2021年 数学新高考上海卷

PAGE1一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.（2021·上海高考1题）已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，则a10＝.解析：设公差为d，则a10＝a1＋9d＝21.答案：212.（2021·上海高考2题）已知z＝1－3i，则｜z－i｜＝.解析：∵z＝1－3i，∴z＝1＋3i，∴z－i＝1＋3i－i＝1＋2i，∴｜z－i｜＝12＋2答案：53.（2021·上海高考3题）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为.解析：圆柱的侧面积S＝2πrh＝2π×1×2＝4π.答案：4π4.（2021·上海高考4题）不等式2x+5x－2解析：2x+5x－2＜1，即2x+5x－2解得－7＜x＜2，因此不等式的解集为（－7，2）.答案：（－7，2）5.（2021·上海高考5题）直线x＝－2与直线3x－y＋1＝0的夹角为.解析：由于直线x＝－2的倾斜角为π2，直线3x－y＋1＝0即直线y＝3x＋1，其倾斜角为π3，故夹角为答案：π6.（2021·上海高考6题）若方程组a1x＋b1y＝解析：由题意知，D＝a1答案：07.（2021·上海高考7题）已知（1＋x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1＋x）n的系数和为.解析：由题意知，C则n解得5＜n＜7，又n∈N，因此n＝6.设（1＋x）6＝a0x6＋a1x5＋a2x4＋…＋a5x＋a6，令x＝1，则（1＋x）6的系数和为a0＋a1＋a2＋…＋a6＝26＝64.答案：648.（2021·上海高考8题）已知函数f（x）＝3x＋a3x+1（a＞0）的最小值为5，则a解析：f（x）＝3x＋a3x+1＝3x＋1＋a3x+1－1≥2a－1＝5，当且仅当3x＋1＝a3x+1时等号成立，∴a＝9，答案：99.（2021·上海高考9题）在无穷等比数列{an}中，limn→∞（a1－an）＝4，则a2的取值范围是解析：∵当n→∞时，数列{a1－an}的极限存在，∴当n→∞时，数列{an}的极限存在，又数列{an}为等比数列，设其公比为q，∴－1＜q＜0或0＜q＜1，∴limn→∞an＝0，∴limn→∞（a1－an）＝a∴a2＝a1q＝4q∈（－4，0）∪（0，4）.答案：（－4，0）∪（0，4）10.（2021·上海高考10题）某人某天运动的总时长需要大于等于60分钟，现有如下表所示的五项运动可以选择，则共有种运动组合方式.A运动B运动C运动D运动E运动7点～8点8点～9点9点～10点10点～11点11点～12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟解析：若使运动总时长大于等于60分钟，则至少要选择两项运动，并且选择两项运动的情况中，AB，DB，EB的组合方式是不符合题意的，选择三项、四项、五项运动均满足总时长大于等于60分钟，因此组合方式共有C55＋C54＋C53＋C52答案：2311.（2021·上海高考11题）已知椭圆x2＋y2b2＝1（0＜b＜1）的左、右焦点分别为F1，F2，以O（O为坐标原点）为顶点，F2为焦点作抛物线交椭圆于点P，且∠PF1F2＝45°，解析：如图，设F1（－c，0），F2（c，0），则抛物线的方程为y2＝4cx，不妨设点P在第一象限，则直线PF1：y＝x＋c，由y2=4cx，y＝x＋c，得P（c，2c），连接PF2，则PF2⊥F1F2，｜PF2｜＝｜F1F2｜＝2c，｜PF1｜＝22c，∴｜PF1｜＋｜PF2｜＝（2＋得c＝2－1，∴抛物线的准线方程为x＝－c＝1－2.答案：x＝1－212.（2021·上海高考12题）已知θ＞0，存在实数φ，使得对任意n∈N*，cos（nθ＋φ）＜32，则θ的最小值是解析：作出单位圆如图所示，由题意，nθ＋φ的终边要落在图中阴影部分区域（其中∠AOx＝∠BOx＝π6）∴[（n＋1）θ＋φ]－（nθ＋φ）＝θ＞∠AOB＝π3，由于cos（nθ＋φ）＜32对任意n∈N*都成立，∴2πθ∈N*，即θ＝2πk，k∈N*，又θ＞π答案：2二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.13.