信息必刷卷01（上海专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷含解析

信息必刷卷01（上海专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷绝密★启用前2025年高考考前信息必刷卷01（上海卷）数学考情速递高考·新考法：新增统计概率、空间向量、导数及其应用会以不同情景考查高考·新情境：以前的19题实际应用题改在填空题考查，并扩大了考查范围命题·大预测：集合、函数、不等式、三角函数与解三角形、统计与概率、空间向量立体几何等依然是基础题中的热点，且在常考题型中会有创新，函数与三角函数依然是第18题的热点.选填压轴题：除了往年的热点外，空间向量与立体几何模块，其他种数、个数类问题会有很大概率考查，如2023年高考填空压轴题.（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合则．2．已知复数，其中为虚数单位，则．3．函数的最小正周期为．4．已知随机变量X服从正态分布，若，则．5．在中，、、分别为内角、、的对边，，，面积为12，则．6．（n为正整数）的二项展开式中，若第三项与第五项的系数相等，则展开式中的常数项为．7．不等式恒成立，则的取值范围是．8．已知为双曲线的两个焦点，P为C虚轴的一个端点，，则C的渐近线方程为．9．在△ABC中，AB＝1，∠ABC＝60°，·＝－1，若O是△ABC的重心，则·＝．10．学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图所示.该模型为长方体中挖去一个四棱锥，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为.11．设是集合，且(其中为自然对数的底数)中所有的数从小到大排成的数列，若，则的最大值为．12．若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是．二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．设向量，，其中，则下列判断错误的是A．向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关）B．的最大值为C．与夹角的最大值为D．的最大值为l15．假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（

）.A．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立B．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立C．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立D．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立16．设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（

