2024年广东省深圳市宝安区中考数学备考冲刺题-专题二 空间与图形及解析答案

2024年中考宝安区数学备考冲刺题--精选专题二空间与图形1.如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC，点E是AC上的点且CE=2AE,延长BC至点F使BE=EF，连接FE并延长交AB于点H，AB=9，则CG的长为（7）5A.2B.3C.D.3442．如图，O是△ABC外接圆，O的半径为10，∠BAC=120°，D是BC中点，AD35，则△ABC的面积是（）A．153C．30D．1515ABCDO3．如图，BC为⊙O的直径，A为半圆弧BC中点，D为弧AC上一点，连接BD交AC于点E，连接CD，当⊙O的半径为10，CD=2时，线段DE的长为（A．0.5B．1C．2D．2）4．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5√2，点D为BC中点，以DC为斜边作Rt△DCE，使得∠DEC=90°，CE=3，DE交AC于点F，则AF=（）.20√275√232√213A．4B．C．D．5√2−第4题图第5题图5．如图，在等腰Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点．点F为AB边上一点，连接CF，过点D作DE⊥CF于点E，连接AE．AED135，延长AE交BC于点G．则AEEG的值是．6．如图，在△ABC中，D是BC上一点，BD=3CD，连接AD，E为AD上一点，连接BE、CD，若∠BED=∠BAC=2∠CED，则BE的值为_________．AE第6题图第7题图7.如图，线段AB与圆O相切于点A，连接OB与圆交于点C，将△ABC沿AC折叠得到△ACB’，其中AB’与OB交于点D，已知AD：DC=2:1且BD=4，则圆O的半径为______8.已知如图，△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，BC=92，以AC为斜边做等腰直角2三角形ADC，连接BD，则BD的长为_____。DABC第8题图第9题图9．如图，平行四边形ABCD中，AD=7，AB=2√5，tan∠ABC=2，E为AD上一点，且AE=2，连接CE，CF为∠ECB的角平分线，交AB于点F，连接EF，则EF=．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，点D是AC的中点，将△ABD沿AD折叠得到△AB’D，连接AE．若AB’⊥BC于点E，AC＝8，则CE的长为．AFBCDE第10题图第11题图11.已知△ACE中，∠C＝90°，B、D分别AC、CE边上的点，且AB=4，BC=2，DE=12，AD、BE交于点F，sin∠AFB=25，则CD=．512．如图，在△ABC中，AB=6，∠BAC=120︒，∠C=3∠B，点D是BC上一点，连接AD，将△ACD沿AD对折得到△AED，若DE//AB，则DF的长为▲.13．如图，已知ΔABC，线段AD//BC，连接CD交AB于E，若AD=5，CD=15，tan∠ACD=1，∠D=2∠B，则BC=3．14.等腰Rt△ABC中∠C=90°，点D为斜边AB中点，点E为线段AC上一点，且AE=5CE，将△ADE沿着DE翻折得到△A'DE,A'D和A'E分别交边BC于G、F，SS连接DF，求A'GF=.DGF15.如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，作CD⊥BD于点D，与⊙O交于点E.（1）请从以下条件中：①∠BCD＝2∠ABC；②∠BCD＝∠BAC；③BC平分∠ABD．选择一个能证明CD为⊙O切线的条件，并写出证明过程；（2）请连接CE，若AC=CE，sin∠ABC=3，⊙O的半径为5，求CD的长.516.