2020年 数学高考题全国Ⅲ卷(理科)

PAGE1一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2020·全国Ⅲ卷）已知集合A＝{（x，y）｜x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）｜x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为（）A.2 B.3C.4 D.6解析：选C由题意得，A∩B＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}，所以A∩B中元素的个数为4，选C.2.（2020·全国Ⅲ卷）复数11－3iA.－310 B.－C.110 D.解析：选D11－3i＝1+3i（1+3i)(1－33.（2020·全国Ⅲ卷）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且∑i=14pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C.p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2解析：选B对于A，当p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4时，随机变量X1的分布列为X11234P0.10.40.40.1E（X1）＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，D（X1）＝（1－2.5）2×0.1＋（2－2.5）2×0.4＋（3－2.5）2×0.4＋（4－2.5）2×0.1＝1.52×0.1＋0.52×0.4＋0.52×0.4＋1.52×0.1＝0.65，所以D（X1对于B，当p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1时，随机变量X2的分布列为X21234P0.40.10.10.4E（X2）＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，D（X2）＝（1－2.5）2×0.4＋（2－2.5）2×0.1＋（3－2.5）2×0.1＋（4－2.5）2×0.4＝1.52×0.4＋0.52×0.1＋0.52×0.1＋1.52×0.4＝1.85.所以D（X2对于C，当p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3时，随机变量X3的分布列为X31234P0.20.30.30.2E（X3）＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，D（X3）＝（1－2.5）2×0.2＋（2－2.5）2×0.3＋（3－2.5）2×0.3＋（4－2.5）2×0.2＝1.52×0.2＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，所以D（X3对于D，当p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2时，随机变量X4的分布列为X41234P0.30.20.20.3E（X4）＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，D（X4）＝（1－2.5）2×0.3＋（2－2.5）2×0.2＋（3－2.5）2×0.2＋（4－2.5）2×0.3＝1.52×0.3＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45.所以D（X4所以B中的标准差最大.4.（2020·全国Ⅲ卷）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝K1+e－0.23（t－53），其中K为最大确诊病例数.当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则tA.60 B.63C.66 D.69解析：选C由题意可知，当I（t*）＝0.95K时，K1+e－0.23（t*－53）＝0.95K，即10.95＝1＋e－0.23（t*－53），e－5.（2020·全国Ⅲ卷）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A.14，0C.（1，0） D.（2，0）解析：选B将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2p，不妨设D（2，2p），E（2，－2p），由OD⊥OE，可得OD·OE＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为126.（2020·全国Ⅲ卷）已知向量a，b满足｜a｜＝5，｜b｜＝6，a·b＝－6，则cos＜a，a＋b＞＝（）A.－3135 B.－C.1735 D.解析：选D由题意，得a·（a＋b）＝a2＋a·b＝25－6＝19，｜a＋b｜＝a2+2a·b＋b2＝25－12+36＝7，所以cos＜a，a＋b7.（2020·全国Ⅲ卷）在△ABC中，cosC＝23，AC＝4，BC＝3，则cosB＝（A.19 B.C.12 D.解析：选A由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝16＋9－2×4×3×23＝9，AB＝3所以cosB＝9+9－162×9＝8.（2020·全国Ⅲ卷）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6＋42 B.4＋42C.6＋23 D.4＋23解析：选C由三视图知该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC，其中PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AP＝2.