教学课件-电磁场与电磁波(曹祥玉)

第1章矢量分析及场论1.1矢量分析

1.2正交曲面坐标系

1.3场论基础

1.1矢量分析

1.1.1矢量和标量

1．标量标量：只有大小没有方向的量，如温度、时间、质量等。

图1-1矢量A图示

2．矢量矢量：既有大小又有方向的量。矢量可以形象地用一条有向线段表示，线段的长度表示矢量的模，其方向代表矢量的方向，如图1-1所示，矢量A可表示为

A=eAA

（1-1）其中，A表示矢量A的模，即

（1-2a）

eA表示矢量A的单位矢量，沿矢量A方向且大小为1的无量纲矢量，即

（1-2b）

3．空间位置矢量与距离矢量

空间位置矢量（positionvector）：简称位矢，用r表示。如图1-2所示，空间位置矢量指从坐标原点出发向空间任意点P(x,y,z)引出的有向线段，可以用三坐标投影唯一地表示为

（1-3）距离矢量：在电磁场理论中，通常用r表示场点P(x,y,z)的位置矢量，用r′表示源点P′(x′,y′,z′)的位置矢量，用R表示从源点P′出发引向场点P的距离矢量，即（1-4）

R的模为

R的方向为

（1-5a）

（1-5b）

图1-2空间位置矢量和距离矢量

1.1.2矢量运算

1．矢量的加法和减法矢量的加、减运算遵循四边形法则，即两个不在同一直线上的矢量决定一个平面，它们的和是同一平面上的另一矢量。

1）矢量加法

【例1-1】已知矢量A、B，求C=A+B。

解可以使用作图法得到C=A+B。（1）平行四边形法：从坐标系中同一点画出矢量A和矢量B，构成一个平行四边形，其对角线就是和矢量C，如图1-3(a)所示。

（2）首尾相接法：矢量A的头接于矢量B的尾，从A的首端画到B的尾端，所得矢量就是它们的和矢量C，如图1-3(b)所示。

图1-3矢量加法(a)平行四边形法；（b）首尾相接法

2）矢量减法借助于矢量加法运算，矢量减法可以写成

A-B=A+（-B）

（1-6）

-B为矢量B的负值，即-B的模与B相等，但方向相反。令D=A-B，采用如图1-4所示的作图法，表示从矢量A中减去矢量B。

图1-4矢量减法

3）矢量加法的代数表示矢量加法可以用代数表示为

A+B=(Ax+Bx)ex+(Ay+By)ey+(Az+Bz)ez

（1-7）

4）矢量加法的特性矢量加法满足交换律和结合律，即

A+B=B+AA+(B+C)=(A+B)+C（1-8a）

（1-8b）

2．矢量的乘法矢量乘法分为以下三种情况：（1）矢量乘以标量：B=kA。如图1-5所示，B=kA，B的方向根据k的取值而不同，若k>0，则B与A同向；若k<0，则B与A反向。在直角坐标系下

B=kA=k(Axex+Ayey+Azez)图1-5常数与矢量乘积示意图（2）矢量点乘:C=A·B。定义：矢量点乘等于两矢量的模值与它们之间较小夹角的余弦乘积，即A·B=|A||B|cosθ

（1-10）如图1-6所示，矢量点乘的结果是一标量，也称为标量积(scalarproduct)或矢量点积(dotproduct

)。

图1-6矢量点乘示意图

在直角坐标系下

A·B=(exAx+eyAy+ezAz)·(exBx+eyBy+ezBz)

=AxBx+AyBy+AzBz

（1-11）

矢量点乘满足交换律和分配律，即

A·B=B·AA·（B+C）=A·B+A·C

（1-12a）

（1-12b）

（3）矢量叉乘：C=A×B。定义：矢量叉乘的方向垂直于包含A、B所在的平面，其值等于A、B两矢量的大小与它们之间较小夹角的正弦之积（即两矢量所组成平行四边形的面积），即A×B=enABsinθ

（1-13）

叉乘的模C=ABsinθ，叉积的方向en是A、B所在平面的法向，如图1-7（a）所示。叉积的方向也可以用右手螺旋法则确定：右手四指从A到B旋转θ角，大拇指所指方向表示矢量叉乘的方向，如图1-7（b）所示。

