2025年中考数学总复习《重难突破》同步测试题-附答案

精品试卷·第2页（共2页）2025年中考数学总复习《重难突破》同步测试题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________重难一规律探究问题1．[2023云南]按一定规律排列的单项式：a,2a2,3a3,4a4,A．n B．n−1an−12．[2024江苏扬州]1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1,1,2,3,5,⋯,这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（）A．676 B．674 C．1348 D．13503．[2024长沙三模]我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了(a+b例如：(a(a(a(a(a……请你猜想(aA．2018 B．512 C．128 D．2564．[2023常德]观察数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023排在第a行b列，则aA．2003 B．2004 C．2022 D．20235．[2024山东济宁]如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形.第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形，⋯⋯按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（）A．90 B．91 C．92 D．936．[2024郴州桂阳一模]如图，∠MON=30∘，在OM上截取OA1=3.过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点AA．22021 B．22020 C．220237．[2024湖北武汉]如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=x3−3x2+3x−1的图象，发现它关于点(1,0)中心对称.若点AA．−1 B．−0.729 C．08．[2024岳阳平江模拟]正偶数2,4,6,8,10,⋯,按如下规律排列，2468101214161820则第27行的第21个数是____.9．[2023山西]如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，⋯⋯，依此规律，第n个图案中有____________个白色圆片（用含n的代数式表示）.10．[2024岳阳华容一模]在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其他汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，下图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“H”的个数为__.11．[2023衡阳蒸湘一模]如图，在平面直角坐标系xOy中，点A1(2,2)在直线y=x上，过点A1作A1B1//y轴，交直线y=12x于点B1，以A1为直角顶点，A1B1为直角边，在A1B1的右侧作等腰直角三角形12．[2023江苏宿迁]如图，△ABC是正三角形，点A在第一象限，点B(0,0)、C(1,0).将线段CA绕点C按顺时针方向旋转120∘至CP1；将线段BP1绕点B按顺时针方向旋转120∘至BP2；将线段A13．[2023张家界]如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为(1,1)，AA1⌢是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；A1A2⌢是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；A2A3⌢是以点C为圆心，CA214．[2023怀化]在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为(1,0).把△AOB按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60∘，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A115．[2024江苏盐城]发现问题小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽.提出问题销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢?图1分析问题．某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d(n,k均为正整数，n>小明设计了如下三种铲籽方案. 图2 图3 图4方案1:图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为____________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________________；方案2:图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________________;方案3:图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.解决问题．在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短?请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价.重难二新定义问题1．[2023山东菏泽]若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1,3)，B(−2,−6A．−14≤C．−14≤2．[2024湖南模拟]定义：如果两个函数的图象上分别存在唯一的一个点，这两点关于x轴对称，则称这两个函数是“有关系的”.若一次函数y=x+1与二次函数3．[2023四川乐山]定义：若x，y满足x2=4y+t，y2=（1）若P(3,（2）若双曲线y=kx4．[2024长沙一模]已知四边形有两组对角，我们把有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”.