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文档简介

高等数学简明教程第4版第8章多元函数微积分到目前为止,已研究了一元函数的微积分学。但是在自然科学和工程技术的问题中,经常会遇到不只依赖于一个,而是依赖于两个或更多个自变量的函数,即多元函数。本章主要研究二元函数的微积分学问题,即主要介绍二元函数的极限、连续等基本概念以及二元函数的微积分及其应用。学习时,注意其与一元函数的联系与区别。

8.1多元函数的基本概念

它是矩形的内部(包括边界),如图8-1中阴影部分所示。图8-1图8-2

图8-3

图8-4包括全部边界的区域称为闭域,不包括边界的区域称为开域,部分包括边界的区域称为半开半闭区域。称用封闭的边界围成的区域为有界区域,反之称为无界区域。例如,例8-1中的函数定义域是有界闭域,例8-2中的函数定义域是半开半闭的有界区域,例8-3中的函数定义域是无界区域。

图8-5图8-6

图8-7图8-8

图8-9

图8-10

图8-11

图8-12

图8-13

8.3全微分

图8-14

8.4多元函数的极值和最值图8-15图8-16图8-17

图8-18

图8-19

图8-20

8.5.1

二重积分的概念与性质二重积分是定积分的推广.定积分是一元函数“和式”的极限,而二重积分同样是二元函数“和式”的极限,在本质上是相同的.下面从实际问题出发,引出二重积分的定义.8.5二重积分

图8-21

图8-22图8-23

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上例积分区域若视为x型域,用向上的箭头穿越区域,就可看出其不具有一致性,如图8-37b所示,需把区域分成两部分计算,这种情况计算量较大,读者可自己验证.计算二重积分时,恰当选择积分次序十分重要.它不仅涉及繁简的问题,而且涉及能否算出积分值的问题.图8-37

图8-38

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图8-45

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2.二元函数的极限、连续、偏导数存在、可微及偏导数连续几个概念之间的关系是易错提醒:与一元函数的“可导必连续”不同,多元函数在某点偏导数存在与其在该点是否连续没有关系(见下例).

图8-51

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图8-67课外学习71.在线学习网上课堂：走进数学建模（网页链接见对应配套电子课件）/learn/cumcm-1001674011?tid=1460496443#/learn/content?type=detail&id=1236711017&sm=12.阅读与写作（1）阅读本章“

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