图1-7决定叉积C=A×B方向的法则（a）叉积方向示意图；（b）右手螺旋法则

矢量叉乘结果为一矢量，又称为矢量积（vectorproduct）。矢量叉乘可以采用行列式计算。在直角坐标系下：

矢量叉乘满足分配律，即

A×(B+C)=A×B+A×C

（1-14）

（1-15）

矢量叉乘不满足交换律和结合律，即

A×B=-B×A≠B×AA×(B×C)≠(A×B)×C

【例1-2】用矢量证明三角形正弦定理。

证明如图1-8所示，三角形三边分别用矢量A、B、C表示，根据矢量运算有

B=C-A因为B×B=0，则有

B×(C-A)=0,

B×C=B×A

所以

BCsinα=BAsin(π-γ)最后可得

同理，可以证明

图1-8矢量三角形

3．三个矢量的乘积

三个矢量的乘积分为两类：三重标量积和三重矢量积。

1）三重标量积三重标量积可表示为

A·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B)（1-16）

式（1-16）有明显的规律，满足顺序循环记忆法则，即A、B、C的次序满足循环互换规律。如果三个矢量代表一个平行六面体的边，如图1-9所示，则三重标量积就是此六面体的体积。

图1-9三重标量积A·（B×C）示意图

2）三重矢量积三重矢量积可表示为

A×(B×C)=B(A·C)-C（A·B）

（1-17）

式（1-17）具有明显的规律：左边是三重矢量积，右边是点积再倍乘（三重乘积）；左边是一项，右边是两项之差，且矢量出现顺序按左边矢量排列顺序出现。

1.2正交曲面坐标系

1.2.1直角坐标系如图1-10所示，直角坐标系是由三个正交的平面构成，其任意两个平面的交线均为直线，分别称为x轴、y轴和z轴，三轴线的交点是原点O。分别用单位矢量ex、ey和ez表征矢量沿x、y和z轴分量的方向，ex、ey和ez相互正交且满足右手螺旋法则，即ex×ey=ez，ey×ez=ex，ez×ex=ey，而空间任意一点P可用点P在三轴线上的投影x0、y0和z0唯一确定。图1-10空间点表示

1．直角坐标系中的矢量及其表示在直角坐标系中，对任意矢量A，假设Ax、Ay、Az分别是矢量在三个坐标方向的投影，则A可以写成A=Axex+Ayey+Azez

（1-18）

矢量A的模为

（1-19a）

矢量A的方向为

【例1-3】在直角坐标系下，试求：

(1)空间点M（1，3，2）。

(2)标量场Φ(x,y,z)=2x+y-3z在空间点M(1,3,2)处的场值。

(3)矢量场 在空间点M(1,3,2)处的矢量场。

解（1）M(1,3,2)表示直角坐标系下空间的一个点，点的x坐标等于1，y坐标等于3，z坐标等于2。（2）标量场Φ在空间点M处的值：Φ(x,y,z)|M=Φ(x=1,y=3,z=2)=2×1+3-3×2=-1（3）矢量场A在空间点M处的值：因为

A(x,y,z)=Axex+Ayey+Azez

所以

可得

矢量A的模

2．长度、面和体积的微分元电磁场理论中常常用到线、面和体积分，在直角坐标系中矢量长度、矢量面积、体积的微分元如图1-11所示。在正交坐标系中，坐标变换的微分元可能并非都有长度量纲，需要将它们分别乘以一个变换因子，才能构成沿坐标单位矢量的微分长度元。这个变换因子称为拉梅系数，用h1、h2、h3表示。直角坐标系的拉梅系数h1=1、h2=1、h3=1。图1-11微分元

矢量长度元

dlx=h1dx

dly=h2dy

dlz=h3dz

dl=exdlx+eydly+ezdlz

（1-20）

矢量面积元

dV=dxdydz

dSx=exdydz

dSy=eydxdz

dSz=ezdxdy

（1-21）

矢量体积元

1.2.2圆柱坐标系如图1-12（a）所示，圆柱坐标系的三个变量是ρ、φ、z。与直角坐标系相同，圆柱坐标系也有一个z变量。各变量的变化范围：0≤ρ＜∞,0≤φ＜2π,-∞≤z＜∞。图1-12圆柱坐标系(a)圆柱坐标系；(b)

圆柱坐标系中一点P如图1-12(b)所示，决定空间任一点P(ρ1,φ1,z

1)的三个坐标曲面如下：（1）ρ=ρ1，以z轴为轴线、ρ1为半径的圆柱面。ρ1是点P到z轴的垂直距离。（2）φ=φ1，以z轴为界的半平面。φ1是xOz平面与通过点P的半平面之间的夹角，定义逆时针方向为正方向，若点P在z轴，则角φ不确定。（3）z=z1，与z轴垂直的平面。z1是点P到xOy平面的垂直距离。如图1-13所示，过空间任一点P(ρ1,φ1,z1)的坐标单位矢量eρ、eφ、ez相互正交，且满足右手螺旋法则，即eρ×eφ=ez,eφ×ez=eρ，ez×eρ=eφ