如图，在⊙O中，弦AB与直径CD交于点H，E点在CD的延长线上，连接BE，有下列条件︵①A是CD的中点；②EB＝EH；③BE为⊙O的切线.（1）请从以上①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立，要求写出证明过程；（2）在（1）的前提下，连接AC，F为AC边的中点，连接HF，DE=2，sinBEH3，5求HF的长.17.如图1，第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，现有一研究小组受到赵爽弦图的启发，展开了图形的拓展研究.（1）如图2，在正方形ABCD中，点P为CD边上一点，作BE⊥AP于E，DF∥BE交AP于F，求证：EF=BE-DF；（2）如图3，将正方形ABCD改为边长为62的菱形ABCD，∠BAD=∠BEP=60°，DF∥BE，若EF=42，求AP的长；图1图2图3（3）（原创）如图4，平行四边形ABCD中，AD5，tan∠BAD=，点P射线4AB63CD上一点，点E在射线PA上且∠BEP=∠BAD，DF∥BE交直线AP于F，①当EF=2AE时，DP=▲；②若AD=5，则EF的最大值为▲.CP图4备用图18．E是四边形内部一点，且∠BEC=90°.（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，DFCE于F，求证△BEC≌△CFD；（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，DCBC34，EFEC，当FD平分∠ADC，求FC；FD（3）如图3，若四边形ABCD是菱形，AB=5，cos∠BAD=7，F是BC边上一点，25EF=65，BF关于EF对称的直线交DC于G，当EG平分∠DGF时，请直接写出5FG的长度.ADDCABFEEFBC图1图2DADABBCC图3备用图19.（1）如图1，在矩形ABCD中，AD=10,将AD沿DF折叠，A的对应点E恰好落在BC边上.若sin∠DEC=3，求BE.5(2)如图2，在矩形ABCD中，E为BC边上的一点，∠ADE=2∠BAE，sin∠DEC=817，BE=2，求AB.(3)如图3，在（2）的条件下，F是射线EA上的一点，且AF1AE，求CP.2PF(图1)（图2）（图3）（备用图）20.如图，在菱形ABCD中，E为边AD上的动点，以BE为边长在直线BE右侧作菱形BEGF，使得菱形BEGF始终与菱形ABCD相似.EG交直线CD于点H.【尝试初探】（1）如图1，延长AD、FG，交点为M，在E的运动过程中，∆ABE与∆GEM始终相似，请说明理由.【深入探究】（2）如图2，若∠ABC=60°，AB=12，连接DG，随着点E的运动，请判断CD与DG的夹角是否发生变化。如果不变，请你求出∠CDG的大小；如果变化，请说明理由.【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，当∆GCF为直角三角形时，试求出此时菱形BEGF与菱形ABCD相似的相似比.图2图1图321．（1）发现：如图1，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以AE为斜边作等腰直角三角形AEF，连接BF、AC．求证：AEC∽AFB．（2）探究：如图2，在矩形形ABCD中，E为CD边上一点，且AD=6，AB=8，以4AE为斜边作直角三角形AEF，且tanAEF=，点M是AB的中点，连接MF，求3MF的最小值．（3）拓展：如图3，在菱形ABCD中，AB＝6，∠D＝120°E和F分别为射线DCAED=1AEF或3和射线AB上一点，且AEF=30．当AEF时，求AF的长．2222.在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点E在直线AB上，点D在射线CB上，且ED＝EC，试确定线段AE与DB的大小关系．