位，若复数满足，则的虚部为．13．中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷厂生产，其中甲、乙、丙瓷厂分别生产300件、300件、400件，而且甲、乙、丙瓷厂的次品率依次为4%、3%、3%．现从这批瓷器中任取一件，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为．（结果保留两位小数）14．拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在中，已知，且，现以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）在△中，内角的对边分别为．(1)求；(2)若△的面积为，求边上的中线的长．16．（15分）如图，六面体是直四棱柱被过点的平面所截得到的几何体，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，，(1)求证：；(2)求平面与平面ABCD的夹角的余弦值.17．（15分）已知椭圆，点.(1)求椭圆的焦距和离心率；(2)直线过点且与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，是否存在直线使为直角三角形？若存在求出直线的方程；若不存在，请说明理由.18．（17分）设函数.(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；(2)当时恒成立，求实数的取值范围；(3)证明：.19．（17分）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）：消费金额（单位：百元）频数2035251055(1)由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）．现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望；(2)市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格．棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）．重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束．①设棋子移到第格的概率为，求P2的值，并证明：当时，是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由．参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．2025年高考考前信息必刷卷02（浙江专用）数学·参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678BABBADCD二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ABCACDABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．13．0.3614．/四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为，由余弦定理得：，（4分）又，所以．（6分）（2）由，所以，由（1），所以，（8分）因为为边上的中线，所以CD=12CA则，.故边上的中线的长为.（13分）16．（15分）【详解】（1）连接BD，直四棱柱中，，则点F在平面内，因为平面ABCD，且平面ABCD，所以，又底面ABCD为正方形，所以，又，平面，所以平面，平面，所以；（6分）（2）因为平面ABCD，DA，平面ABCD，所以，，又底面ABCD为正方形，所以，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，所以，，（9分）设平面的一个法向量为n=x,y,z，则，即，令，则，，所以；（12分）因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量；设平面与平面ABCD的夹角为，则，所以平面与平面ABCD的夹角余弦值为（15分）17．（15分）【详解】（1）因为，所以，即，所以，所以.（4分）（2）由题意知，直线不与轴重合.设方程为.由.（6分）有.（8分）设的中点为.则的中垂线方程为，（9分）令，得..（10分）由题意，，即，的方程为.（15分）18．（17分）【详解】（1），由题意曲线在点处的切线方程为，则，解得；（4分）（2），，，令（），则，当，即时，，即是1,+∞上的增函数，因此，是增函数，所以，不合题意，舍去；当即时，，即是1,+∞上的减函数，所以，所以是1,+∞上的减函数，从而恒成立，当即时，，时，，在单调递增，时，，在单调递减，又，所以时，恒成立，即恒成立，此时在上单调递增，因此，与题意不合，舍去，综上．（10分）（3）由（2）知时，，即，从而，所以，又，所以，此不等式中分别令得，，，，将这个不等式相加得.（17分）19．（17分）【详解】（1），因为服从正态分布，所以．所以，所以的数学期望为．（4分）（2）①棋子开始在第格为必然事件，．第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即．棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，所以，即，且，所以当时，数列是首项，公比为的等比数列．（10分）②由①知，，，，，以上各式相加，得，所以．所以闯关成功的概率为，闯关失败的概率为．，所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率．（17分）绝密★启用前2025年高考考前信息必刷卷02（浙江专用）数学考情速递高考·新动向：浙江省使用全国新课标Ⅰ卷，结合最新八省联考动向，更加注重动手画图能力，虽然八省联考最后一道压轴题不是新定义题，但以数列为背景的压轴题仍可能是今年的趋势。高考·新考法：以数列为背景，融入到概率，统计中，综合考察学生对数列和正态分布，二项分布的理解高考·新情境：以珠海航展为背景考察条件概率；以拿破仑三角形为背景考察解三角形知识命题·大预测：考察全概率公式和贝叶斯公式（如本卷第13题）；在概率统计中融入数列递推关系求通项；（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合若，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】B【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数【分析】根据或，结合集合中元素满足互异性即可求解.【详解】因为所以或，当时，，此时，，故舍去：当时，解得或（舍去），综上．故选：B2．已知角α的终边过点，则的值是（