图1-13圆柱坐标系单位矢量循环关系

1．矢量及其表示位于点P(ρ1,φ1,z1)的任一矢量A可表示为

A=Aρeρ+Aφeφ+Azez

（1-23）

其中，Aρ、Aφ、Az分别是矢量在eρ、eφ、ez方向上的投影。

【注】角φ相对x轴逆时针旋转为正方向。

2．长度、面和体积的微分元

1)拉梅系数圆柱坐标系的拉梅系数为h1=1、h2=ρ、h3=1。

2)矢量长度元如图1-14所示，在点P(ρ1,φ1,z1)处沿eρ、eφ、ez方向的长度元分别为dlρ=h1dρ=dρ

dlφ=h2dφ=ρdφ

dlz=h3dz=dz

dl=eρdρ+eφρdφ+ezdz

（1-24）

图1-14圆柱坐标系微分元

3)矢量面积元由ρ→ρ+dρ,φ→φ+dφ，z→z+dz六个坐标曲面决定的六面体上的面积元为dSρ=dlφdlzeρ=ρdφdzeρ

dSφ=dlρdlzeφ=dρdzeφ

dSz=dlρdlφez=ρdρdφez

（1-25）

4)六面体的体积元六面体的体积元可表示为

dV=dlρdφzdlz=ρdρdφdz

（1-26）

1.2.3球坐标系如图1-15所示，球坐标系的三个坐标矢量为r、θ、φ，与圆柱坐标系相似，它也有一个φ变量，它们的变化范围：0≤r＜∞,0≤θ≤π,0≤φ≤2π。

图1-15球坐标系

决定空间任一点P(r1,θ1,φ1)的三个坐标曲面如下：（1）r=r1，这是以原点为圆心、以r1为半径的球面。r1是点M到原点的距离。（2）θ=θ1，这是以原点为顶点、以z轴为轴线的圆锥面。θ1是z轴正向与连线OP之间的夹角。坐标变量θ称为极角。

（3）φ=φ1，这是以z轴为界的半平面。φ1是xOz平面与通过点P的半平面之间的夹角。坐标变量ms称为方位角，位于z轴上的点，其φ角是不确定的。如图1-16所示，过任意点P(r1,θ1,φ1)的坐标单位矢量为er、eθ、eφ，它们相互垂直，并遵循右手螺旋法则，即er×eθ=eφ,

eθ×eφ=er,

eφ×er=eθ

图1-16球坐标系单位矢量循环关系

1．矢量及其表示球坐标系下点P的任一矢量A可表示为

A=Arer+Aθeθ+Aφeφ

其中，Ar、Aθ、Aφ分别是矢量A在er、eθ、eφ方向上的投影。

2．长度、面和体积的微分元

1)拉梅系数球坐标系的拉梅系数为h1=1、h2=r、h3=rsinθ。

2)矢量长度元如图1-17所示，在点P(r,θ,φ)处沿er、eθ、eφ方向的长度元分别为（1-28）

图1-17

球坐标微分元

3)矢量面积元由r→r+dr，θ→θ+dθ，φ→φ+dφ六个坐标曲面决定的六面体上的矢量面积元为

er

（1-29）

4)六面体的体积元六面体的体积元可表示为

（1-30）1.2.4圆柱坐标系、球坐标系与直角坐标系的矢量变换

1．圆柱坐标系和直角坐标系之间的相互转换

1）单位矢量坐标变换如图1-18所示，圆柱坐标系单位矢量eρ、eφ用直角坐标单位矢量可表示为

（1-31）

从直角坐标系到圆柱坐标系的单位矢量变换关系可写成如下矩阵形式:（1-32）

图1-18

2）矢量变换如果矢量A是以圆柱坐标系来表示的，将它投影到直角坐标系x、y、z轴上，就得到矢量A在直角坐标系中的表达式,即转化成矩阵形式，即

同样，直角坐标系中的矢量，通过下列变换可以得到其在圆柱坐标系中的表达式：

（1-33）

（1-34）

【例1-4】求矢量在直角坐标系中的表达式。

解

其中

所以矢量A在直角坐标系中的表达式为

【例1-5】在圆柱坐标系下，若矢量A=3eρ+2eφ+5ez，B=-2eρ+3eφ-ez分别位于点和,求空间点上的矢量和A+B。

解因为矢量A、B没有位于φ＝常数的圆柱坐标系中，所以在圆柱坐标系下不能直接求和，必须首先转换到直角坐标系下求和，再转换到圆柱坐标系下。因为对点，矢量A=3eρ+2eφ+5ez可转化为如下矩阵形式：