（1）若四边形ABCD是“对余四边形”，则其一组对角∠A（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D，求证：四边形图1（3）如图2，在“对余四边形”ABCD中，AB=BC，∠ABC=60∘，探究线段图25．[2024长沙湘江新区一模]新定义：如果实数m,n满足m−n=−2，则称P(m,（1）求正比例函数y=（2）若点A是反比例函数y=kx图象上唯一的“立足点”,点B,C是反比例函数y=kx图象上的“制高点”,点M是反比例函数y=（3）已知点D(x1,y1),E(x6．[2024娄底娄星一模]定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y−x 图1 图2（1）①点A(②抛物线y=−（2）某抛物线y=−x2+bx（3）如图，二次函数y=−x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为(7,3)，点O重难三圆的综合问题1．[2024益阳沅江一模]（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，

，求证：

.从①DE与（2）在（1）的条件下，若EF=1，DE=2．[2024常德一模]如图，AB为⊙O的直径，点P为半径OA上异于点O和点A的一个点，过点P作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，连接AE、DE，AE交CD于点F，且DE与⊙（1）求证：OE//（2）若⊙O的半径为5，tan∠PAD=（3）已知PF=x，PD=y，求3．[2024娄底娄星一模]如图，在等腰△ABC中，AB=BC，点D是AC上一点，以CD为直径的⊙O过点B，连接BD,且∠CAB=∠DBA，∠DBC的平分线BE交⊙O（1）求证：AB与⊙O（2）求证：△DEF（3）已知DA=2，求4．[2024郴州二模]如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，OF⊥AC于点F，延长OF交⊙O于点E，过E作⊙O的切线ED，与BC的延长线交于点D，连接EB交（1）求证：四边形EFCD为矩形；（2）求证：CE（3）若CGGF=2m（m为常数），求5．[2023长沙浏阳一模]如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一个动点，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点（1）当PC与⊙O相切时，求∠（2）芳芳观察后发现，PDCD的值为12，点点说PDCD（3）设tan∠PCB=x,tan(126．[2024长沙三模]如图，AB=AD，AB为⊙O的直径，C在⊙O上且为BD的中点，过点A作AF//BD，连接（1）求证：CF为⊙O（2）记△AEF，△AEC，△CED的面积分别为S1，S2，S（3）若⊙O的半径为1，设BC=x，AE⋅DE⋅1重难四二次函数压轴题1．[2024岳阳一模]如图，抛物线y=12x2−2x−6与x备用图（1）请直接写出点A，B，C的坐标.（2）若点P是抛物线BC段上的一点，当△PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△（3）点F是抛物线上的动点，作EF//AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点2．[2024怀化一模]如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OB 图1 图2 图3（1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标.（2）如图2，点Q为抛物线对称轴上一动点，当Q在什么位置时QA+QC的值最小？求出此时Q点的坐标，并求出此时（3）如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M，在对称轴右侧的抛物线上有一点N，满足∠MDN=903．[2023湖北武汉]抛物线C1：y=x2−2x−8交x轴于A， 图① 图②（1）直接写出A，B，C三点的坐标.（2）如图①，作直线x=t(0<t<4),分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，（3）如图②，将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点，直线y=2x与抛物线C2交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线4．[2024长沙一模]如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A（1）求该抛物线的解析式.（2）连接BC，抛物线上是否存在点M，使∠ABC=∠BCM（3）若点D是抛物线上位于第二象限的一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A,B,D的圆与DF交于点E，连接AE,BE，求5．[2024长沙宁乡模拟]定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x=n（n为常数）对称，则称该函数为“（1）在下列函数中，是“X(①y=x；②y=（2）若关于x的函数y=(x−ℎ)2+k是“X(0)函数”，且图象与直线y=4相交于A（3）若关于x的函数y=ax2+bx+4(a≠0)6．[2024安徽]已知抛物线y=−x2+bx（1）求b的值.（2）点A(x1,y1)（ⅰ）若ℎ=3t,且x1≥0（ⅱ）若x1=t7．[2024重庆A卷]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点(−1,6),与y轴交于点C备用图（1）求抛物线的表达式.（2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E,交AC于点D.点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N,点F为线段BC的中点，连接AM,NF.当线段（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取得最大值时的点D,且与直线AC相交于另一点K.点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK=∠ACB8．[2024江苏苏州]如图①,二次函数y=x2+bx+c的图象C1与 图① 图②（1）求图象C1（2）若图象C2过点C(0,6),点P位于第一象限，且在图象C2上，直线l过点P且与x轴平行，与图象C2的另一个交点为Q（Q在P左侧）,直线l与图象C1的交点为M,N（3）如图②,D,E分别为二次函数图象C1,C2的顶点，连接AD,过点A作AF⊥AD,交图象C2于点F,连接EF重难五几何压轴题1．