）A．1 B． C．-1 D．【答案】A【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值【分析】根据三角函数的定义求出的值即可得答案.【详解】角的终边经过点，，.故选：A.3．已知平面直角坐标系中，，，，若，则的坐标为：（

）.A． B． C． D．【答案】B【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数【分析】根据向量平行的坐标表示及向量的线性运算的坐标表示求得即可得．【详解】设，，所以，故.故选：B．4．若存在正实数x，y，使得等式和不等式都成立，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】借助基本不等式可得的最小值，结合该值，再解出与有关一元二次不等式即可得.【详解】由，则，当且仅当，即，时，等号成立，即恒成立，故，即，解得或.故选：B.5．第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率【分析】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，求出、的值，利用条件概率公式可求得所的值，即为所求.【详解】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则，因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区，则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区，基本事件的总数为，若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁，此时，不同的参观情况种数为，若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区，此时，不同的参观情况种数为种，因此，，由条件概率公式可得.故选：A.6．已知在上是增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数【分析】根据函数为增函数列及一次函数、对数函数的单调性出不等式组求解即可.【详解】因为在上是增函数，所以，即，解得：，故选：D.7．已知数列的前12项和为164，且满足，则的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、分组（并项）法求和【分析】由，推出和，再利用前12项和为164求解.【详解】解：由题知：，，又，，所以，，故选：C8．设函数，若，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）【分析】依题意，将转化为，在定义域内同正同负，函数图象与轴的交点重合，得到，进而，利用导数求出最小值.【详解】可看作，在定义域内二者均单调递增，在定义域内同正，因此只需函数图象与轴的交点重合，如图所示：令，得，所以，所以，令，，当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，有最小值，最小值为，所以的最小值为2，故选：D.【点睛】关键点点睛：可看作，在定义域内同正同负，因此函数图象与轴的交点重合.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在的展开式中，下列说法正确的是（

）A．二项式系数之和为64 B．各项系数之和为1C．展开式中二项式系数最大的项是第4项 D．展开式中第5项为常数项【答案】ABC【知识点】求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和、二项展开式各项的系数和【分析】根据二项式系数和的公式可判断A，利用赋值法可求系数和，从而判断B，根据二项式系数的性质可判断C，根据通项可计算展开式中的第五项，从而判断D.【详解】的二项式系数之和为，选项A正确；令，得，则的各项系数之和为1，选项B正确；的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，选项C正确；的展开式中第5项为，不是常数项，选项D不正确．故选：ABC．10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．的图象关于直线对称B．在上单调递增C．是奇函数D．将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象【答案】ACD【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性【分析】利用三角函数图像求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用正弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用三角函数图像可判断D选项.【详解】由图像可得，，函数的最小正周期为，故，则，又，即，因为，则，所以，解得，所以.对于A选项：，所以直线为函数的一条对称轴，故A正确；对于B选项：当时，，所以函数在上不单调，故B不正确；对于C选项：为奇函数，故C正确；对于D选项：因为，将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像，故D正确.故选：ACD.11．如图，正方体的体积为8，E，F，G，M分别为的中点，则下列说法正确的是（

）A．直线平行于平面B．向量在向量上的投影向量为C．点M到直线的距离为D．点P为线段上一点，则直线与直线所成角的范围是【答案】ABC【知识点】空间位置关系的向量证明、异面直线夹角的向量求法、点到直线距离的向量求法【分析】以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，对于A，利用空间向量证明线面平行即可；对于B，求出向量在向量上的投影向量即可；对于C，利用向量法求出点M到直线的距离即可；对于D，利用向量法求出直线与直线所成角的余弦值范围即可.【详解】因为正方体的体积为8，所以棱长为2，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则对于A，平面的法向量为，又，所以，又平面，所以平行于平面，故A正确；对于B，，所以向量在向量上的投影向量为，故B正确；对于C，所以M点到直线的距离为，故C正确；对于D，记直线与直线所成角为，因为点P为线段上一点，设，则，所以，令，则，，当时，取得最大值1；当时，取得最小值；所以，故D错误；故选：ABC.