所以，直角坐标系下，

因为对点

矢量B=3eρ+2eφ+5ez可转化为如下矩阵形式：所以，在直角坐标系下矢量和为

将直角坐标系下的矢量C转换到圆柱坐标系下点，得到如下矩阵形式：

空间点

上的矢量和为

【注】（1）一个矢量从一种坐标系变换到另一种坐标系，只改变矢量的表达形式，矢量的模和方向不会改变。（2）矢量求和通常转换到直角坐标系下求和。

2．球坐标系与直角坐标系互换

1）单位矢量坐标变换与圆柱坐标系类似，可以得到球坐标系单位矢量与圆柱坐标系单位矢量之间的变换关系，即

（1-35a）

（1-35b）

（1-35c）

转化成矩阵形式，即

（1-36）

对球坐标系的单位矢量在直角坐标系中进行投影，如图1-19所示。

图1-19单位矢量在ex、ey、ez上的投影

2）矢量变换如果在球坐标系下有矢量A=Arer+Aθeθ+Aφeφ，将它投影到直角坐标系的x轴上就得到其在直角坐标系下的x分量，即（1-37a）

（1-37b）

同理，可得A在直角坐标系下的y和z分量，即

（1-37c）

转化成矩阵形式，即

（1-38）

同样，一个给定直角坐标系下矢量，通过矩阵变换，可以表示成球坐标系下矢量

（1-39）

【注】

（1）在三维空间，任一矢量可以用三个标量来表示，即需要三个数值，这些数值的大小与坐标系的选择有关。同一矢量在不同坐标系有不同的表示，当一给定的矢量从一个坐标系转换到另一个坐标系时，这些数值也将改变。（2）矢量从一个坐标系变换到另一坐标系，矢量本身并没有改变，改变的只是它的表现形式。（3）坐标系选取原则：有利于简化矢量运算，使求解更容易。在复杂的矢量运算中，通常都是转换到直角坐标系进行矢量运算。

1.3场论基础

1.3.1场的概念场是描述空间一定区域所有点的一个物理量，该物理量可以是标量也可以是矢量，因而其相应的场也称为标量场或矢量场。（1）标量场(scalarfield)：空间点的场值用标量表示的场。如温度场、电位场、高度场、大气压力场等，这些物理量在指定时刻和空间上的每一点可用一个标量函数u(x,y,z,t)来表示，则这个标量函数在空间域上就确定出标量场。例如，直角坐标下

（1-40）

(2)矢量场(vectorfield)：空间点的场值同时用它的大小和方向表示的场。如流体的速度、加速度、重力、电场、磁场等，这些物理量在指定时刻和空间上的每一点可用一个矢量函数A(x,y,z,t)来表示，则这个矢量函数在空间域上就确定出矢量场。例如，直角坐标系下（1-41）

表示空间一矢量场。

(3)静态场：如果标量（或矢量）场不随时间变化而变化，则称之为静态场。如以后要讲到的静止电荷产生的场（静电场）和恒定电流产生的电场（或磁场）。

(4)时变场：如果标量（或矢量）场随时间变化而变化，则称之为时变场，又称为动态场。如时变的电场和磁场。

1.3.2标量场的梯度

1．等值面标量场中量值相等的点构成的面称为标量场u的等值面，用方程可表示为

（1-42）

随着C的取值不同，给出一组曲面。在每一个曲面上的各点，虽然坐标值x、y、z不同，但函数值相等，因此式（1-42）称为等值面方程。例如，温度场中的等温面、电位场中的等位面等。

【例1-6】设点电荷q位于直角坐标系的原点，在它周围空间的任一点M(x,y,z)的电位是

式中q和ε0是常数，试求等电位面方程。

解根据等值面的定义，令￠（x,y,z）=C（常数），即可得到等电位面方程，即

或

这是一个球面方程。它表示一族以原点为中心、以q/（4πε0C）为半径的球面，如图1-20所示。C值（电位值）越小，对应的球面半径越大；C值等于零时对应的是一个半径为无限大的球面。可见，用等电位面可以帮助了解电位场的分布情况。图1-20点电荷等位面示意图