（1）特殊情况，探索结论：如图1，当点E在线段AB的中点时，直接写出线段AE与DB的数量关系（2）特例启发，解决问题：．如图2，当点E在线段AB的延长线上，线段AE与DB的数量关系是什么？请说明理由．（3）拓展结论，延伸应用：若直线DE交直线AC交于点F，若AE＝5，则EF的长为．图1图2备用图图323.【问题呈现】如图1，在正方形ABCD中，AB=6，点P是对角线AC上一点，且有PC=5AP，连接DP将射线PD绕点P顺时针旋转90°交射线CB于点F，求证：PD=PF。【类比探究】如图2，在正方形ABCD中，AB=6，点P是对角线AC上一点，且有PC=5AP，点E是线段CD上一动点，连接PE，将射线PE绕点P顺时针旋转90°交射线CB于点F，连接EF交AC于点Q，当点Q将线段PC分为2:3两部分时，求DE的长。【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点P是对角线AC上一点，且有PC=5AP，点E是线段CD上一动点，连接PE，将射线PE绕点P顺时针旋转60°交射线CB于点F，连接EF交AC于点Q，当AC将△EFC的面积分为1:2两部分时，DE的长=。24．同学们已经学习了《解直角三角形》的相关知识，掌握了利用锐角三角函数的定义来解决直角三角形的问题，还掌握了通过作高来解决斜三角形（即锐角三角形与钝角三角形）的问题以及相关的实际应用问题．下面请同学们利用这些学习经验，应用类比的方法来解决下面的新问题．定义：如图1，在△ABC中，AB＝AC，我们称它的腰与底的长度之比为顶角∠A的余对（csdA），记作csdA＝AB．BC（1）【探究发现】如图2，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E．①△AEC的形状为；②若△CDE恰为等边三角形，则csd∠ECA为．（2）【类比迁移】如图3，在正方形ABCD中，BC＝8cm，BE＝6cm，将纸片沿CE对折得到△B’CE，延长EB’与AD边交于点F，与CD边延长线交于点G，则DG=，△GCE是等腰三角形吗，若是，求出csd∠GCE的值；若不是，请说明理由．（3）【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点O为对角线的交点，在射线BA上有一动点E，将纸片沿CE对折得到△B’CE，边B’C与直线AD交于点F，连接OB’交边AD于点M，当△B’DF为等腰三角形时，此时B’M的值为．图2图3图1图4图4（备用图）2024年中考宝安区数学备考冲刺题--精选专题二空间与图形答案1.∵BE=EF，∴∠1=∠2，又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵∠AHE=∠ABC+∠2;∠AEB=∠ACB+∠2；∴∠AEB=∠AHE.∴△AHE∽△AEB,AHAEAEABAE2AHAB①∵四边形ABCD为平行四边形∴AB∥CD，∴∠AHE=∠CGE,∠HAE=∠GCE;△AHE∽△CGE,AHAECGCECE2AEAHAE1CGCE2AE1;3②AC21把②代入①得：322AC29又ABAC,CG2AB,又AB9,CG292.故答案选A992．153AEO的半径为10，∠BAC=120°，D是BC中点，构造直角△BDO，导BC、DO，此时发现△ADO三边已知可解，勾股定理算2次求ED，即△ABC的BC边上高.BDCO也可延长AD相似3.解：易证△ABE△△DCE，BC=210，AB=AC=25，ABDE255，CDAE设CD=x，则AE=5x，CE=255x，在Rt△DCE中，2xx=1，DE=1答案：B222(255x)2，4.答案：B5．