[2024张家界桑植一模]如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E,AB=10,CD=6,点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连接AP交⊙O于点Q,连接CQ交AB于点 图1 图2（1）如图1,当DP=4时，求（2）如图2,连接AC,DQ.①求证：∠ACQ②在点P运动的过程中，设DP=x，S△QACS2．[2024常德安乡一模]问题提出：如图①，△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE=DB，延长ED交AB图①问题探究：．（1）先将问题特殊化，如图②，当∠BAC=60图②（2）再探究一般情形，如图①，证明（1）中的结论仍然成立.问题拓展：．如图③，在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，CGBC=1n(n<2)，延长BC至点E，使图③3．[2023湖北武汉]问题提出如图①，E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=α(α≥①问题探究．（1）先将问题特殊化，如图②，当α=90∘②（2）再探究一般情形，如图①，求∠GCF与α问题拓展．将图①特殊化，如图③，当α=120∘时，若DG③4．[2024永州东安一模]在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠CDE=90∘,AC=BC,CD=DE，点F是AB的中点，连接 图① 图② 备用图（1）如图①，当点E在AC上时，AE和DF的数量关系为____________，直线AE和直线DF相交所成的锐角的度数为________.（2）如图②，当点E不在AC上时，（1）中的关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出新的关系，并说明理由.（3）若CD=5,BC=13，将△CDE绕着点C旋转一周的过程中，当D，E5．[2024重庆A卷]在△ABC中，AB=AC,点D是BC边上一点（点D不与端点重合）.点D关于直线AB的对称点为点E,连接AD,DE.在直线AD上取一点F,使∠EFD=∠BAC,直线 图1 图2 备用图（1）如图1,若∠BAC=60∘,BD<CD,（2）如图1,若∠BAC=60∘,BD<（3）如图2,若∠BAC=90∘,点D从点B移动到点C的过程中，连接AE,当6．[2024江西]综合与实践如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合）,连接CD,以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE,∠DCE=90特例感知 图1 图2 图3（1）如图1,当m=1时，BE与类比迁移（2）如图2，当m≠1时,猜想BE与拓展应用（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF,EF,BF,如图3.已知AC=6,设AD=x,四边形①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；②当BF=2时，请直接写出参考答案重难突破重难一规律探究问题1．[2023云南]按一定规律排列的单项式：a,2a2,3a3,4a4,A.n B.n−1an−1【答案】C【解析】观察排列的单项式，发现第n个单项式的系数为n，字母a的指数为n，所以第n个单项式为na2．[2024江苏扬州]1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1,1,2,3,5,⋯,这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（）A.676 B.674 C.1348 D.1350【答案】D【解析】这列数为1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数，∵2024÷3=6743．[2024长沙三模]我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了(a+b例如：(a(a(a(a(a……请你猜想(aA.2018 B.512 C.128 D.256【答案】D【解析】(a+b(a+b(a+b……∴(a+b∴(a+b4．[2023常德]观察数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023排在第a行b列，则aA.2003 B.2004 C.2022 D.2023【答案】C【解析】观察数表可知，第n行从左到右的每一个分数的分母依次为n，(n−1)，(n−2)，显然分数202023在第a即b=20.观察数表发现行数=分子+分母∴a∴a5．[2024山东济宁]如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形.第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形，⋯⋯按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（）A.90 B.91 C.92 D.93【答案】B【解析】第一幅图中正方形的个数为12第二幅图中正方形的个数为12第三幅图中正方形的个数为12……第六幅图中正方形的个数为126．[2024郴州桂阳一模]如图，∠MON=30∘，在OM上截取OA1=3.过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点AA.22021 B.22020 C.22023【答案】A【解析】∵A1B1⊥OM，∵OB1=B∵A2B2⊥OM，同理△B2A同理△B2021A7．[2024湖北武汉]如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=x3−3x2+3x−1的图象，发现它关于点(1,0)中心对称.若点AA.−1 B.−0.729 C.0【答案】D【解析】∵这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，∴0.1∵函数y=x3∴y1+y19=0∴y∴y1+y2将x=2代入得y20∴y8．[2024岳阳平江模拟]正偶数2,4,6,8,10,⋯,按如下规律排列， 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20则第27行的第21个数是____.