故其表面积S＝12×2×2×3＋12×（22）2×sin60°9.（2020·全国Ⅲ卷）已知2tanθ－tanθ＋π4＝7，则tanθA.－2 B.－1C.1 D.2解析：选D由已知得2tanθ－tanθ+11－tanθ＝7，10.（2020·全国Ⅲ卷）若直线l与曲线y＝x和圆x2＋y2＝15都相切，则l的方程为（A.y＝2x＋1 B.y＝2x＋1C.y＝12x＋1 D.y＝12x解析：选D易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则｜b｜k2+1＝55①，设直线l与曲线y＝x的切点坐标为（x0，x0）（x0＞0），则y'｜x＝x0＝12x0－12＝k②，x0＝kx0＋b③，由②③可得b＝12x0，将b＝12x0，k＝12x0－12代入①11.（2020·全国Ⅲ卷）设双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4A.1 B.2C.4 D.8解析：选A法一设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，P为双曲线右支上一点，则S△PF1F2＝12mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又e＝ca＝5法二由题意得，S△PF1F2＝b2tan45°＝又c2a2＝5，c2＝b2＋a2，所以12.（2020·全国Ⅲ卷）已知55＜84，134＜85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）A.a＜b＜c B.b＜a＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b解析：选A因为45＝log8845，b＝log85，8455＝84＞55，所以845＞5，所以45＝log8845＞log85＝b，即b＜45.因为45＝log131345，c＝log138，13455＝134＜85，所以1345＜8，所以45＝log131345＜log138＝c，即c＞45.又2187＝37＜55＝3125，所以lg37＜lg55，所以7lg3＜5lg5，所以lg3lg5＜57，所以a＝lg3lg5＜57＜45，而二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（2020·全国Ⅲ卷）若x，y满足约束条件x＋y≥0，2x－y≥0，x解析：根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.结合图形可知，当直线y＝－32x＋z2过点A（1，2）时，z取得最大值，且zmax＝3×1＋2×2答案：714.（2020·全国Ⅲ卷）x2＋2x6的展开式中常数项是解析：x2＋2x6展开式的通项Tr＋1＝C6r（x2）6－r2xr＝C6r2rx12－3r，令12－3r＝0，答案：24015.（2020·全国Ⅲ卷）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为.解析：易知半径最大的球即为该圆锥的内切球.圆锥PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sin∠BPE＝ROP＝BEPB＝13，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝PB2－BE2＝32－12＝22，所以R＝22，答案：2316.（2020·全国Ⅲ卷）关于函数f（x）＝sinx＋1sinx①f（x）的图象关于y轴对称；②f（x）的图象关于原点对称；③f（x）的图象关于直线x＝π2对称④f（x）的最小值为2.其中所有真命题的序号是.解析：由题意知f（x）的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称.又f（－x）＝sin（－x）＋1sin(-x）＝－sinx＋1sinx＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，所以①为假命题，②为真命题.因为fπ2－x＝sinπ2－x＋1sinπ2－x＝cosx＋1cosx，fπ2＋x＝sinπ2＋x＋1sinπ2＋x＝cosx＋1cosx，所以fπ2＋答案：②③三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（本小题满分12分）（2020·全国Ⅲ卷）设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n.（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn.解：（1）a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1.由已知可得an＋1－（2n＋3）＝3[an－（2n＋1）]，an－（2n＋1）＝3[an－1－（2n－1）]，……a2－5＝3（a1－3）.因为a1＝3，所以an＝2n＋1.（2）由（1）得2nan＝（2n＋1）2n，所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋（2n＋1）×2n. ①从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋（2n＋1）×2n＋1. ②①－②得－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－（2n＋1）×2n＋1.所以Sn＝（2n－1）2n＋1＋2.18.