（2021·上海高考13题）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）A.f（x）＝x2 B.f（x）＝sinxC.f（x）＝2x D.f（x）＝1解析：选C由题意，作平行于x轴的任意直线，函数图象满足与平行于x轴的任意直线最多只有一个交点的函数在定义域内存在反函数.只有C选项中函数的图象满足题意，故选C.14.（2021·上海高考14题）已知集合A＝{x｜x＞－1，x∈R}，B＝{x｜x2－x－2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（）A.A⊆B B.∁RA⊆∁RBC.A∩B＝⌀ D.A∪B＝R解析：选DA＝（－1，＋∞），B＝（－∞，－1]∪[2，＋∞），∴A∪B＝R，其余选项均错误.15.（2021·上海高考15题）已知函数y＝f（x）的定义域为R，下列是f（x）无最大值的充分条件的是（）A.f（x）为偶函数且图象关于点（1，1）对称B.f（x）为偶函数且图象关于直线x＝1对称C.f（x）为奇函数且图象关于点（1，1）对称D.f（x）为奇函数且图象关于直线x＝1对称解析：选C选项A、B、D的反例如图①，②，③所示，故选项A、B、D错误；对于选项C，∵f（x）为奇函数且图象关于点（1，1）对称，∴f（x）＋f（－x）＝0，f（2＋x）＋f（－x）＝2，∴f（2＋x）－f（x）＝2，∴f（2k＋x）＝f（x）＋2k，k∈Z，又f（0）＝0，∴f（2k）＝2k，k∈Z，当k→＋∞时，f（2k）＝2k→＋∞，∴函数f（x）无最大值，C正确.16.（2021·上海高考16题）在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，有以下结论：①存在满足条件的△ABC，使得AB·CE＝0；②存在满足条件的△ABC，使得CE∥（CB＋CA）.下列说法正确的是（）A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立解析：选B如图，以D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.不妨设A（2x，2y）（xy≠0），B（－1，0），C（1，0），则D（0，0），E（x，y），①AB＝（－1－2x，－2y），CE＝（x－1，y），若AB·CE＝0，则（－1－2x）（x－1）－2y2＝0，∴－（2x＋1）（x－1）＝2y2，满足条件的x，y明显存在，∴①成立；②记AB的中点为F，则CB＋CA＝2CF，记CF与AD的交点为G，则G为△ABC的重心，∴G为AD的三等分点，又E为AD的中点，∴CE与CG不平行，故②不成立.故选B.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17.（2021·上海高考17题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，E为AB的中点，PE⊥平面ABCD.（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P-ABCD的体积；（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小.解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，且△PAB为等边三角形，E为AB的中点，∴PE＝PB·sin∠PBE＝AB·sin60°＝23，又PE⊥平面ABCD，∴四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD＝13×42×23＝32（2）法一∵AD∥BC，∴∠PCB即PC与AD所成的角.