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．为虚数单位，若复数满足，则的虚部为．【答案】【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算【分析】借助复数运算法则计算出后，结合虚部定义即可得.【详解】由，则，故的虚部为.故答案为：.13．中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷厂生产，其中甲、乙、丙瓷厂分别生产300件、300件、400件，而且甲、乙、丙瓷厂的次品率依次为4%、3%、3%．现从这批瓷器中任取一件，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为．（结果保留两位小数）【答案】0.36【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率【分析】先由古典概率计算抽到各厂产品的概率，再由全概率计算抽到次品的概率，最后由条件概率计算即可；【详解】设B表示事件：取得次品．表示事件：该产品由第i家工厂生产（，2，3）．第i家工厂（，2，3）分别表示甲、乙、丙瓷厂．，，．，，，．故取到的是次品，则其来自甲厂的概率为．故答案为：0.36.14．拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在中，已知，且，现以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为.【答案】/【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值、求三角形面积的最值或范围【分析】连接，则，由等边三角形的性质可求出，从而可求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式可得，从而可求出的面积最大值【详解】设的三个内角的对边分别为.连接，则由题设得，，因为以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，所以，，所以，在中，由余弦定理可得，即，又，∴，即（当且仅当时等号成立），由题意可得为等边三角形，故故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）在△中，内角的对边分别为．(1)求；(2)若△的面积为，求边上的中线的长．【答案】(1)(2)【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、已知数量积求模【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合平面向量加法的几何意义、数量积的运算进行求解即可.【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为，由余弦定理得：，又，所以．（2）由，所以，由（1），所以，因为为边上的中线，所以，则，.故边上的中线的长为.16．（15分）如图，六面体是直四棱柱被过点的平面所截得到的几何体，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，，(1)求证：；(2)求平面与平面ABCD的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法【分析】1根据线面垂直的性质可得，由，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；2建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面角即可．【详解】（1）连接BD，直四棱柱中，，则点F在平面内，因为平面ABCD，且平面ABCD，所以，又底面ABCD为正方形，所以，又，平面，所以平面，平面，所以；（2）因为平面ABCD，DA，平面ABCD，所以，，又底面ABCD为正方形，所以，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以；因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量；设平面与平面ABCD的夹角为，则，所以平面与平面ABCD的夹角余弦值为17．（15分）已知椭圆，点.(1)求椭圆的焦距和离心率；(2)直线过点且与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，是否存在直线使为直角三角形？若存在求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)，(2)存在，【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数【分析】（1）根据椭圆方程求出，即可得出焦距及离心率；（2）设直线方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系求出中点，得出中垂线方程求出点,根据垂直可得向量数量积为0，求出可得解.【详解】（1）因为，所以，即，所以，所以.（2）由题意知，直线不与轴重合.设方程为.由.有.设的中点为.则的中垂线方程为，令，得..由题意，，即，的方程为.18．（17分）设函数.(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；(2)当时恒成立，求实数的取值范围；(3)证明：.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题【分析】（1）利用导数的几何意义求解；（2）求出导函数，并设，求得，由于，因此根据，以及分类讨论是否恒成立，从而得参数范围；（3）由（2）不等式变形得，再用代后变形及放缩得，然后令后相加可证．【详解】（1），由题意曲线在点处的切线方程为，则，解得；（2），，，令（），则，当，即时，，即是上的增函数，因此，是增函数，所以，不合题意，舍去；当即时，，即是上的减函数，所以，所以是上的减函数，从而恒成立，当即时，，时，，在单调递增，时，，在单调递减，又，所以时，恒成立，即恒成立，此时在上单调递增，因此，与题意不合，舍去，综上．（3）由（2）知时，，即，从而，所以，又，所以，此不等式中分别令得，，，，将这个不等式相加得.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于第（3）小题，关键是利用（2）中不等式变形及不等式的性质得出，然后分别令后相加得证．19．（17分）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