证明：过点A作AI⊥AE交AE的延长线于I，连BI，过点A作AH⊥IE于H，∵∠AED＝135°，∠FED＝90°，∴∠AEI＝45°，由垂直得到∠IAE＝∠BAC＝90°，∵∠EAB+∠EAC＝90°，∠IAC+∠EAC＝90°∴∠EAB=∠IAC∵∠AEI＝45°，∠IAE＝90°，∴△IAE是等腰直角三角形，∴AI＝AE，∵AB＝AC，∠IAC＝∠EAB，∴△IAC≌△EAB（SAS），∴CI＝BE，∠AIC＝∠AEB＝135°，∵∠AIB＝45°，∴∠CIE＝∠DEB＝90°，∴DE∥BG，∴BDDE1∴△DEB∽△BIC，∴tan∠CBI＝，BCCE2∴2CI＝BI，即BE＝IE，∵AH⊥EI，AI＝AE，∴IH＝EH＝AH，即2AH＝EI＝BE，∴3AH＝BH，∵tanABFAFABHB13，∴AB＝3AF；AH过A作AM∥BC交BF的延长线于M，过C作CK⊥BM于K，∴∠CKF＝∠BAF＝90°，∵∠KFC＝∠AFB，∴△CKF∽△BAF，FKAFCKAB即AFFK1ABCK3∴设AF＝x，则CF＝2x，AC=AB＝3x，BFAB2AF210x，CK310x，FK5AM//BC105CEEK310x，x5AME∽GCE，AEME910x310EGBEx321056.解：如图，在ED上截取一点F，连接CF，使EF=CF，则△ABE∽△CAF，设EF=CF=1，AE=x，2SABEAESCAFCFSABESACECDBD3,SACEAEx，SABESABESACESACFAFx1SACFSACESACF=x2,则3x,x2x1131,BEAFx1131AECFx22∴7.易知：∠OAD+∠DAC=∠CAB+∠B∴∠OAD=∠B易证△OAD∽△OBA∴∠ADC=∠OAD=90°法一：由SADC:SABC=AD：AB=CD：CB可知：AD：CD=AB：CB，故设CD=x,AD=2x,则BC=4-x,AB=8-2x，勾股定理得：x=1.5，由△OAD∽△ABD可求OA法二：截取DF=DC，作FG⊥AC于G设CD=DF=x,AD=2x，可知：AF=AC=√5等积法可知：FG=4,故sin∠FAG=4=sin∠BAD55设AD=3m，则AB=5m，DB’=2m由∠OAD=∠B=∠B’知OA∥B’CDB'B'CCD23∴DAAODO由CD=x可知DO=1.5x,OA=2.5x,又B’C=4-x,故4x2.5x2，求得OA即可38.解法1：分别作DE,AF垂直BA、BC，∵∠EAC是△ABC的一个外角，故∠EAC=∠ABC+∠2E323D∵∠EAC=∠DAC+∠1，∠ABC=∠DAC=45°∴∠1=∠2。∵∠DEA=∠AFC=90°∴△DEA∽△AFCA13322∴AE=ED=AD,12B32FCFCAFAC232233172∴AE3,DE,BDBE2DE22解法2：如图构造一线三等角∠E=∠DCA=∠ABC=45°，并延长ED、BA交于点F,F则△DCE∽△CAB,相似比为1：2，∴3DCE322,DE9，EFBFBE6,A92223317∴BDBE2DE2BC322E2922解法3：如图，过点A作EF⊥BC,作DG⊥BC，作DE⊥EF,则易证△DEA≌△DGC,设EA=GC=x，则DExA12AF+FC=EF+FG,即322x3223322x3243172GxCB，BDBG2DG2F32232解法4：把△ABD绕点A顺时针旋转45°，再放大2倍。先求EC，再除以2倍可得BD.DAEF45°BC2059.5410.√10511.AC=6，DE=12，sin∠AFB=25，分析数字特征5DEAC=tan∠AFB，构造旋转90°的放大相似，进而得平行四边形转边．构图不唯一，也可构异侧一线三等角相似，再推理导边．AGFBCDE12.