【答案】744【解析】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数是n(∴第27行的最后一个数,即第27个数为27×∵第27行的第21个数与第27个数差6个数，∴756故答案为744.9．[2023山西]如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，⋯⋯，依此规律，第n个图案中有____________个白色圆片（用含n的代数式表示）.【答案】(2【解析】第1个图案中有2+第2个图案中有2+第3个图案中有2+……∴第n个图案中有(210．[2024岳阳华容一模]在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其他汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，下图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“H”的个数为__.【答案】20【解析】甲烷分子结构图中“H”的个数是2+乙烷分子结构图中“H”的个数是2+丙烷分子结构图中“H”的个数是2+……∴壬烷分子结构图中“H”的个数是2+11．[2023衡阳蒸湘一模]如图，在平面直角坐标系xOy中，点A1(2,2)在直线y=x上，过点A1作A1B1//y轴，交直线y=12x于点B1，以A1为直角顶点，A1B1为直角边，在A1B1的右侧作等腰直角三角形【答案】2×【解析】∵点A1(2,2)，∴B1(2,∴点C1的横坐标为3∵过点C1作A2B2//y轴，分别交直线y=∴A2(3,3)∴点C2的横坐标为9以此类推，A3B3∴点C3的横坐标为274=2×∴点C4的横坐标为81……∴点Cn的横坐标为2∴点C2021的横坐标为212．[2023江苏宿迁]如图，△ABC是正三角形，点A在第一象限，点B(0,0)、C(1,0).将线段CA绕点C按顺时针方向旋转120∘至CP1；将线段BP1绕点B按顺时针方向旋转120∘至BP2；将线段A【答案】(−49【解析】如图，画出前4次旋转后点P1，P2，P3由图象可得，点P1，P4在∴旋转3次为一个循环，∵99÷3=33，∴点P99在射线∵C(1∴由旋转的性质可得，AC=CP1=∴BP2∴C∴BP4同理可得P7(8,0)，∴CP100=101∴如图，过点P99作P99E∵∠ACB=60∴EC∴EO=EC∴点P99的坐标是(−13．[2023张家界]如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为(1,1)，AA1⌢是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；A1A2⌢是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；A2A3⌢是以点C为圆心，CA2【答案】(−2023【解析】∵点A的坐标为(1,1)，且A1为A点绕B点顺时针旋转90∘所得，又∵A2为A1点绕O点顺时针旋转90∘所得，∴点又∵A3为A2点绕C点顺时针旋转90∘所得，∴点又∵A4为A3点绕A点顺时针旋转90∘所得，∴点由此可得出规律：B、O、C、A四点作为圆心依次循环，An顺时针旋转90∘，且半径为1、2、3、…、∵2023∴A2023为A2022绕点C∴点A2023的坐标为(−14．[2023怀化]在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为(1,0).把△AOB按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60∘，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1【答案】22023；【解析】由题意得OA=1=20，OA1=2∴△A2023O∵360∘÷∵2023∴A2023在第四象限，坐标为15．[2024江苏盐城]发现问题小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽.提出问题销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢?图1分析问题．某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d(n,k均为正整数，n>小明设计了如下三种铲籽方案. 图2 图3 图4方案1:图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为____________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________________；方案2:图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________________;方案3:图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.解决问题．在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短?请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价.【解析】分析问题方案1：(n−1)d；2k；2(n−1)dk.详解：根据每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，∴每行铲的路径长为(n−1)d，∵每列有k个籽，呈交错规律排列，∴有2k行，即共铲2k行.∴铲除全部籽的路径总长为2(n−1)dk.方案2：2(k−1)dn.详解：根据每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，∴每列铲的路径长为(k−1)d，∵每行有n个籽，呈交错规律排列，∴有2n列，∴纵向铲除全部籽的路径总长为2(k−1)dn.方案3：由题图4得斜着铲时路径上每相邻两个点之间的距离为d2+d22=2d2.沿着斜着铲籽的路径展开菠萝侧面，由每行有n个籽可知，斜着铲除全部籽所需路径为n解决问题2(n−1)dk−2(k−1)dn=2ndk−2dk−2ndk+2dn=2d(n−k)>0，∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长;2(k−1)dn−22×(2k−1)dn=[(2−2)k−2+22]dn，∵n>k≥3，重难二新定义问题1．[2023山东菏泽]若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1,3)，B(−2,−6A.−14≤C.