如图，连接EF，∵PE⊥平面ABCD，EF，BC⊂平面ABCD，∴PE⊥EF，PE⊥BC，又PF与平面ABCD所成角为45°，即∠PFE＝45°，∴PE＝EF×tan∠PFE＝4，∴PB＝PE2＋BE2又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，∴tan∠PCB＝PBBC＝5∴PC与AD所成角的大小为arctan52法二如图，连接EF，∵PE⊥平面ABCD，EF，AB⊂平面ABCD，∴PE⊥EF，PE⊥AB，又平面ABCD为正方形，E，F分别为AB，CD的中点，∴EF⊥AB，∴AB，EF，PE两两垂直.以E为坐标原点，EB，EF，EP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（2，4，0），A（－2，0，0），D（－2，4，0），∵PF与平面ABCD所成角为45°，∴∠PFE＝45°，∴PE＝EF×tan∠PFE＝4，∴P（0，0，4），∴PC＝（2，4，－4），AD＝（0，4，0）.设PC与AD所成的角为θ，则cosθ＝｜PC·AD｜｜即PC与AD所成角的大小为arccos2318.（2021·上海高考18题）已知A，B，C为△ABC的三个内角，a，b，c分别是角A，B，C对应的三条边，a＝2，cosC＝－14（1）若sinA＝2sinB，求b，c；（2）若cosA－π4＝45解：（1）由sinA＝2sinB及正弦定理，得a＝2b，∵a＝2，∴b＝1，由余弦定理可得cosC＝22＋12－c22（2）∵cosA－π4＝45，∴22cosA＋2又sin2A＋cos2A＝1，∴cosA＝7210或cosA＝∵cosC＝－14＞－22，∴C∈π2，3π4，∴A∈0，π2，若cosA＝210则cosA＜14＝cos（π－C）＝cos（A＋B），∴A＞A＋B，显然不成立∴cosA＝7210，∴sinA＝由cosC＝－14可得sinC＝15由正弦定理2sinA＝csinC得，19.（2021·上海高考19题）（1）某团队在基地O点西侧、东侧20千米处分别设有A，B两站点，测量距离发现一点P满足｜PA｜－｜PB｜＝20千米，可知P在以点A，B为焦点的双曲线上.以O点为坐标原点，正东方向为x轴正半轴方向，正北方向为y轴正半轴方向，建立平面直角坐标系，点P在基地O点北偏东60°处，求双曲线的标准方程和P点的坐标；（2）该团队又在基地O点南侧、北侧15千米处分别设有C，D两站点，测量距离发现一点Q满足｜QA｜－｜QB｜＝30千米，｜QC｜－｜QD｜＝10千米，求｜OQ｜（精确到1千米）和Q点的位置（精确到1千米，1°）.解：（1）设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1（a＞则a＝10，c＝20，∴b2＝c2－a2＝300，∴双曲线的标准方程为x2100－y由题意可得直线OP：y＝33x由x2100∴P152（2）①由｜QA｜－｜QB｜＝30可得点Q在以A，B为焦点，实轴在x轴上且实轴长为30的双曲线右支上，设双曲线方程为x2a12－y2b12＝1（a1则a1＝15，c1＝20，∴b12＝175，双曲线的方程为x2225－②由｜QC｜－｜QD｜＝10可得点Q在以C，D为焦点，实轴在y轴上且实轴长为10的双曲线上支上，设双曲线方程为y2a22－x2b22＝1（a2则a2＝5，c2＝15，∴b22＝200，双曲线的方程为y225由x2225－y∴经计算器计算得，｜OQ｜≈19（千米），arctan∠QOy≈66°，∴Q点位于基地O点北偏东66°方向，距离O点约19千米.20.（2021·上海高考20题）已知函数f（x）＝｜x＋a（1）若a＝1，求函数f（x）的定义域；（2）若a≠0，且f（ax）＝a有2个不同实数根，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）若a＝1，则f（x）＝｜x+1|-1∴｜x＋1｜－1≥0，解得x≤－2或x≥0，∴函数f（x）的定义域为（－∞，－2]∪[0，＋∞）.