）．A．①、②都正确 B．①正确，②不正确C．①不正确，②正确 D．①、②都不正确三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．在直四棱柱中，，，，，(1)求证：平面；(2)若四棱柱体积为36，求二面角大小.18．已知函数，其中.(1)求在上的解；(2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围.19．近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：喜欢网上买菜不喜欢网上买菜合计年龄不超过45岁的市民401050年龄超过45岁的市民203050合计6040100(1)试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？(2)M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率；(3)用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求、的期望和方差.参考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式及数据：，其中.20．如图，是抛物线：的焦点，过的直线交抛物线于，两点，点在第一象限，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，．已知点在抛物线上．(1)求抛物线的方程；(2)设点纵坐标为，试用表示点的横坐标；(3)在（2）的条件下，求的最小值及此时点的坐标．21．已知关于的函数，与在区间上恒有，则称满足性质.(1)若，，，，判断是否满足性质，并说明理由；(2)若，，且，求的值并说明理由；(3)若，，，，试证：是满足性质的必要条件.2025年高考考前信息必刷卷01（上海卷）数学·参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．2．3．4．0.945．6．207．8．9．510．11．13812．二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13141516BBBC三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17.（1）由题意知，，因为平面，平面，所以平面，因为，且平面，平面，所以平面，又，、平面，所以平面平面，(4分)因为平面，所以平面．(6分)（2）由题意知，底面为直角梯形，所以梯形的面积，因为四棱柱的体积为36，所以，过作于，连接，因为平面，且平面，所以，又，、平面，所以平面，因为平面，所以，所以即为二面角的平面角，(8分)在△中，，所以，所以，即，故二面角的大小为．(14分)18．（1）由已知，又，所以，所以或，所以或，即在上的解为或；(6分)（2）由已知，(8分)则在时有解，即在时有解，因为，所以，所以，所以.(14分)19．（1）假设：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关.由给定的列联表，得：.根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.(2分)（2）设表示周在A平台买菜，表示周在B平台买菜，由题可得，由全概率公式，小张周二选择平台买菜的概率为：；(7分)（3）依题意，喜欢网上买菜的概率为：.从M社区随机抽取20名市民，其中喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布：，所以，.又，所以，.(12分)20．（1）因为点在抛物线：上，所以，得，所以抛物线的方程为，(4分)（2）由点纵坐标为，得点横坐标为，设，重心，因为直线过，所以所以直线的方程为，即，(5分)代入，得，所以，得，所以，因为，，重心在轴上，所以，得，所以，所以，所以即点的横坐标为(10分)（3）由（2）得，，所以，所以直线的方程为，(11分)令，得，即，因为在点的右侧，所以，所以，令，则，，(17分)当且仅当，即取等号，所以当时，取得最小值为，此时，则，所以(18分)21．（1）满足，理由如下：因为，，，所以，(1分)在上单调递增，在上单调递减，当时，取到最小值0，故.又，综上，满足性质.(4分)（2），理由如下：设，则，由条件知，则是的极小值点，所以，即.当时，，当时，；当时，；所以，即恒成立(当且仅当时取等号)因此.(10分)（3）设，由（2）所证的(当且仅当时取等号)知:，当时取等号.设，则，所以在上单调递增，又，所以存在使得，即，则，又，则，结合条件可得，所以，设，则，又由已知，则是的极小值点，所以，即，结合，可得，故，所以是满足性质的必要条件.(18分)绝密★启用前2025年高考考前信息必刷卷01（上海卷）数学考情速递高考·新考法：新增统计概率、空间向量、导数及其应用会以不同情景考查高考·新情境：以前的19题实际应用题改在填空题考查，并扩大了考查范围命题·大预测：集合、函数、不等式、三角函数与解三角形、统计与概率、空间向量立体几何等依然是基础题中的热点，且在常考题型中会有创新，函数与三角函数依然是第18题的热点.选填压轴题：除了往年的热点外，空间向量与立体几何模块，其他种数、个数类问题会有很大概率考查，如2023年高考填空压轴题.（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合则.【答案】【分析】化简集合A，B，根据交集求解.【解析】，，故答案为：.2．已知复数，其中为虚数单位，则．【答案】【分析】根据题意，求得，结合复数模的计算公式，即可求解.【解析】由复数，可得，则，所以.故答案为：.3．函数的最小正周期为．【答案】/【分析】根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求出结果.【解析】，所以函数的周期，故答案为：.4．已知随机变量X服从正态分布，若，则．【答案】0.94【分析】根据正态分布的对称性即可求出指定区间的概率.【解析】由正态分布的对称性得.故答案为：0.94.5．在中，、、分别为内角、、的对边，，，面积为12，则.【答案】【分析】结合三角形的面积公式求，再根据二倍角的余弦公式即可求解.【解析】由，又，，则可得，又，故答案为：.6．（n为正整数）的二项展开式中，若第三项与第五项的系数相等，则展开式中的常数项为．【答案】20【分析】根据第三项与第五项的系数相等，建立方程求出，然后进行计算即可．【解析】第三项与第五项的系数相等，，得，则的展开式中的常数项为．故答案为：20．7．不等式恒成立，则的取值范围是.【答案】【分析】利用绝对值三角不等式得到函数的最值，即可得到答案.【解析】,即函数的最小值是，若不等式恒成立，则.故答案为：8．已知为双曲线的两个焦点，P为C虚轴的一个端点，，则C的渐近线方程为．【答案】【分析】由题意可得出为等腰三角形，结合求出，即可求得答案.【解析】由题意知，而，结合双曲线的对称性可知为等腰三角形，则，故，结合可得，故C的渐近线方程为，故答案为：9．在△ABC中，AB＝1，∠ABC＝60°，·＝－1，若O是△ABC的重心，则·＝.【答案】5【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算、数量积运算、三角形重心性质即可求出.【解析】如图所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．∵AB＝1，∠ABC＝60°，∴.设C(a，0)．∵·＝－1，所以，解得a＝4.∵O是△ABC的重心，延长BO交AC于点D，所以.故答案为：5.10．学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图所示.该模型为长方体中挖去一个四棱锥，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为.【答案】【分析】根据几何体形状分别求出长方体体积和四棱锥的体积，相减得出模型体积即可求得所需原料的质量.【解析】易知四棱锥的底面积，高为，所以四棱锥的体积为，长方体为，因此该模型的体积为，所以该模型所需原料的质量为.故答案为：11．设是集合，且(其中为自然对数的底数)中所有的数从小到大排成的数列，若，则的最大值为.【答案】138【分析】先观察到时的所有项都小于的任意一项，然后计算得到，可知，即可得到结果.【解析】解：记中的项为，当时，，1，2，…，，其中时，取最大值，当时，，1，2，…，，其中时，取最小值，显然，即时的所有项都小于的任意一项，故从小到大排列顺序为，，，，，，…，由，得，∴，又为数列的第项，∴为数列的第277项，要使，即，∴，，∴的最大值为138.故答案为：138.【点睛】本题考查了指对数的大小比较，不等式的问题，考查了集合中元素的互异性，灵活程度很高.12．若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是．【答案】【分析】由题意将问题转化为在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，即转化为方程在上有两根，孤立参数为在上有两根，求导确定函数的单调性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数的取值范围.【解析】若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点．由时，；得其关于原点对称后的解析式为．问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，化简得，即与在上有两个交点．对于，求导，令，解得：，即：当时，单调递增；令，解得：．即：当时，单调递减，∴为其极大值点，，时，；画出其大致图像：欲使与在时有两个交点，则，即．二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先根据对数函数的单调性解不等式然后进行判断.【解析】的解集是，反之不成立.所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B14．设向量，，其中，则下列判断错误的是A．向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关）B．的最大值为C．与夹角的最大值为D．的最大值为l【答案】B【分析】在A中，取z轴的正方向向量，求出与的夹角即可判断命题正确；在B中，计算，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C中，利用数量积求出与的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确．【解析】解：由向量，，其中，知：在A中，设z轴正方向的方向向量，向量与z轴正方向的夹角的余弦值：，∴向量与z轴正方向的夹角为定值45°（与c，d之值无关），故A正确；在B中，，且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此的最大值为1，故B错误；在C中，由B可得：，，∴与的夹角的最大值为，故C正确；在D中，，∴ad−bc的最大值为1．故D正确．故选：B．【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题．15．假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（