−14≤【答案】D【解析】由题意得，“三倍点”所在的直线为y=∵在−3<x∴在−3<x<1令3x=−x2−x+c把x=−3代入y=−x2−x∴−9>−6把x=1代入y=−x2−x∴3>−2综上，c的取值范围为−42．[2024湖南模拟]定义：如果两个函数的图象上分别存在唯一的一个点，这两点关于x轴对称，则称这两个函数是“有关系的”.若一次函数y=x+1与二次函数【答案】5【解析】由题意，设一次函数y=x+1图象上存在唯一的一个点(m∴m整理得m2根据题意可知，Δ=16−43．[2023四川乐山]定义：若x，y满足x2=4y+t，y2=（1）若P(3,（2）若双曲线y=kx【答案】（1）−（2）3【解析】（1）∵P(3,m)是“和谐点”，∴4m+t=9,12+t=m2,整理得m2+4m−21=0，解得m=−7（2）∵双曲线y=kx(−3<x<−1)存在“和谐点”，∴x2=4kx+t①,k2x2=4x+t②,①−②得4．[2024长沙一模]已知四边形有两组对角，我们把有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”.（1）若四边形ABCD是“对余四边形”，则其一组对角∠A（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D，求证：四边形图1（3）如图2，在“对余四边形”ABCD中，AB=BC，∠ABC=60∘，探究线段图2【解析】（1）90∘或270∘∵MN是⊙O的直径，∴∠BNM+∠BMN=90∘.∵在⊙O中，∠BNM=∠BAD，∠BMN=∠BCD，∴∠BAD+∠BCD=90∘，（3）AD2+CD2=BD2.理由：如图，将△BCD绕点B按逆时针方向旋转60∘，得到△BAF，连接FD，∴△BCD≌△BAF，∠FBD=∠ABC=60∘，∴△BFD是等边三角形，∴BF=BD=DF.∵在“对余四边形”ABCD中，∠ABC+∠ADC=905．[2024长沙湘江新区一模]新定义：如果实数m,n满足m−n=−2，则称P(m,（1）求正比例函数y=（2）若点A是反比例函数y=kx图象上唯一的“立足点”,点B,C是反比例函数y=kx图象上的“制高点”,点M是反比例函数y=（3）已知点D(x1,y1),E(x【解析】（1）设正比例函数y=x图象上“制高点”的坐标为(m−1,5−n)，根据题意得m−n=−2,m−1=5−n,解得n=4,m=2,∴正比例函数y=x（2）设点A的坐标为(m,n)，根据题意，得m−n=−2,n=km,整理，得m2+2m−k=0.∵点A是反比例函数y=kx图象上唯一的“立足点”，∴Δ=22+4k=0，解得k=−1.∴反比例函数的解析式为y=−1x，点A的坐标为(−1,1).设点B(m−1,5−n)是反比例函数y=−1x图象上的一个“制高点”，根据题意，得m−n=−2,5−n=−1m−1,整理，得m2−4m+2=0，解得m1=2+2，m2=2−2，∴n1=4+2，n2=4−2，∴B(1+2,1−2)，C(1−2,1+2)，∴直线BC的解析式为y=−x+2.∵△MBC的面积等于△ABC的面积，∴MA//BC，设直线MA的解析式为y=−x+t，将A(−1,1)代入，得t=0，∴直线MA的解析式为y=−x，联立得y=−1x,y=−x,解得x=1或x=−1，∴M(1,−1).在y=−x+2中，令x=0，得（3）∵a+b+c=0，且a>2b>3c,∴a>0，c<0，b=−(a+c),由题意得ax2+(2b−1)x+3c+2=−x+2,∴ax2+2bx+3c=0，∴x1+x2=−2ba,x1x2=3ca,∴|x1−x2|=(x1−x6．[2024娄底娄星一模]定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y−x 图1 图2（1）①点A(②抛物线y=−（2）某抛物线y=−x2+bx（3）如图，二次函数y=−x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为(7,3)，点O【解析】（1）①3②7（2）∵b+c=1,∴b=1−c，∴y=−x2+(1−c)x+c，∵抛物线y=−x2+(1−c)x+c的“特征值”为−1，y−x=−x2+(1−c)x+c−x=−x2（3）“坐标差”为2的一次函数的解析式为y=x+2，∵二次函数y=−x2+px+q的图象的顶点在直线y=x+2上，∴设二次函数y=−(x−m)2+m+2，二次函数的图象与矩形的边只有三个公共点，分两种情况：如题图1，抛物线顶点在直线y=x+2与FE的交点处时，令y=3，则x=1，∴抛物线顶点为(1,3)，∴m=1,∴二次函数的解析式为y=−(x−1)2+3，∴y−x=−(x−1)2+3−x=−x2+x+2=−(x−12)2+94，“特征值”是94；如题图2，抛物线右侧部分经过点E时，把重难三圆的综合问题1．[2024益阳沅江一模]（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，

，求证：

.从①DE与（2）在（1）的条件下，若EF=1，DE=【解析】若②作为条件，①作为结论.证明：连接OD，如图，∵弦AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAD.∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，∴∠ODA=∠EAD，∴AC//OD.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切.若①作为条件，②作为结论.证明：连接OD，如图，∵弦AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAD.∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，∴∠ODA=∠EAD，∴AC//OD.∴DE与⊙O相切，OD为⊙O的半径，∴OD⊥DE，∴DE⊥AC.（2）连接DF，∵弦AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAD，∴DF⌢=BD⌢，∴DF=BD.∵DE⊥AC，∴∠FED=90∘，又EF=1，DE=2，∴DF=DE2+EF2=22+12=52．[2024常德一模]如图，AB为⊙O的直径，点P为半径OA上异于点O和点A的一个点，过点P作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，连接AE、DE，AE交CD于点F，且DE与⊙（1）求证：OE//（2）若⊙O的半径为5，tan∠PAD=（3）已知PF=x，PD=y，求【解析】证明：如图，连接OD，∴OA=OB=OD，∵DE与⊙O相切于点D，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90∘，∵BE⊥AB，∴∠OBE=90∘=∠ODE，在Rt△OBE和Rt△ODE中，OE=OE,OB=OD,∴Rt△OBE≌Rt△ODE(HL)，∴∠BOE=∠DOE，（2）∵AB⊥CD，tan∠PAD=3，∴PDPA=3，CD=2PD，设PA=a，则PD=3a，∴PO=OA−PA=5−a，在Rt△OPD中，PO2+PD2=OD2（3）∵CD⊥AB，BE⊥AB，∴CD//BE，∴∠APD=∠OBE=90∘，∴△APF∼△ABE，∴PFBE=APAB，∴PF=AP⋅BEAB，∵∠OAD=∠BOE,∠APD=∠OBE=90∘，∴△APD∼△OBE3．