2．方向导数函数u(x,y,z)在给定点M沿某个方向对距离的变化率称为方向导数。如图1-21所示，设M0(x,y,z)处为标量场u(x,y,z)中的一点，场值为u。从点M0出发朝任一方向引一条射线l，并在该方向上靠近点M0取一动点M(x+Δx,y+Δy,z+Δz)，点M0到点M的距离表示为Δl，标量场值为u+Δu。根据定义，有（1-43）

就称为函数u(x,y,z)在点M0沿l方向的方向导数。在直角坐标系中,

就是函数u沿三个坐标轴方向的方向导数。

图1-21

直角坐标系中方向导数示意图

如图1-21所示，直角坐标系中，有

式中：Δx=Δlcosα，Δy=Δlcosβ，Δz=Δlcosγ；cosα、cosβ、cosγ是l的方向余弦。根据多元函数的全增量和全微分关系，有

（1-44）

所以，方向导数为

（1-45）

【例1-7】求函数在点M(1,0,1)处沿l=ex+ey2+ez2方向的方向导数。

解

在点M(1,0,1)处有

l的方向余弦是

由式（1-45）得方向导数为

方向导数是一个标量，其值不仅与场点位置有关，还与l的方向有关。方向导数绝对值的大小表示该点沿给定方向标量场函数u的变化快慢程度。 ，说明场函数值沿l方向是增加的； ，说明场函数值沿l方向是减小的； ，说明场函数值沿l方向无变化。

3．梯度若在标量场u(M)中的点M处，存在这样一个矢量G，其方向为函数u(M)在点M处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率，则称矢量G为函数u(M)在点M处的梯度（gradient），用gradu表示证明：标量场由点M移动到点M′，等相位面变化量为

而从点M移动到点M′，位移矢量为

根据矢量点乘公式，有

其中矢量

1）哈密顿（Hamilton）算子为了方便，引入一个算子，即

（1-47）

式（1-47）称为哈密顿算子。因为“▽”既是一个微分算子，又可以看做一个矢量，所以称它为一个矢性微分算子。算子▽与标量函数u相乘，其结果是一个矢量函数。在直角坐标系中，

（1-48）

式(1-48)右边刚好是gradu，因此用哈密顿算子可将梯度记为

（1-49）

【注】▽算子的定义仅适用于直角坐标系，对其他坐标系，算符没有确定的形式。

2）梯度的性质

(1)梯度垂直于给定函数的等值面。

(2)梯度的方向为给定函数在某位置变化最快的方向。

(3)梯度的大小等于给定函数每单位距离的最大变化率。

(4)标量场u在给定点沿任意l方向的方向导数等于该点梯度与该方向单位矢量的标量积（即在l方向上的投影），即以性质（1）为例进行证明：如图1-22所示，因为对等值面上任意点M，总有，而所以G⊥el。根据这一性质，曲面u(x,y,z)=C上任一点的单位法线矢量en可以用梯度表示，即

图1-22梯度方向垂直于等值面

也可得到标量函数在圆柱坐标系中的梯度表达式，即

标量函数在球坐标系中的梯度表达式为

（1-50）

（1-51）

3）梯度运算公式梯度运算公式类似于对一般函数求导数的法则，即

（C为常数）

（C为常数）

（1-52）（1-53）

（1-54）

（1-55）

（1-56）

（1-57）

这里仅以式（1-57）为例，证明如下：

所以▽f(u)=f′(u)▽u，得证。

【例1-8】已知平面方程5x+2y+4z=20，求平面的单位法向矢量en。

解设标量场u(x,y,z)=5x+2y+4z，则

【例1-9】求r在圆柱坐标系下的梯度，此处r是位矢r＝eρρ+ezz的大小。

解在圆柱坐标系下，位矢r的大小，r相对于各坐标的偏导数为r的梯度为

r=er是一非常重要的结论，可以用它简化某些公式。

【例1-10】空间点(x,y,z)与点(x′,y′,z′)之间的距离为

证明

式中▽表示对x、y、z微分，▽′表示对x′、y′、z′微分。证明

即

亦即

所以得证

1.3.3矢量场的散度

1．矢量线为了形象地描绘矢量场在空间的分布状况，我们引入矢量线的概念。矢量线是这样一些曲线，线上每一点的切线方向都代表该点矢量场的方向。一般说来，矢量场中的每一点均有唯一的一条矢量线通过，因此，矢量线充满了整个矢量场所在的空间，如电场中的电力线和磁场中的磁力线等。例如，位于坐标原点的点电荷q，它在周围空间的任一点M(x,y,z)所产生的电场强度矢量为