（本小题满分12分）（2020·全国Ⅲ卷）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200]（200，400]（400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95％的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次＞400空气质量好空气质量不好附：K2＝n（P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1100（100×20＋300×35＋500×45）＝（3）根据所给数据，可得2×2列联表：人次≤400人次＞400空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得K2＝100×（33由于5.820＞3.841，故有95％的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.19.（本小题满分12分）（2020·全国Ⅲ卷）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.（1）证明：点C1在平面AEF内；（2）若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A-EF-A1的正弦值.解：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，如图，以C1为坐标原点，C1D1的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系C1（1）证明：连接C1F，则C1（0，0，0），A（a，b，c），Ea，F0，b，13C1F＝0，b，1因此EA∥C1F，即A，E，F，C1四点共面，所以点C1在平面AEF内.（2）由已知得A（2，1，3），E（2，0，2），F（0，1，1），A1（2，1，0），AE＝（0，－1，－1），AF＝（－2，0，－2），A1E＝（0，－1，2），A1F＝（－2，0设n1＝（x，y，z）为平面AEF的法向量，则n1·可取n1＝（－1，－1，1）.设n2为平面A1EF的法向量，则n2·A1E=0因为cos＜n1，n2＞＝n1·n2｜n1｜·｜n2｜＝－720.（本小题满分12分）（2020·全国Ⅲ卷）已知椭圆C：x225＋y2m2＝1（0＜m＜5）的离心率为154，A（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且｜BP｜＝｜BQ｜，BP⊥BQ，求△APQ的面积.解：（1）由题设可得25－m25＝154，得所以C的方程为x225＋y（2）设P（xP，yP），Q（6，yQ），根据对称性可设yQ＞0，由题意知yP＞0.由已知可得B（5，0），直线BP的方程为y＝－1yQ（x－所以｜BP｜＝yP1+yQ2，｜BQ｜因为｜BP｜＝｜BQ｜，所以yP＝1，将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.由直线BP的方程得yQ＝2或8.所以点P，Q的坐标分别为P1（3，1），Q1（6，2）；P2（－3，1），Q2（6，8）.｜P1Q1｜＝10，直线P1Q1的方程为y＝13x点A（－5，0）到直线P1Q1的距离为102故△AP1Q1的面积为12×102×10＝｜P2Q2｜＝130，直线P2Q2的方程为y＝79x＋10点A到直线P2Q2的距离为13026故△AP2Q2的面积为12×13026×130＝综上，△APQ的面积为5221.（本小题满分12分）（2020·全国Ⅲ卷）设函数f（x）＝x3＋bx＋c，曲线y＝f（x）在点12，f1（1）求b；（2）若f（x）有一个绝对值不大于1的零点，证明：f（x）所有零点的绝对值都不大于1.解：（1）f'（x）＝3x2＋b.依题意得f'12＝0，即34＋b故b＝－34（2）证明：由（1）知f（x）＝x3－34x＋c，f'（x）＝3x2－3令f'（x）＝0，解得x＝－12或x＝1f'（x）与f（x）的情况为：x－∞,-－1－11f'（x）＋0－0＋f（x）↗c＋1↘c－1↗因为f（1）＝f－12＝c＋14，所以当c＜－14时，f（x）因为f（－1）＝f12＝c－14，所以当c＞14时，f（x）只有小于－由题设可知－14≤c≤1当c＝－14时，f（x）只有两个零点－12当c＝14时，f（x）只有两个零点－1和1当－14＜c＜14时，f（x）有三个零点x1，x2，x3，且x1∈－1,-12，x2∈－综上，若f（x）有一个绝对值不大于1的零点，则f（x）所有零点的绝对值都不大于1.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）（2020·全国Ⅲ卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2－t－t2，y=2－3t＋t（1）求｜AB｜；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.解：（1）因为t≠1，由2－t－t2＝0得t＝－2，所以C与y轴的交点为（0，12）；由2－3t＋t2＝0得t＝2，所以C与x轴的交点为（－4，0）.故｜AB｜＝410.（2）由（1）可知，直线AB的直角坐标方程为x－4＋y12＝1，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得直线AB的极坐标方程为3ρcosθ－ρsinθ＋23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）（2020·全国Ⅲ卷）设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.（1）证明：ab＋bc＋ca＜0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥34证明：（1）由题设可知，a，b，c均不为零，所以ab＋bc＋ca＝12[（a＋b＋c）2－（a2＋b2＋c2＝－12（a2＋b2＋c2）＜（2）不妨设max{a，b，c}＝a，因为abc＝1，a＝－（b＋c），所以a＞0，b＜0，c＜0.