[2024娄底娄星一模]如图，在等腰△ABC中，AB=BC，点D是AC上一点，以CD为直径的⊙O过点B，连接BD,且∠CAB=∠DBA，∠DBC的平分线BE交⊙O（1）求证：AB与⊙O（2）求证：△DEF（3）已知DA=2，求【解析】（1）证明：连接OB.∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA.∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB.∵∠CAB=∠DBA，∴∠DBA=∠OBC.∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90∘.∵∠DBC=∠DBO+∠OBC，∴∠DBO+∠DBA=90∘.∴OB⊥AB，∵OB是⊙O的半径，∴AB（2）证明：易知∠EDC=∠EBC.∵BE平分∠DBC，∴∠EBD=∠EBC.∴∠EDC=∠EBD.又∠DEF=∠BED,∴△DEF∼△BED.（3）∵∠CAB=∠DBA，∴DB=DA=2.∵∠CAB=∠DBA=∠BCA，∠CDB=∠CAB+∠DBA，∠CDB+∠BCA=90∘，∴3∠BCA=90∘，∴∠BCA=30∘.∴在Rt△BCD中，CD=2DB=4.连接EC，∵∠EBD=∠EBC，∴DE⌢=CE⌢,∴DE=CE.在Rt△CDE4．[2024郴州二模]如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，OF⊥AC于点F，延长OF交⊙O于点E，过E作⊙O的切线ED，与BC的延长线交于点D，连接EB交（1）求证：四边形EFCD为矩形；（2）求证：CE（3）若CGGF=2m（m为常数），求【解析】（1）证明：∵OF⊥AC，∴∠EFC=90∘.∵AB为直径，∴∠ACB=90∘，∴∠DCF=90∘.∵ED为⊙O的切线，OE为⊙O的半径，（2）证明：由题意知AE⌢=CE⌢，∴∠ACE=∠EBC.又∠CEG=∠BEC，∴△GCE∼△CBE，（3）∵四边形EFCD为矩形，∴OE//BD，∴△GCB∼△GFE，∴CGGF=BCEF=2m.设BC=2a，则EF=ma，∵AC⊥OE，∴AF=FC，又AO=BO，∴FO是△ABC的中位线，∴FO=15．[2023长沙浏阳一模]如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一个动点，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点（1）当PC与⊙O相切时，求∠（2）芳芳观察后发现，PDCD的值为12，点点说PDCD（3）设tan∠PCB=x,tan(12【解析】（1）当PC是⊙O的切线时，OC⊥PC，∴∠OCP=90∘，∵BP=OB，∴BC=BP，OP=2OB=2OC，∴∠P=∠PCB.∵sinP=OC（2）芳芳的结论正确，证明：如图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∵BD⊥BC，∴AC//BD，∴△PDB∼△PCA，∴PDPC=PBPA，又∵BP=OB，∴PA=3BP，即（3）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∴tanA=BCAC，∵∠A=12∠POC，∴y=tan(12∠POC)=BCAC，∵BD⊥BC，∴∠CBD=906．[2024长沙三模]如图，AB=AD，AB为⊙O的直径，C在⊙O上且为BD的中点，过点A作AF//BD，连接（1）求证：CF为⊙O（2）记△AEF，△AEC，△CED的面积分别为S1，S2，S（3）若⊙O的半径为1，设BC=x，AE⋅DE⋅1【解析】（1）证明：连接OC，∵OA=OB，C为BD的中点，∴OC//AD，∵CF⊥AD，∴OC⊥CF，∵C在⊙O上，∴CF为⊙O的切线.（2）∵AF//BD，∴△AEF∼△DEC，∴S1S3=(AEDE)2，∵S2S3=AEDE，S1+S2S3=3，∴(AEDE)2+AEDE=3，∴（3）∵⊙O的半径为1，∴AD=AB=2，∵BC=CD=x，∴AC=4−x2，∵S△ACD=12AC⋅CD=12AD⋅CE，∴x4−x2=2CE，∴CE=x4−x22，由（2）知AE⋅DE=CE2=x2(4−x2)4，∵∠ACB=90∘重难四二次函数压轴题1．[2024岳阳一模]如图，抛物线y=12x2−2x−6与x备用图（1）请直接写出点A，B，C的坐标.（2）若点P是抛物线BC段上的一点，当△PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△（3）点F是抛物线上的动点，作EF//AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点【解析】（1）A(−2,0)，B(6,0)，C(0,−6).（2）如图1，作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，图1易知直线BC的解析式为y=x−6，设P(m,12m2−2m−6)，则D(m,m−6)，∴PD=(m−6)−(12m2−2m−6)=−12m存在.如图2，图2当四边形ACFE为平行四边形时，AE//CF，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C(0,−6)，∴点F的坐标为(4,−6).如图3，当四边形ACEF为平行四边形时，作FG⊥AE于G，图3易知FG=OC=6，当y=6时，12x2−2x−6=6，解得x1=2+27，x2=2−27，∴F(2+272．[2024怀化一模]如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OB 图1 图2 图3（1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标.（2）如图2，点Q为抛物线对称轴上一动点，当Q在什么位置时QA+QC的值最小？