）.A．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立B．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立C．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立D．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立【答案】B【分析】分别写出①②对应的样本空间，再利用相互独立事件计算判断.【解析】若家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)，共4种情况，(男,女)，(女,男)(男,男)，(男,女)，(女,男)(男,女)，(女,男)，则，，，事件与事件不相互独立，AC错误；若家庭中有三个小孩，样本空间为(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(女,女,女)，共8种情况，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，，，，事件与事件相互独立，B正确，D错误.故选：B16．设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（

）．A．①、②都正确 B．①正确，②不正确C．①不正确，②正确 D．①、②都不正确【答案】C【分析】先确定所表达的意义，了解满足该条件的点的轨迹，再求点轨迹区域的面积，可以得到问题的答案.【解析】因为，表示除原点外的平面内的所有点.，所以表示到直线和的距离之和不大于4的点.如图：

易知直线和垂直，则，.当时，.因为，所以.因为要求任意，所以是以原点为圆心，半径为的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），因为要求存在，所以是以原点为圆心，半径在范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），故①不正确；当时，存在使得，故②正确.故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是把条件转化成，借助点到直线的距离公式，明确点坐标满足的条件.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．在直四棱柱中，，，，，(1)求证：平面；(2)若四棱柱体积为36，求二面角大小.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用直四棱柱的性质及线面平行的判定定理，可证平面平面，再由面面平行的性质定理，即可得证；（2）先根据棱柱的体积公式求得，再利用二面角的定义，求解即可．【解析】（1）由题意知，，因为平面，平面，所以平面，因为，且平面，平面，所以平面，又，、平面，所以平面平面，因为平面，所以平面．（2）由题意知，底面为直角梯形，所以梯形的面积，因为四棱柱的体积为36，所以，过作于，连接，因为平面，且平面，所以，又，、平面，所以平面，因为平面，所以，所以即为二面角的平面角，在△中，，所以，所以，即，故二面角的大小为．18．已知函数，其中.(1)求在上的解；(2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围.【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据题意得方程，然后通过的范围解方程即可；（2）代入，然后利用三角公式化简，再将方程有解问题转化为函数值域问题，利用正弦函数的性质求值域即可.【解析】（1）由已知，又，所以，所以或，所以或，即在上的解为或；（2）由已知，则在时有解，即在时有解，因为，所以，所以，所以.19．近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：喜欢网上买菜不喜欢网上买菜合计年龄不超过45岁的市民401050年龄超过45岁的市民203050合计6040100(1)试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？(2)M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率；(3)用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求、的期望和方差.参考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式及数据：，其中.【答案】(1)有关(2)(3)，，，【分析】（1）由独立性检验相关知识可得答案；（2）由题结合全概率公式可得答案；（3）由题可得，后由期望与方差性质可得答案.【解析】（1）假设：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关.由给定的列联表，得：.根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.（2）设表示周在A平台买菜，表示周在B平台买菜，由题可得，由全概率公式，小张周二选择平台买菜的概率为：；（3）依题意，喜欢网上买菜的概率为：.从M社区随机抽取20名市民，其中喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布：，所以，.又，所以，.20．如图，是抛物线：的焦点，过的直线交抛物线于，两点，点在第一象限，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，