第16讲-指对混合问题(解析版)

加QQ309000116进百度群内容2000G分成20多类自动更新永久服务第16讲指对混合问题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2021秋•龙凤区校级月考）已知，不等式对于任意恒成立，则的取值范围是A．， B．， C． D．，【解答】解：不等式对于任意恒成立，则①对于任意恒成立，令，则在时恒成立，因为在恒成立，故在上单调递增，而，故①式即为在上恒成立，即②在上恒成立，令，，令得，当，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故（e），要使②式成立，只需，即．故选：．2．（2021秋•江西月考）对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围为A． B．， C．， D．，【解答】解：因为对任意，，不等式恒成立，所以对任意，，不等式恒成立，令，，，，，，令，，，，在，上单调递增，所以且，当时，，所以存在，，，即，所以，所以在，上，，单调递减，在，上，，单调递增，所以的最小值为，，，所以单调递增，所以，所以，所以在，上，，单调递增，所以，所以，故选：．3．（2021秋•鼓楼区校级月考）已知对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：由题意，当等式对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，令，则有对恒成立，又，令，则，当时，，故单调递增，所以（1），即，故在上单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，令，则，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以的最小值为（e），则，所以正数的取值范围是．故选：．4．（2021春•东至县校级期中）若对任意，不等式恒成立，则的范围是A． B．， C．， D．【解答】解：由题意可得：，，由可得，即，令，可得，由可得，由可得，如图：可得在单调递增，若，则，可得，令，只需要，对于恒成立，所以在单调递减，所以，所以，实数的范围为，，故选：．5．（2021•苏州模拟）已知函数，，函数，若，对恒成立，则实数的取值范围为A．， B．， C． D．【解答】解：，对恒成立，即，化为：，令，，，，可得时，函数取得极小值即最小值，（1），恒成立，函数在上单调递增，而，，，即，令，，，可得时，函数取得极大值即最大值．．故选：．6．（2021•九江二模）若不等式恒成立，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解答】解：不等式恒成立，令，则原不等式等价于恒成立．在上单调递增，，令，则，可得：时函数取得极小值，即最小值．（1）．，令，．．（e），时，，在上单调递增；时，，在上单调递减．（e）．实数的取值范围是，．故选：．7．（2021•四川模拟）若，则的最大值为A． B． C． D．【解答】解：因为，，，所以，即，令，则，所以在上单调递增，由，可得，，则恒成立，所以，令，，令，得，当，，单调递减，在，，单调递增，所以（1），所以，解得，所以的最大值为．故选：．8．（2021•遵义一模），不等式恒成立，则的最大值为A． B．0 C． D．【解答】解：原不等式可化为，构造，，令，可得，时，，时，，所以是函数的最小值，所以，当且仅当时等号成立，有零点，所以．故选：．9．（2021•湖北模拟）已知函数，若，时，恒成立，则实数的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：令，，，则恒成立，，令，若，在，时，，则，此时函数单调递减，则（1），不符合题意；若，，令，解得，①当，即时，在，时，，单调递增，即（1），则，即在，单调递增，则（1）恒成立，符合题意；②当，即时，在，时，单调递减，在，，单调递增，（1），则，时，，，令，得，函数中，，在上单调递减，则的值域为，因为，所以存在解，即，，故，时，，，时，，即，只需即可，则，解得，故符合题意．综上，当时，不等式恒成立．故选：．10．（2021春•淇滨区校级月考）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：由题意，若显然不是恒大于零，故．（由4个选项也是显然，可得，则显然在，上恒成立；当时，，令，，在上单调递增．因为，，所以，即，再设，令，则，易得在上单调递增，在上单调递减，所以，故，所以的取值范围为．故选：．11．（2021•浙江模拟）已知函数，若，时，不等式恒成立，则实数的取值范围为A．， B．， C．， D．，【解答】解：由，且恒成立，得恒成立，即在，上恒成立．令，则．令，则，则在，上单调递减，（3），（4），存在，使得，即，，当时，，即，单调递增；当，时，，即，单调递减．，又，，则，即．．，即实数的取值范围为，．故选：．12．（2020•珠海三模）设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是A． B．， C． D．，【解答】解：求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，令，在递减，在递增，显然在取得最小值，作的图象，并作的图象，注意到，，（原定义域，这里为方便讨论，考虑，当时，直线与只有一个交点即只有一个零点（该零点值大于；当时在两侧附近同号，不是极值点；当时函数有两个不同零点（其中一个零点等于，但此时在两侧附近同号，使得不是极值点不合．故选：．二．多选题（共3小题）13．（2021•沈河区校级开学）已知函数，，则A．函数在上无极值点 B．