答案：6-2√6解法一：（凑二倍角+勾股定理）∵∠BAC=120︒，∠C=3∠B∴∠C=45︒，∠B=15︒∵△ACD沿AD对折得到△AED∴∠E=∠C=45︒，∠CAD=∠EAD，∵DE//AB∴∠FAB=∠E=45︒，过点F作FG⊥AB于G，在AB上取点H，使HF=HB则AG=FG，∠HFB=∠B=15︒，∴∠FHG=∠HFB+∠B=30︒，设AG=x,则FG=x，GH=√3,BH=FH=2x,则AB=x+√3+2x=3x+√3=6解得x=3-√3∴FG=3-√3，GB=(√3+2)x=3+√322在Rt△BFG中，BF=√2+GB2=√(3−√3)+(3+√3)=2√6∵∠BAC=120︒，∠FAB=45︒，∴∠CAE=120︒-45︒=75︒，∴∠CAD=∠EAD=37.5︒，∴∠DAB=82.5︒，又∵∠B=15︒，∴∠ADB=82.5︒=∠DAB，∴BD=BA=6∴DF=BD-BF=6-2√6解法二：（利用A型相似）由解法一可知∠FAB=∠E=∠C=45︒，∠B=15︒∠ADB=∠DAB=82.5︒，∴BD=BA=6过点F作FG⊥AB于G，过点A作AH⊥BC于H，设AG=x,则FG=x，AF=√2,在Rt△AFH中，∠AFH=∠FAB+∠B=60︒∴HF=1AF=√2,AH=√3HF=22在Rt△ACD中，∠C=45︒，√6∴CH=AH=2∵∠FAB=∠C,∠B=∠B,,AC=√2AH=√3,∴△ABF∽△CBA√2=√3√63∴=,即=6∴BF=2√6∴DF=BD-BF=6-2√6解法三：（利用X型相似）辅助线与解法二同，由解法二可知，设AG=x，可得AF=√2，AE=AC=√3,∴EF=AE-AF=√3−√2，由DE//AB，易证△DEF∽△BAF√3−√2√6−2=√22∴=,即=6−解得DF=6-2√6解法四：（构造30︒的直角三角形）过点B作BG⊥CA，交CA延长线于G,∵∠BAC=120︒，∠ACB=3∠ABC∴∠ACB=45︒，∠ABC=15︒∵∠G=90︒，∠C=45︒，∴∠CBG=45︒，∠ABG=30︒，∴AG=1AB=3，BG=3√3，BC=√2BG=3√6，2∵△ACD沿AD对折得到△AED120︒−45︒∴DE=DC，∠CAD=∠EAD==37.5︒，2∴∠DAB=82.5︒，又∵∠B=15︒，∴∠ADB=82.5︒=∠DAB，∴BD=BA=6∴DE=DC=3√6-6，由DE//AB，易证△DEF∽△BAF3√6−6√6−2=62∴=,即=6−解得DF=6-2√613.方法1：过点A作AF//CD交BC于F，∵AD∥BC，AF//CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF=AD=5AF=CD=15△AD//BC，作等腰△AFG，AG=AF则△F=△AGF=△D△△D=2△B△△B=△BAG△AG=BG=15，过点A作AM△CD于M,则设AM=x则CM=3x,DN=15-3xRt△ADM中，3xx42x25CM=3x=12，DM=3AM43tanFDM过点A作AN⊥BC于N，则tan∠F=43即∴AN=12,NG=NF=9GF=2NG=18∴GC=GF-CF=13∴BC=BG+CG=28方法二：在BC上取点F使得DF=CD，过点D作DH⊥BC于HDF交AB于G，∵DF=DC=15∴∠4=∠5∵AD//BC∴∠ADC=∠5∵∠ADC=2∠B∴∠4=∠5=2∠ADC=2∠B∴∠B=∠3∴BF=FG∵∠2=∠3∴∠1=∠2∴DG=DA=5∴FG=DF-DG=10∴BF=FG=10过点A作AM△CD于M,则设AM=x则CM=3x,DN=15-3xRt△ADM中，3xx42x25CM=3x=12，DM=3AM43tan∠ADCDMDH43tan∠5=tan∠ADCCH,CD=15∴FH=CH=9,CF=2CH=18∴BC=BF+CF=2814.