（2）f（ax）＝｜ax＋a|-a－ax，∴f（ax）＝a即｜设ax＋a＝t≥0，则f（ax）＝a有2个不同实数根等价于t－a＝t（t≥0）有2整理得a＝t－t2＝－t－122＋14当且仅当0≤a＜14时，方程有2个不同实数根又a≠0，∴a的取值范围为0，（3）当x≥－a时，f（x）＝｜x＋a|-a－x＝x－x∴f（x）在0，14上单调递增，在若使f（x）在[－a，＋∞）上具有单调性，则需满足－a≥14，即当a≤－14时，函数f（x）在[－a，＋∞）当x＜－a时，f（x）＝｜x＋a|-a－x∴f（x）在（－∞，－2a]上单调递减，∵a≤－14＜0，∴－2a＞－a＞0，∴当a≤－14时，函数f（x）在（－∞，－a]综上，当a≤－14时，函数f（x）在定义域R上单调递减21.（2021·上海高考21题）已知数列{an}满足an≥0，对任意n≥2，an和an＋1中存在一项使其为另一项与an－1的等差中项.（1）已知a1＝5，a2＝3，a4＝2，求a3的所有可能取值；（2）已知a1＝a4＝a7＝0，a2，a5，a8为正数，求证：a2，a5，a8成等比数列，并求出公比q；（3）已知数列{an}中恰有3项为0，即ar＝as＝at＝0，2＜r＜s＜t，且a1＝1，a2＝2，求ar＋1＋as＋1＋at＋1的最大值.解：（1）由题意，2an＝an＋1＋an－1或2an＋1＝an＋an－1（n≥2），若2a2＝a3＋a1，则a3＝1，此时a2＝3，a3＝1，a4＝2，满足2a4＝a3＋a2.若2a3＝a2＋a1，则a3＝4，此时a2＝3，a3＝4，a4＝2，2a3≠a4＋a2且2a4≠a3＋a2，不符合题意.∴a3＝1.（2）∵a1＝a4＝a7＝0，∴a3＝2a2或a3＝a22，经检验，a3＝∴a5＝a32＝a24或a5＝－a3＝－a22（舍），∴a6＝a52＝a28或a6＝－a5＝－a24（舍），∴a8＝a62＝a216或a8＝－a6＝－a28（舍），综上，a2，a5，a8成等比数列，公比为14（3）由2an＝an＋1＋an－1或2an＋1＝an＋an－1（n≥2），可知an+2－an+1an+1－an由（2）可知，ar＝0⇒ar－2＝2ar－1⇒ar－1－ar－2＝－ar－1，且ar＝0⇒ar＋1＝12ar－1∴ar＝0⇒ar＋1＝12ar－1＝－12（ar－1－ar－∵数列{an}按规律an+2－an+1an+1－an＝1∴存在i∈N*，将ar－1－ar－2按②变换i次，按①变换r－3－i次，使得ar＋1＝－12·－12i·1r－3－i·（a2－a1）＝－12·－12∴（ar＋1）max＝14同理，as＋1＝－12·－12j·1s－2－r－j·（ar＋1－ar）＝－12·－12j·14，j∈N*，∴（同理，（at＋1）max＝164∴ar＋1＋as＋1＋at＋1的最大值为2164前沿热点——新高考数学考情分析2024年新高考真题（含考情分析）及高考最新动向实时更新请扫码获取纵观近年来新高考数学试题，试题贯彻落实了高考改革的总体要求，实施“德智体美劳”全面发展的教育方针，聚焦核心素养，突出关键能力考查，落实立德树人根本任务，充分发挥考试的引导作用.试题突出数学本质、重视理性思维、坚持素养导向、能力为重的命题原则.通过设计真实问题情境，体现数学的应用价值；稳步推进改革，科学把握必备知识与关键能力的关系，体现了对基础性、综合性、应用性和创新性的高考考查要求.一、突出主干知识、筑牢能力基础以2023年新高考Ⅰ、Ⅱ卷为例，对各试题所考查的主干知识分析如下：题型题号各试题所考查的知识点分布及考查角度2023年新高考Ⅰ卷2023年新高考Ⅱ卷单选题1集合的交集运算复数的乘法及几何意义2复数运算、共轭复数由集合间的关系求参数3向量垂直、数量积运算分层随机抽样、计数原理4由函数的单调性求参数由函数的奇偶性求参数5椭圆的离心率问题由直线与椭圆的位置关系求参数6圆的切线问题由函数的单调性求参数7等差数列充要条件的判定半角公式8三角函数中和、差、倍角公式的应用等比数列的概念、前n项和及性质多选题9样本数字特征圆锥的体积、侧面积和截面面积10以实际问题为背景考查对数大小比较直线与抛物线的位置关系、抛物线的概念及性质11抽象函数的函数性质函数的极值及应用12以正方体内嵌入某几何体考查对称性、空间位置关系独立事件的概率、二项分布模型填空题13计数原理向量的数量积、模14四棱台的体积四棱台的体积15三角函数中由零点个数求ω范围直线与圆的位置关系16双曲线几何性质、平面向量三角函数的图象与性质解答题17正弦定理、三角恒等变换正、余弦定理、三角恒等变换18线线平行的证明及由二面角求线段长度等差数列、数列的奇偶项问题19利用导数判断函数的单调性、证明不等式统计图表、概率统计与函数交汇问题20等差数列的概念、性质及前n项和空间线面位置关系、二面角的正弦值21概率与数列的交汇问题直线与双曲线的位置关系、定直线问题22以抛物线为背景，考查不等式及函数的最值以三角函数、对数函数为载体，考查导数的应用从上表可以看出，试题所考查知识范围及思想方法90％以上都源于教材主干知识，由此在一轮复习备考中更应重视必备知识的系统梳理、基本能力的逐点夯实.