函数在上不存在极值点 C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值 D．若，则的最大值为【解答】解：对于，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故，故在递增，故函数在上无极值点，故正确；对于，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故（1），故在递增，函数在上无极值点，故正确；对于：由得：在递增，不等式恒成立，则恒成立，故，设，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），故，故正确；对于：若，则，，，，且，时，，设，设，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），此时，故的最大值是，故正确；故选：．14．（2021•黄州区校级模拟）已知函数，的图象与直线分别交于、两点，则A． B．，曲线在处的切线总与曲线在处的切线相交 C．的最小值为1 D．，使得曲线在点处的切线也是曲线的切线【解答】解：对于，恒成立，要使函数与有交点，则，即正确；对于，设，的横坐标分别为，，取，此时，，，，，，，（1），此时曲线在处的切线与曲线在处的切线斜率相等，两条切线不相交，即错误；对于，，设，，则在上单调递增，（1），当时，，单调递减；当时，，单调递增，（1），的最小值为1，即选项正确；对于，函数在处的切线方程为，若此切线也是的切线，设切点为，，则，消去，得，设，，，（2），至少有两个零点，有解，故的值存在，且大于0，即选项正确．故选：．15．（2021•重庆模拟）函数为常数）的图象可能是A． B． C． D．【解答】解：令，解得，即函数有且只有一个零点，故不可能，，令，则，令，则，即函数在，上单调递增，令，则，即函数在上单调递减，当时，取得最小值，为，即，，且时，，时，，故当时，，单调递增，选项可能，当时，存在两个零点，，且，在和，上单调递增，在，上单调递减，选项可能，当时，存在唯一零点，且，在上单调递增，在，上单调递减，选项可能，故选：．三．填空题（共8小题）16．（2021秋•资中县校级月考）已知，若不等式（2）对，恒成立，则实数的取值范围是．【解答】解：函数，，因为，所以为上的偶函数，又因为，，所以，在上单调递增，又，所以时，，所以在区间，单调递增，不等式（2），由偶函数性质可得（2），即（2），由函数的单调性可得，所以，所以，，恒成立，令，则，当，时，，在，上单调递增，当，时，，在，上单调递减，所以当时，取极大值，即为的最大值，；令，，因为，，所以，故，所以在区间，单调递减，所以在处取最小值，，所以，所以的取值范围为．故答案为：．17．（2021春•浙江期中）设函数有两个不同极值点，，则的取值范围是，若，则的取值范围是．【解答】解：函数，则，因为有两个不同极值点，，则当时，有两个不相等的实数根，，所以，解得，故的取值范围是；因为，所以，，所以，令，故，则，所以，则在上单调递增，所以，又当时，，所以，即，所以的取值范围是．故答案为：；．18．（2021春•江西期中）若对任意，恒有为自然对数的底数），则实数的最小值为1．【解答】解：因为对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以（1），故函数在上单调递增，因为对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故（e），则，所以实数的最小值为1．故答案为：1．19．（2021•沙坪坝区校级开学）已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围是，．【解答】解：函数的定义域是，．函数有唯一极值点，则是函数的唯一一个极值点．是导函数的唯一根．在无变号零点，令，，①时，恒成立．在时单调递增的的最小值为，无解，符合题意．②时，有解为：，时，，单调递减时，，单调递增的最小值为，由和图象，它们切于，综上所述，．故答案为：，．20．（2021春•南阳期末）若，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是．【解答】解：设，求导可得，在单调递增，，，，，，，，，，，又在单调递增，，即，，，设，，求导可得，令，解得，，解得，在单调递增，在单调递减，在取得极小值点，也为的最小值点，（e），即，可得则实数的取值范围是．故答案为：．21．（2021春•莱州市期末）已知函数，，若，则的最大值是．【解答】解：设，则，，所以；构造函数，；又因为，所以在上单调递减，所以当时，；当时，；所以在上单调递增，在单调递减，最大值为（2）；故答案为：．22．（2021春•上高县校级月考）已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为．【解答】解：函数的定义域为，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又（1），所以时，；时，；时，，同时注意到，所以若存在，，使得成立，则且，所以，所以，所以构造函数，而，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即．故答案为：．23．（2021•茂名模拟）已知，，，若恒成立，则实数的取值范围是，．【解答】解：恒成立恒成立恒成立，令，则，再令，则恒成立，在上单调递增，又（1）（1），当时，，即，在上单调递减；当时，，即，在上单调递增；（1），，解得：，故答案为：，．四．解答题（共11小题）24．（2021秋•南明区校级月考）已知函数，（其中为自然对数的底数，为常数）．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当函数有极大值，且极大值为时，恒成立．