求出此时Q点的坐标，并求出此时（3）如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M，在对称轴右侧的抛物线上有一点N，满足∠MDN=90【解析】（1）∵OB=OC=5，∴点B的坐标为(5,0)，点C的坐标为(0,5)，∴−25+5b+c=0,c=5,解得b=4,c=5,∴抛物线的解析式为y=−x2+4x+5，∵y=−x2（2）∵点A与点B(5,0)关于直线x=2对称，连接BC交对称轴于点Q，此时QA+QC的值最小，易得直线BC的解析式为y=−x+5，当x=2时，y=−2+5=3，∴Q(2,3)，∵点A(−1,0)，点C(0,5)，∴AC=12+52=26，∵AQ+CQ=CB=证明：如图，过点D作直线l垂直于y轴，再过点M，N分别作直线l的垂线，垂足分别为H，G，设点M(m,−m2+4m+5)，点N(n,−n2+4n+5)，∵顶点D的坐标为(2,9)，∴MH=9−(−m2+4m+5)=m2−4m+4=(m−2)2，DH=2−m，GN=9−(−n2+4n+5)=n2−4n+4=(n−2)2，DG=n−2，由题意得∠H=∠G=∠MDN=90∘，∴∠MDH=90∘−∠NDG=∠DNG，∴△MDH∼△DNG，∴MHDG=DHNG，即(m−2)2n−2=2−m(n−2)2，∴(m−2)(n−2)=−1，∴mn−2(m+n)+5=0，设直线MN的解析式为y=kx+t，∴mk+t=−m2+4m+5①,nk+t=−n2+4n+5②,①−②得3．[2023湖北武汉]抛物线C1：y=x2−2x−8交x轴于A， 图① 图②（1）直接写出A，B，C三点的坐标.（2）如图①，作直线x=t(0<t<4),分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，（3）如图②，将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点，直线y=2x与抛物线C2交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线【解析】（1）A(−2,0),B(4,0),C(0,−8).（2）∵F是直线x=t与抛物线C1的公共点，∴F(t,t2−2t−8).①如图，当△BE1D1∼△CE1F1时，∵∠BCF1=∠CBO，∴CF1//OB.∵C(0,−8)，∴t2−2t−8=−8.解得t=0（舍去）或t=2.②如图，当△BE2D2∼△F2E2C时，过F2作F2T⊥y轴于点T.（3）点P在一条定直线上.由题意知抛物线C2:y=x2,∵直线OG的解析式为y=2x,∴G(2,4).∵H是OG的中点，∴H(1,2).设M(m,m2),N(n,n2),∴直线MN的解析式为y=(m+n)x−mn.∵直线MN经过点H(1,2)，∴mn=m+n−2.易知直线GN的解析式为y=(n+2)x−2n，直线MO的解析式为y=mx.联立得y=(n+2)x−2n,y=mx.∵直线OM与NG相交于点P，∴n+2≠m,即n−m+2≠0.∴x=2nn−m+2,y=2mnn−m+2.∵mn=m+n−2,∴P(2nn−m+2,4．[2024长沙一模]如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A（1）求该抛物线的解析式.（2）连接BC，抛物线上是否存在点M，使∠ABC=∠BCM（3）若点D是抛物线上位于第二象限的一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A,B,D的圆与DF交于点E，连接AE,BE，求【解析】（1）易知C(0,c)，∴OC=−c，∵OB=OC=2OA，∴OB=−c,OA=−12c，∴B(−c,0)，A(12c,0)，代入抛物线y=12x（2）存在.∵OB=OC=4，∠BOC=90∘，∴∠ABC=∠OCB=45∘，∴∠BCM=∠ABC=45∘，∴MC⊥y轴，当y=−4时，12（3）由（1）知A(−2,0),B(4,0)，∴AB=4−(−2)=6，记过点A，B，D的圆的圆心为点G，∵点G在线段AB、DE的垂直平分线上，∴设G(1,t)，D(m,n)，则E(m,2t−n)，∴S△ABE=12AB⋅EF=12×6(2t−n)=3(2t−n)，∵GD2=GA2，∴(1−m)2+(t−n)2=(−2−1)25．[2024长沙宁乡模拟]定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x=n（n为常数）对称，则称该函数为“（1）在下列函数中，是“X(①y=x；②y=（2）若关于x的函数y=(x−ℎ)2+k是“X(0)函数”，且图象与直线y=4相交于A（3）若关于x的函数y=ax2+bx+4(a≠0)【解析】（1）④（2）根据题意，得ℎ=0，则y=x2+k，∴P(0,k)，设直线y=4与y轴交于点H，如图，联立得y=x2+k,y=4,整理得x2+k−4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∴x1+x2=0，x1x2=k−4，且k<4，则AB=(x1（3）由题意，得−b2a=1,9a+3b+4=1,解得a=−1,b=2,∴y=−x2+2x+4.①当t<1时，y1=−t2+2t+4，y2=−(t−1)2+2(t−1)+4，∴y1−y2=(−t2+2t+4)−[−(t−1)2+2(t−1)+4]=−2t+3=2，解得t=12；②当t−1≥1，即t≥2时，y1=−(t−1)26．[2024安徽]已知抛物线y=−x2+bx（1）求b的值.（2）点A(x1,y1)（ⅰ）若ℎ=3t,且x1≥0（ⅱ）若x1=t【解析】（1）因为抛物线y=−x2+bx的顶点横坐标为b2，抛物线y=−x（2）因为点A(x1,y1)在抛物线y=−x2+2x上，所以y1=−（2）（ⅰ）因为ℎ=3t,所以3t=−t2−2x1t+2x1+4t,整理得t(t+2x1（ⅱ）将x1=t−1代入ℎ=−t2−2x1t+2x1+4t,整理得ℎ=−3t27．[2024重庆A卷]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点(−1,6),与y轴交于点C备用图（1）求抛物线的表达式.（2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E,交AC于点D.点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N,点F为线段BC的中点，连接AM,NF.当线段（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取得最大值时的点D,且与直线AC相交于另一点K.点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK=∠ACB【解析】（1）∵抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与y轴交于点C，∴点C的坐标为(0,4)，即OC=4.在Rt△OBC中，∠COB=90∘,tan∠CBA=OCOB=4,∴OB=1.