解析：法1思路：连接CD、A'C，翻折可得∠A=∠EA'D=∠BCD=45°，CD=AD=A'D，则∠DA'C=∠DCA'，则∠FA'C=∠FCA'，则A'F=CF，不妨设CE=1，则AE=A'E=5，设A'F=CF=a，则EF=5-a，对△CEF用勾股定理可得：A'F=CF=125，则EF=135，过A'作A'M⊥BC于点M，则△A'MF∽△ECF，EF13，A'M12A'MA'F12CE13，过D作DN⊥BC于点N，则DN=12AC3，12∴SA'GA'M134.313A'GFSDGFDGDN法2思路：连接A'A和A'B，则由翻折的性质可得DE⊥A'A，A'D=AD=BD，则A'B⊥A'A，DE//A'B，延长DE、BC交于点H，则△A'BG∽△DHG，则SA'GFA'GA'B，GHDHSDGF不妨设CE=1，则AE=5，作DP⊥AC于点P，解△DEA可得：EP=2，DP=3，DE=13，则HE=13，DH=313，22等面积法可得A'A=2×533013，1313则勾股定理可求A'B=613，13则SA'GFA'B64.2SDGFDH1331315.解：（1）我选择添加的条件是②，如图，连接CO，∵AB为△O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠2=90°，∵OC=OB，∴∠1=∠2，又∵△BCD＝△BAC，∴∠OCD=△BCD+∠1=△BAC+∠2=90°，∴CO⊥CD，又有OC为△O的半径，∴CD为△O切线.选择添加的条件也可以是③，如图，连接CO，∵OC=OB，∴∠1=∠2，∵BC平分△ABD，∴∠2=△CBD，∴∠1=△CBD，∴CO//BD，∵CD⊥BD，∴∠OCD=180°-∠D=180°-90°=90°，∴CO⊥CD，又有OC为△O的半径，∴CD为△O切线.（2）法1：△△O的半径为5，△AB=2×5=10，△AC=CE，AC=CE，△△ABC=△CBD，ACCD3=，BC5△sin△ABC=AB=△AC=53AB310=6，5△BC=AB2AC28，△CD3BC38=24.555法2：∵四边形ABEC内接于△O中，∴∠A+∠CEB=180°，又∵∠CED+∠CEB=180°，∴∠A=∠CED，∵CD⊥BD，∠ACB=90°∴∠A+∠ABC=∠CED+∠DCE=90°，∴∠DCE=∠ABC，△sin△DCE=sin△ABC=ACABDE=3，=CE5△AC=53AB310=6，5△CE=AC=6，△DE=53CE36=518，524.5△CD=CE2DE216.（1）答案1：选择条件①②，证明③证明：如图1，连接OB、OA︵︵︵∵A是CD的中点，∴AD=AC∴∠DOA=∠COA=12DOC1180902即∠AHO+∠2=90°∵EB＝EH∴∠4=∠1又∵∠AHO=∠1∴∠AHO=∠4∵∠AHO+∠2=90°∴∠4+∠2=90°∵OB=OA∴∠2=∠3图1∴∠OBE=∠3+∠4=∠2+∠4=90°∵OB是⊙O的半径∴BE为⊙O的切线.答案2：选择条件①③，证明②证明：如图1，连接OB、OA︵︵︵∵A是CD的中点，∴AD=AC∴∠DOA=∠COA=12DOC1180902即∠AHO+∠2=90°又∵∠AHO=∠1∴∠1+∠2=90°∵BE为⊙O的切线.∴∠3+∠4=90°∵OB=OA∴∠2=∠3∴∠2+∠4=90°又∴∠1+∠2=90°∴∠1=∠4∴EB＝EH答案3：选择条件②③，证明①证明：如图2，连接OB、OA∵BE为⊙O的切线.∴∠3+∠4=90°∵EB＝EH∴∠4=∠1∵∠AHO=∠1∴∠4=∠AHO又∵OB=OA图2∴∠3=∠2…………1分∵∠3+∠4=90°∴∠AHO+∠2=90∴∠AOD=∠AOC=90°︵︵∴AD=AC︵∴A是CD的中点（2）方法一：解：如图3，过F点作FG⊥CH交于点G由（1）得BE为⊙O的切线∴∠OBE=90°，设⊙O半径OB=OD=r,∵DE=2在RtEBO中，sinBEHOOEBr25r3r3,即OCOBODr3直径CD2r6∴OE=DE+OD=2+3=5图3在Rt△OBE中，由勾股定理得：EBOEOB5342222∵EB＝EH∴EH=EB=4，HOOEEH541∴HC=HO+OC=1+3=4由（1）可证得∠AOC=90°,∵OA=OC∴∠ACO=45°连接AD,∵CD是直径，∴∠DAC=90°∴ACCDsin4562232AC32∵F为AC边的中点，∴FC22332∴FGFCsin45，CGFG2∴HGHCCG453223(52)342∴由勾股定理得HFFG2HG2()222方法二：如图4，在方法一探究出HO=1基础上连接OF，关注到OF是△ACD的中位线，∠FOC=∠ADC=45°∴OF1AC32，通过OF求出FG，再用勾股定理求出HF（在△FHO中22利用SAS解三角形勾股定理求HF）图417.解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，又∵BE△AP，DF△BE，∴∠AEB=∠AFD=90°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∴△AEB≌△DFA，∴AE=DF，BE=AF，∴BE-DF=AF-AE=EF，即EF=BE-DF.（2）在AP上取一点H，使△DHF=△BAD=△BEP=60°，△△3+△4=△4+△5=60°，△HDF=60°，△AEB=△DHA=180°-60°=120°，△△3=△5，△DHF为等边三角形，△DH=DF=HF，在菱形ABCD中，AB=AD，AB//DP，△△AEB△△DHA，△ADP=180°-△BAD=120°，△AE=DH=HF，BE=AH，△AH=AE+EH=HF+EH=EF=42，△△DHA=△ADP=120°，△3=△3，△△ADH△△APD，ADAPAHAD，则AP=AD2=(62)292.42△AH（3）①25或25；479725②.4思路：类似（2），在AP上取一点H，使△DHF=△BAD=△BEP，可证△AEB△△DHA，则AEABBE6，DHADAH5△DHF为等腰三角形，构三线合一，GDFG，43则可设DG=4a，HG=GF=3a，DH=DF=5a，则HF=6a，AE=56DH6a，则HF=AE，则AH=EF.①当EF=2AE时，则AH=EF=12a，EH=6a，由△AEB△△DHA，BEBE6，则BE=a，72AH12a55DPDF可证△AEB△△PFD，则ABBE25，72当P在线段CD上时，则CDPP2525，722547当P在CD延长线上时，则CDPP2525.722597②由AH=EF，可将EF的最值问题转化为AH的最值问题（两动转化为一动）.∵AD=5，4当P在线段CD上时，tan（180°-∠DHA）=，34当P在CD延长线上时，tan∠DHA=，34过D作DM⊥AD，取tan∠AMD=，3则点H的轨迹为以AM的中点O为圆心，1AM长为半径的圆，2∵tan∠AMD=DMAD5=4，则DM=，AM=15254，DM3425254∴AH≤AM=，∴EF的最大值为.418．(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD=90°，BC=CD∵∠DFC=90°ADF∴∠BCE+∠DCE=∠FDC+∠DCE∴∠BCE=∠FDCE∵∠BEC=∠DFC=90°∴△BEC≌△CFD；(2)∵四边形ABCD是矩形∴∠BCD=90°BCDA∵∠DGC=90°GH∴∠BCE+∠DCE=∠GDC+∠DCE∴∠BCE=∠GDCEF∵∠BEC=∠DGC=90°∴△BEC∽△CGDBC∴GDDCECBC34DAGH∵∠BEG=∠DGC=90°，∠FHE=∠GHD∴△DGH∽△FEHEFBC∴DHGD3FHFE4∵∠FCH=∠FDC=90°，∠DFC=∠HFC∴△FHC∽△FCDDCAB∴FCFHFDFCEF设HD3x，FH4x，则FC27x∴FC27FD7G也可导角∠BFG=∠FCG，再相似勾股定理（3）12或125EG平分∠DGF，导E是菱形对角线交点F在EH右侧，导BE=BF，发现GF//BD，进而相似。