【解答】解：（1），，当时，，单调递减；当时，令得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，综上，当时，在上单调递减；当时，在单调递增，在单调递减；（2）证明：由（1）知，当时，取得极大值，函数的极大值为，，．令，要证明恒成立，只需．在上为减函数，且，（1），，，使得，即，①恒成立（当且仅当时取等号），②由①②得，，，（理由是：在上为增函数），即，故结论成立．25．（2021秋•金安区校级月考）已知函数（其中，为自然对数的底数）．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，，求的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，，当时，由得，，，①若，即时，恒成立，故在上单调递增；②若，即时，易得在和上单调递增，在上单调道减；③若，即时，易得在和上单调递增，在上单调递减；综上：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减．（2）由题意知，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，则，令，则在上显然单调递减，又（1），（e），故在上有唯一的实根，不妨设该实根为，则为的极大值点，故，又，代入上式得，故的取值范围为．26．（2021秋•巴中月考）已知，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）因为，则，①当时，恒成立，所以函数在上单调递增；②当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）当且时，恒成立，即对于恒成立，等价于对于恒成立，令，则问题转化为对于恒成立，因为对于恒成立，所以在上单调递增，则对于恒成立，等价于对于恒成立，故对于恒成立，令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取得最大值（1），则，所以的取值范围为．27．（2021秋•湖北月考）（1）已知函数，求证：；（2）若函数在，上为减函数，求实数的取值范围．【解答】解：（1）证明：．（1分）因为，所以，，所以，所以在，上为减函数，（3分）于是（1），（e），故．（4分）（2）解：设，则，从而在，上为增函数，由，得（1）（e），即．（5分）当时，，则，从而，因为函数在，上为减函数，所以，即对，恒成立，即对，恒成立，根据（1），，所以，再结合，此时，．（7分）当时，，则，从而，因为函数在，上为减函数，所以，即对，恒成立，即对，恒成立，根据（1），，所以．再结合，此时．（9分）当时，则存在唯一的，使得，从而．当，时，，即存在，，且，使得，这与“在，上为减函数”矛盾，此时不合题意．（11分）综上，实数的取值范围是，，．（12分）28．（2021秋•重庆月考）已知函数有三个不同的极值点，，，且．（1）求实数的取值范围；（2）若，求的最大值．【解答】解：（1），，由题意，，则或，所以有两个等于1的正实根，令，则，即当时，，单调递减；当时，，单调递增，因为（1），，，所以，的取值范围为；（2）由题意可知，有三个极值点，，所以可转化为，由单调性可知，随着的增大，逐渐减小，而逐渐增大，令，当取最大，取最小值时，取最大值，所以，所以，则，所以，令，则，令，，当，，单调递增，（1），所以，所以，，单调递增，因为（3），所以，所以的最大值为3．29．（2021秋•龙岩月考）已知函数且为常数）．（Ⅰ）讨论函数的极值点个数；（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设知：的定义域为，，令，在上恒成立，函数在上单调递增，且值域为，①当时，在上恒成立，即，故在上单调递增，无极值点；②当时，方程有唯一解为，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，是函数的极小值点，没有极大值点．综上，当时，无极值点，当时，函数只有1个极值点；（Ⅱ）不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成立，对任意的恒成立记，则，记，则，易知在上恒成立，在上单调递增，且，（1），存在，使得，且当时，即，函数在上单调递减；当，时，即，故在，上单调递增，，即，又，故，即，即，由（Ⅰ）知函数在上单调递增，，，．综上，实数的取值范围是，．30．（2021春•浦城县期中）已知函数，，．（1）写出函数在，的零点个数，并证明；（2）当时，函数有零点，记的最大值为，证明：．【解答】（1）解：在，上有唯一零点．证明如下：由，得，，，在，上单调递减，又（1），在，上恒成立，则在，上单调递减，（2），（e），函数在，上有唯一零点；（2）证明：令，得，，由（1）可知，在，上有唯一零点，且在，上单调递增，在，上单调递减，的最大值．下面再证明．一方面（2）；另一方面，要证，即证，又，则只需证明，记，则，由（1）可知在上恒成立，在上单调递减，即（2）．综上所述，．31．（2021春•东城区校级期中）已知函数，其中为常数．（1）当时，求的最大值；（2）若在区间，上的最大值为，求的值；（3）求证：．【解答】（1）解：函数的定义域为，当时，，则，令，解得，当时，，当时，，所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，故当时，取得最大值（1），所以当时，求的最大值为；（2）解：函数，则，，，，①若，则，所以在，上单调递增，故（e），不符合题意；②若，令，可得，结合，，解得；令，可得，结合，，解得，所以在上为单调递增函数，在，上为单调递减函数，则，令，可得，解得，因为，所以符合题意，故的值为；（3）证明：函数，，要证，即证，令，则，所以恒成