由bc≤（b＋c）24，可得abc≤a所以max{a，b，c}≥34前沿热点——新高考数学考情分析2024年新高考真题（含考情分析）及高考最新动向实时更新请扫码获取纵观近年来新高考数学试题，试题贯彻落实了高考改革的总体要求，实施“德智体美劳”全面发展的教育方针，聚焦核心素养，突出关键能力考查，落实立德树人根本任务，充分发挥考试的引导作用.试题突出数学本质、重视理性思维、坚持素养导向、能力为重的命题原则.通过设计真实问题情境，体现数学的应用价值；稳步推进改革，科学把握必备知识与关键能力的关系，体现了对基础性、综合性、应用性和创新性的高考考查要求.一、突出主干知识、筑牢能力基础以2023年新高考Ⅰ、Ⅱ卷为例，对各试题所考查的主干知识分析如下：题型题号各试题所考查的知识点分布及考查角度2023年新高考Ⅰ卷2023年新高考Ⅱ卷单选题1集合的交集运算复数的乘法及几何意义2复数运算、共轭复数由集合间的关系求参数3向量垂直、数量积运算分层随机抽样、计数原理4由函数的单调性求参数由函数的奇偶性求参数5椭圆的离心率问题由直线与椭圆的位置关系求参数6圆的切线问题由函数的单调性求参数7等差数列充要条件的判定半角公式8三角函数中和、差、倍角公式的应用等比数列的概念、前n项和及性质多选题9样本数字特征圆锥的体积、侧面积和截面面积10以实际问题为背景考查对数大小比较直线与抛物线的位置关系、抛物线的概念及性质11抽象函数的函数性质函数的极值及应用12以正方体内嵌入某几何体考查对称性、空间位置关系独立事件的概率、二项分布模型填空题13计数原理向量的数量积、模14四棱台的体积四棱台的体积15三角函数中由零点个数求ω范围直线与圆的位置关系16双曲线几何性质、平面向量三角函数的图象与性质解答题17正弦定理、三角恒等变换正、余弦定理、三角恒等变换18线线平行的证明及由二面角求线段长度等差数列、数列的奇偶项问题19利用导数判断函数的单调性、证明不等式统计图表、概率统计与函数交汇问题20等差数列的概念、性质及前n项和空间线面位置关系、二面角的正弦值21概率与数列的交汇问题直线与双曲线的位置关系、定直线问题22以抛物线为背景，考查不等式及函数的最值以三角函数、对数函数为载体，考查导数的应用从上表可以看出，试题所考查知识范围及思想方法90％以上都源于教材主干知识，由此在一轮复习备考中更应重视必备知识的系统梳理、基本能力的逐点夯实.二、注重试题情境创设、牢记育人宗旨1.关注社会热点2023年新高考Ⅰ卷第10题以当今社会热点“噪声污染问题”为背景命制试题，目的是引导学生关注社会、关注民生，用所学知识解决生活实践情境下的实际问题.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgpp0，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压.声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（）A.p1≥p2 B.p2＞10p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p22.弘扬优秀传统文化2022年新高考Ⅱ卷第3题以中国古代建筑中的举架结构为背景命制出以等差数列为考查点的试题，此类试题不但能考查学生的阅读理解能力、直观想象能力及知识运用能力，而且还能以优秀传统文化精髓陶冶情操.（2022·新高考Ⅱ卷）图①是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图②是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，A.0.75 B.0.8C.0.85 D.0.93.展示现代科学技术水平2021年新高考Ⅱ卷第4题以我国航天事业的重要成果北斗三号全球卫星导航系统为试题情境命制立体几何问题，在考查学生的空间想象能力和阅读理解、数学建模等素养的同时，引导学生关注我国社会现实与经济、科技进步与发展，增强民族自豪感与自信心.（2021·新高考Ⅱ卷）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2（1－cosα）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（）A.26％ B.34％C.42％ D.50％4.体现数学应用价值2022年新高考Ⅰ卷第4题以我国的重大建设成就“南水北调”工程为背景命制出以四棱台体积公式为考查点的立体几何试题，体现了数学的应用价值.（2022·新高考Ⅰ卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（7≈2.65）（）A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3三、重视能力考查、使素养评价科学有据高中数学课程标准对培养学生能力的要求是数学“六大核心素养”的集中展示.要检验学生核心素养高低，必须通过解决数学问题来体现.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体素养评价本题为多选题，以正方体内嵌入其他几何体为背景考查学生不同的素养层级，由A、B、C、D四个选项设计的问题不同，对应解决问题所需核心素养也逐渐提升，本题真正体现了“入口容易全分难”的多选题考查特征.四、秉承创新、引导探究性学习新高考试卷中开放性试题的增设，促进了考查的灵活性，思维方式的多样性.同时引导了学生重视探究性学习，逐步培养学生创新思维的良好习惯.1.举例题（2023·新高考Ⅱ卷）已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值试题评析本类题目属于结论开放型，利用所学知识选择数学模型，使之满足题目所具有的结论可能不唯一，选其之一作为答案即可.2.结构不良题（2022·新高考Ⅱ卷）已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1