∴点B的坐标为(1,0).将点(−1,6)，(1,0)分别代入（2）在抛物线的表达式y=−x2−3x+4中，由−x2−3x+4=0,解得x1=−4,x2=1,∴点A的坐标为(−4,0)，∴直线AC的表达式为y=x+4,设P(m,−m2−3m+4),则D(m,m+4),∴PD=−m2−3m+4−(m+4)=−m2−4m=−(m+2)2+4.∵−1<0,∴当m=−2时，线段PD长度取最大值，为4，此时点P的坐标为(−2,6)，点E的坐标为(−2,0)，点D的坐标为(−2,2).∵MN⊥y轴，点M在直线x=−2上，∴MN=EO=2.如图，连接EF,设EF交y轴于点N,过点N作NM⊥DE，垂足为M,连接AM.易知MN//AE,MN=AE=2，∴四边形AENM为平行四边形.∴AM=EN，由两点之间线段最短，可知AM+NF的最小值为EF的长.∴AM+MN+NF的最小值为MN+EF.∵点F为线段BC的中点，∴点F（3）满足条件的点Q的坐标是(−1,−2)，(−198．[2024江苏苏州]如图①,二次函数y=x2+bx+c的图象C1与 图① 图②（1）求图象C1（2）若图象C2过点C(0,6),点P位于第一象限，且在图象C2上，直线l过点P且与x轴平行，与图象C2的另一个交点为Q（Q在P左侧）,直线l与图象C1的交点为M,N（3）如图②,D,E分别为二次函数图象C1,C2的顶点，连接AD,过点A作AF⊥AD,交图象C2于点F,连接EF【解析】（1）将A(−1,0)，B(3,0)代入y=x2+bx+c,得1−b+c=0,9+3b+c=0,解得b=−2,c=−3,（2）设C2对应的函数表达式为y=a(x+1)(x−3)(a<0)，将C(0,6)代入得，a=−2．∴C2对应的函数表达式为y=−2(x+1)(x−3)，其对称轴为直线x=1．易知图象C1的对称轴也为直线x=1．作直线x=1，交直线l图①由二次函数图象的对称性得，QH=PH，PM=NQ，又∵PQ=MP+NQ，∴PH=PM．设PH=t(0<t<2)，则点P的横坐标为t+1，点M的横坐标为2t+1，将x=t+1代入y=−2(x+1)(x−3)，得yP=−2(t+2)(t−2)，将x=2t+1代入y=(x+1)(x−3)，得yM=(2t+2)(2t−2)，∵yP=yM，∴−2(t+2)(t−2)=(2t+2)(2t−2)，即6t2（3）连接DE，交x轴于点G，过点F作FI⊥ED于点I，过点F作FJ⊥x轴于点J.（如图②）图②易知DE⊥x轴，∵FI⊥ED，FJ⊥x轴，∴四边形IGJF为矩形，∴IF=GJ，IG=FJ，设C2对应的函数表达式为y=k(x+1)(x−3)(k<0)，∵点D，E分别为二次函数图象C1，C2的顶点，∴D(1,−4)，E(1,−4k)．∴DG=4，AG=2，EG=−4k，∴在Rt△AGD中，tan∠ADG=AGDG=24=12，∵AF⊥AD，∴∠FAB+∠DAB=90∘，又∵∠DAG+∠ADG=90∘，∴∠ADG=∠FAB，∴tan∠FAB=tan∠ADG=FJAJ=12，设GJ=m(0<m<2)，则AJ=2+m，∴FJ=2+m2，∴F(m+1,2+m2)，∵EF//AD，∴∠FEI=∠ADG，∴tan∠FEI=tan∠ADG=FIEI=12，∴EI=2m，又∵EG=EI+IG，∴2m+2+m重难五几何压轴题1．[2024张家界桑植一模]如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E,AB=10,CD=6,点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连接AP交⊙O于点Q,连接CQ交AB于点 图1 图2（1）如图1,当DP=4时，求（2）如图2,连接AC,DQ.①求证：∠ACQ②在点P运动的过程中，设DP=x，S△QACS【解析】（1）连接OD，如图，∵AB⊥CD，∴DE=EC=12CD=3.∵AB=10，∴OA=OB=OD=5.∴OE=OD2−DE2=4.∴AE=OA+OE=9（2）①证明:连接BQ，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AQB=90∘.∴∠QAB+∠B=90∘.∵PE⊥AE，∴∠QAB+∠P=90∘.∴∠P=∠B②∵CE⊥AB，∴AC=AE2+CE2=310.∵四边形AQDC为圆内接四边形，∴∠PDQ=∠QAC.又∠ACQ=∠CPA，∴△PDQ∼△CAQ.∴S△PDQS△QAC=(DPAC)2=2．[2024常德安乡一模]问题提出：如图①，△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE=DB，延长ED交AB图①问题探究：．（1）先将问题特殊化，如图②，当∠BAC=60图②（2）再探究一般情形，如图①，证明（1）中的结论仍然成立.问题拓展：．如图③，在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，CGBC=1n(n<2)，延长BC至点E，使图③【解析】（1）14.详解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=60∘，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60∘,∵D是AC的中点，∴AD=12AC=12AB,∠ABD=∠DBE=30∘（2）证明：取BC的中点H，连接DH.∵D是AC的中点，∴DH//AB，DH=12AB.∵AB=AC，∴DH=DC.∴∠DHC=∠DCH.∵BD=DE，∴∠DBH=∠DEC.∴∠BDH=∠EDC.∴△DBH≌△DEC.∴BH=EC.∴EBEH=32.∵DH//AB，∴△EFB∼△EDH问题拓展：2−n4.详解：如图，取BC的中点H，连接DH.∵D是AC的中点，∴DH//AB，DH=12AB.∵AB=AC，∴DH=DC.∴∠DHC=∠DCH.∵DE=DG，∴∠DGH=∠DEC.∴∠GDH=∠EDC.∴△DGH≌△DEC.∴GH=EC.∴HE=CG.∵CGBC=1∵DH//AB，∴△EFB∼△EDH.∴FBDH=EBEH3．[2023湖北武汉]问题提出如图①，E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=α(α≥①问题探究．（1）先将问题特殊化，如图②，当α=90∘②（2）再探究一般情形，如图①，求∠GCF与α问题拓展．将图①特殊化，如图③，当α=120∘时，若DG③【解析】（1）∠GCF=45∘.详解：如图，在BA上截取BJ，使得BJ=BE.当α=90∘时，菱形ABCD是正方形，∴∠B=∠BCD=90∘，BA=BC，∵BJ=BE，∴AJ=EC，∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠BAE+∠B，∠AEF=∠B=90∘，∴∠CEF=∠EAJ，又∵EA=EF，∴△EAJ≌△FE