已知A(4,1),B(5,2),求x轴上点P到A,B距离和最小值

已知A(4,1),B(5,2),求x轴上点P到A,B距离和最小值主要内容：本文通过解析几何直线性质、三角形三边关系以及导数法，介绍已知A(4,1),B(5,2)求x轴上点P有其到A,B距离和最小值的主要步骤。☀.对称分析法根据两点间直线距离最短，先找出其中1个点关于x轴对称点，再与另外一个点连成直线，则直线与x轴的交点即为所求的p点。☆.找关于A点对称步骤：A(4,1)B(5,2) xP(eq\f(13,3),0)A1(4,-1)此时A关于x轴的对称点为A1(4,-1)，此时直线A1B的斜率k1为：k1=eq\f(2-(-1),5-4)=3,则其直线方程为:y-2=3*(x-5).令y=0，代入求出x=eq\f(13,3),所以p(eq\f(13,3),0).☆.找关于B点对称步骤：A(4,1)B(5,2) xP(eq\f(13,3),0)B1(5,-2)此时B关于x轴的对称点为B1(5,-2)，此时直线B1A的斜率k2为：k2=eq\f(1-(-2),4-5)=-3,则其直线方程为:y-1=-3(x-4).令y=0，代入求出x=eq\f(13,3),所以p(eq\f(13,3),0).☀.三角形分析法已知A(4,1),B(5,2),求x轴上点P有其到A,B距离和最小，即问题转化为在三角形ABP中，已知边AB的长度c=eq\r(2)为定值，求三角形另外两边BP和AP长度和的最小值。 P(x,0) A(4,1)B(5,2)由于三角形的两边和大于第三边，即BP+AP>AB，可知当BP与AP的夹角越接近180°时，AP+PB的值最小,设p点坐标为P(x,0)，x∈(4,5),此时AP和PB的斜率绝对值相等。又Kap=eq\f(1,4-x)，kbp=eq\f(2,5-x)，所以：|eq\f(1,4-x)|=|eq\f(2,5-x)|，求出x=eq\f(13,3)，其中x=3(舍去)。☀.光线最短路径分析法思路：光线总是沿传播所耗时间最短路程传播。B(5,2)A(4,1) 90°-θθP(x,0)x所求点即为光线的入射角，光线从A点出发，在p点反射后，经过点B,设PB与x轴的倾斜角为θ，则光线的入射角=反射角=90°-θ，此时PA的与x轴的倾斜角为180°-θ，根据斜率关系有：tanθ=kbp=eq\f(2,5-x),tan(180°-θ)=Kap=eq\f(1,4-x),所以：2(4-x)=-1(5-x),即：x=eq\f(13,3)。☀.导数分析法设p的坐标为p(x,0),所求距离和为d，则：d=eq\r((x-4)2+12)+eq\r((x-5)2+22),是关于x的函数，对x求导有d'x=eq\f(x-4,eq\r((x-4)2+12))+eq\f(x-5,eq\r((x-5)2+22)),令d'x=0，则eq\f(x-4,eq\r((x-4)2+12))=-eq\f(x-5,eq\r((x-5)2+22)),(5-x)eq\r((x-4)2+12)=(x-4)eq\r((x-5)2+22),可知4<x<5,方程两边平方