数学-江苏省新高考基地学校大联考2025届高三第二学期2月期初质量监测试题和答案

2025届高三第二学期期初质量监测注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效。3.本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。取值范围为3.若是奇函数，则a=4.某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10,x,10,8.若这组数据的中位数和平均数相等，那么x=5.已知直线l和两个不同的平面α,β,若l⊥α,则“I//β”是“α⊥β”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件高三数学第1页(共4页)7.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中任取三个数，取出的三个数之和是3的倍数的概率为8.已知点M是椭圆C:上的一点，F,F₂分别是C的左、右焦点，A.c=0A.AF⊥平面PBCB.C.S₁+S₂+S₃=8πD.的取值范围三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。13.已知斜率不为0的直线l与抛物线x²=4y相交于A,B两点，与圆x²+(y-4)²=6相切于点M.若M为线段AB的中点，则直线L的纵截距为▲14.在△ABC中，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,已知asinA+sinB=sinC,,则△ABC的内切圆半径r的最大值为_▲四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知数轴上有一质点，从原点开始每隔1秒向左或向右移动一个单位长度.设它向左(1)已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后该质点在x=0处的概率；(2)记质点3秒后所在位置对应的实数为X,求X的分布列与数学期望16.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,且PA=AB=2,AC⊥BC.(1)求证：PA⊥平面ABC,并求三棱锥P-ABC体积的最大值；(2)当1≤AC≤√2时，求平面PAB与平面PBC所成角的正切值的取值范围.高三数学第3页(共4页)17.(15分)F为其左焦点.(1)求C的方程；(2)设过点P(4,0),且斜率为k的直线I与C交于A,B两点.②若x轴上存在一点M,使得点M是△FAB的外心，求点M的坐标.18.(17分)(1)当时，证明：f(x)≥0;(2)若f(x)在x∈[0,+]上为增函数，求a的取值范围；(3)证明：19.(17分)(l≤i<j≤n),存在另一个数对(a,a,)(I≤k<l≤n),(1)写出整数数列：0,1,2,4,8的所有“有趣数对”;(3)固定整数n≥3,求一个n项整数数列中“有趣数对”个数的最大可能值.2025届高三第二学期期初质量监测数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。题号12345678ACBDADBB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。题号9三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【解】(1)记“质点2秒后所在位置对应的实数为非负数”为事件A,记“2秒后该质点在x=0处”为事件B,故所求的概率为P(2)X可能的取值为-3,-1,1,3,则所以X的分布列为：X13P高三数学参考答案第1页(共6页)……13分【解】(1)在平面ABC内取一点S,作SR⊥AB于点R,作ST⊥AC于点T.SRc平面ABC,SR⊥AB,所以SR⊥PA.同理ST⊥PA.所以PA⊥平面ABC.……4分所以PA的长为三棱锥P—ABC的高.因为ACLBC,所以因为PA⊥平面ABC,BCc平面ABC,所以PA⊥BC.因为AC⊥BC,ACNPA=A,AC,PAc平面PAC,所以BC⊥平面PAC.又ADc平面PAC,所以BC⊥AD.又AD⊥PC,PCNBC=C,PC,BCc平面PBC,所以AD⊥平面PBC.又因为DE⊥PB,ADNDE=D,AD,DEc平面ADE,所以PB⊥平面DEC.因为AEc平面ADE,所以AE⊥PB.所以∠AED为平面PAB与平面PBC所成角的平面角.……11分高三数学参考答案第2页(共6页)设AC=x,则因为PA=AB=2,所以AE=√2,因为1≤x≤√2,所以17.(15分)【解】(1)由题意可知，2a=4,则a=2,将直线I的方程为y=k(x-4),代入双曲线C:得(5-4k²)x²+32k²x-64k²-20=0.所以②设M(m,0),△FAB的外由消y得(1+k²)x²-(2m+8k²)x+16k²-6m-9=0.由消y得(5-4k²)x²+32k²x-64k²-20=0.解得满足条件.18.(17分)【解】(1)当时，所以f(x)在[0,+]上单调递增，所以f(x)≥f(0)=0.(2)由f(x)=cosx+ax²-1,得f'(x)=-sinx+2ax.因为f(x)在[0,+]上为增函数，所以g(x)>g(0)=0,即x-sinx>0,……13分……15分……10分(2)由(1)可知，当,x∈(0,+0)即,当且仅当x=0即由(2)可得，当x>0时，x>sinx,所以……13分……15分19.(17分)【解】(1)有趣数对有：(0,1),(0,2),(0,4),(1,2),(1,4),(2,4),(4,8).所以I-k=2(j-i),(≤i<j≤9,1≤k<l≤9).……17分l-k=8时，j-i=4,(j,i)=(5,1),(6,2),(7,3),(8,4),(9,5)共5个；(j,i)=(3,1),(4,2),(5,3),(6,4),(7,5),(8,6),(9,7)共7个；l-k=2时，j-i=1,共8个；所以所有“有趣数对”个数为26个.……9分对ie{2,3,…,n-1},至多有一个i,使得数对(a,a,),(a,,a)理由如下：假设存在ie{2,3,…,n-1则由(*)得两式相加得a