二、注重试题情境创设、牢记育人宗旨1.关注社会热点2023年新高考Ⅰ卷第10题以当今社会热点“噪声污染问题”为背景命制试题，目的是引导学生关注社会、关注民生，用所学知识解决生活实践情境下的实际问题.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgpp0，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压.声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（）A.p1≥p2 B.p2＞10p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p22.弘扬优秀传统文化2022年新高考Ⅱ卷第3题以中国古代建筑中的举架结构为背景命制出以等差数列为考查点的试题，此类试题不但能考查学生的阅读理解能力、直观想象能力及知识运用能力，而且还能以优秀传统文化精髓陶冶情操.（2022·新高考Ⅱ卷）图①是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图②是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，A.0.75 B.0.8C.0.85 D.0.93.展示现代科学技术水平2021年新高考Ⅱ卷第4题以我国航天事业的重要成果北斗三号全球卫星导航系统为试题情境命制立体几何问题，在考查学生的空间想象能力和阅读理解、数学建模等素养的同时，引导学生关注我国社会现实与经济、科技进步与发展，增强民族自豪感与自信心.（2021·新高考Ⅱ卷）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2（1－cosα）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（）A.26％ B.34％C.42％ D.50％4.体现数学应用价值2022年新高考Ⅰ卷第4题以我国的重大建设成就“南水北调”工程为背景命制出以四棱台体积公式为考查点的立体几何试题，体现了数学的应用价值.（2022·新高考Ⅰ卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（7≈2.65）（）A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3三、重视能力考查、使素养评价科学有据高中数学课程标准对培养学生能力的要求是数学“六大核心素养”的集中展示.要检验学生核心素养高低，必须通过解决数学问题来体现.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体素养评价本题为多选题，以正方体内嵌入其他几何体为背景考查学生不同的素养层级，由A、B、C、D四个选项设计的问题不同，对应解决问题所需核心素养也逐渐提升，本题真正体现了“入口容易全分难”的多选题考查特征.四、秉承创新、引导探究性学习新高考试卷中开放性试题的增设，促进了考查的灵活性，思维方式的多样性.同时引导了学生重视探究性学习，逐步培养学生创新思维的良好习惯.1.举例题（2023·新高考Ⅱ卷）已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值试题评析本类题目属于结论开放型，利用所学知识选择数学模型，使之满足题目所具有的结论可能不唯一，选其之一作为答案即可.2.结构不良题（2022·新高考Ⅱ卷）已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且