或导EBCFEG901BCG，再相似2F在EH左侧，导EBCFEG1BCG，发现△BFE∽△EFG2DAEDAEBCGHFBCHFG19.(1)解：∵折叠∴AD=DE=10∵在矩形ABCD中∴∠C=90,AD=BC=100∵sin∠DEC=35∴DCDC3,即DC6DE105在Rt△DEC中，EC10∴BE=BC－EC=22628(2)解：设∠BAE=ɑ，则∠ADE=2ɑ∵在矩形ABCD中∴∠BAD=900∴∠DAE=900－ɑ由三角形内角和180∴∠DEA=∠DAE∴DA=DE00得∠DEA=90－ɑ∵sin∠DEC=817∴DC8DE17设CD=8k，则DE=17k=DA在Rt△DEC中，EC(17k)(8k)15k22∵AD=BC∴17k=2+15k,k=1∵在矩形ABCD中∴AB=CD=8k=8(3)解：①点F在线段EA上时延长CF，DA交于点G.∵在矩形ABCD中∴AB∥CD∴∠G=∠GCB,∠GAF=∠CEA∵AF1AE2∴AF=FE∴△GAF≌△CEA∴AG=CE=15,GD=32∵AB∥CD∴∠G=∠GCB,∠GDP=∠EPC∴△GDP~△CEPGDGPECPC3215设GP=32k，则PC=15k，GC=47k∵△GAF≌△CEA∴CF=FG=23.5k，PF=PG-FG=8.5kCP15k∴PF8.5k3017②点F在射线EA上时∵AB∥CD∴∠FGA=∠GCB,∠GAF=∠CEA∴△GAF∽△CEAFAAGFEEC1AG315∴AG=5，GD=12∵AB∥CD∴∠DGP=∠GCB,∠GDP=∠PEC∴△GDP~△CEPGDGP12ECPC1545设GP=4k，则PC=5k，PC=9k∵△GAF∽△CEAFGAG5FCEC15FG4.5k1FG9KFG3CP5kPF9.5k1019CP30或综上所述：PF17101920.解：（1）△菱形ABCD△菱形BEGF△△A=△BEG△△BEM是∆ABE的外角△△BEG+△GEM=△A+△ABE△△GEM=△ABE△BE△FM△△BEA=△GME△∆ABE△∆GEM（2）连接BD、BG△在菱形ABCD中，△ABC=60°△△ABD=1△ABC=30°△A=120°2同理，在菱形BEGF中，△EBG=30°△△ABD-△EBD=△EBG-△EBD，即△ABE=△DBG△菱形ABCD△菱形BEGF√3=3△=△∆ABE△∆DBG△△A=△BDG=120°△△BDC=30°△△CDG=△BDG-△BDC=120°-30°=90°（1）分类讨论：连接CG、CF△当△GCF=90°时：易证∆ABE△∆CBF，△△A=△BCF=120°△△BCD=120°，△△DCG=060°-△BCF-△BCD-△GCF=30°√3=3△在Rt∆DCG中，tan△DCG=√3√3△DG=CD=×12=4√3，CG=2DG=8√333√3由（2）知∆ABE△∆DBG且相似比为，3√3=3△√3√33△AE=DG=×4√3=43△∆ABE△∆CBF，△AE=CF=4△FG=√2+2=4√13△此时菱形BEGF与菱形ABCD相似的相似比为FG：AB=4√13：12=√13：3△当△CFG=90°时△△BEG=△BFG=120°△△AEB=△CFB=120°-90°=30°此时E与D重合，△BE=√3AB=12√3△此时菱形BEGF与菱形ABCD相似的相似比为BE：AB=12√3：12=√3：121.（1）在正方形ABCD中，AB=BC，ABC90△ABC是等腰直角三角形，CAB45△AEF是等腰直角三角形△AEF∽ACB,且EAF45AEAF△ACAB△EAFCAFCABCAF即EACFABAEACAFAB又△△AEC∽AFB（2）如图，连接AC、BF在正方形ABCD中，BCAD6，DCAB8，ABC=90△tanACBBACB8436△tanAEF=43△ACBAEF△ABC=AF