点电荷所在点（原点）向空间发散的电力线如图1-23所示。这样一族矢量线形象地描绘出点电荷电场的分布状况。

图1-23点电荷电场的矢量线

2．通量矢量F在场中某一有向曲面S上的面积分，称为该矢量场通过此曲面的通量，记作（1-58）

如图1-24所示，在场中任意曲面S上的点M周围取一小面积元dS，它有两个方向相反的单位法线矢量±en。假设是如图1-24所取的方向，则dΦ=F·endS=FcosθdS>0；反之，则dΦ<0。可见，通量是一个代数量，它的正、负与面积元法线矢量方向的选取有关。图1-24矢量场的通量

利用矢量线的概念，通量也可以认为是穿过曲面S的矢量线总数，故矢量线也叫做通量线。式（1-58）中的矢量场F可称为通量面密度矢量，它的模F就等于在某点与F垂直的单位面积上通过的矢量线的数目，如图1-25所示。

如果S是一定体积V的闭合面，则通过闭合面的总通量可表示为

（1-59）

如果一闭合面S上任一点的矢量场为

则通过S面的矢量场F的通量为

式(1-60)表明，通量是可以叠加的。

（1-60）

图1-25F通过闭合曲线面的通量

3．散度矢量场在闭合面S上的通量是由S内的通量源决定的。但是，通量只能描述这种关系在较大范围内的情况，如果想了解场中每点上场与源之间的关系，需要引入矢量场散度的概念。

1）散度的定义设有矢量场F，在场中任一点M作一包围该点的任意闭合面S，并使S所限定的体积ΔV以任意方式趋于零（即缩至点M），然后取下列极限：

这个极限称为矢量场F在点M处的散度，记作divF或▽·F（读作散度F），即（1-61）

这个定义与所选取的坐标系无关，▽·F表示在场中任意一点处，通过包围该点的单位体积由内向外散发的通量，又称为“通量源密度”。

在点M处，若▽·F>0，则该点有发出通量线的正源,如图1-26(a)所示；若▽·F<0，则该点有吸收通量线的负源，如图1-26(b)所示；若▽·F=0，则该点无源，如图1-26(c)所示。若在某一区域内的所有点上矢量场的散度都等于零，则称该区域内的矢量场为无源场。图1-26矢量场的散度(a)▽·F>0;

(b)▽

·F<0;(c)▽·F=0

2）散度在三种坐标系中的表达式

散度在直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系中的表达式如下：

（1-62）圆柱坐标系

（1-63）

球坐标系

（1-64）

3）散度运算基本公式散度运算的基本公式分别如下：

（u为标量函数）

（1-65）

（1-66）

（1-67）

（1-68）

4．高斯（Gauss）散度定理根据散度的定义，▽·F等于空间某一点从包围该点的单位体积内穿出的F通量。因此，从空间任一体积V内穿出的F通量应等于▽·F在V内的体积分，即这个通量也就是从限定体积V的闭合面S上穿出的净通量。所以

这就是高斯散度定理。高斯散度定理说明：任意矢量场的法向分量在闭合曲面上的积分等于该矢量场的散度在该闭合曲面所包围体积上的积分。这种矢量场中的积分变换关系，在电磁场理论中将经常用到。

(1-69)【例1-11】在的矢量场中，假设有一个正六面体，其边长为2a，中心在直角坐标系原点，各表面与三个坐标面平行，如图1-27所示。试求从正六面体内穿出的电场净通量Φ，并验证高斯散度定理。图1-27例1-11用图

解先用公式计算通量。因为E只有x分量，在六面体上、下、左、右四个表面上的E和dS垂直，面积分为零，所以

再用公式计算通量，即

所以

（验证了高斯散度定理）

1.3.4矢量场的旋度

1．环量矢量F沿某一闭合曲线（路径）的线积分，称为该矢量沿此闭合曲线的环量，记作

（1-70）式中的F是闭合积分路径上任一点的矢量，dl是该点路径的切向长度元矢量，它的方向取决于闭合曲线的环绕方向，θ是在该点处F与dl的夹角，如图1-28所示。图1-28矢量场的环量

2．旋度的定义在矢量场F中的点M存在这样一个矢量R，矢量场F在点M处沿其方向的环量密度为最大，这个最大的数值正好就是|R|，则称矢量R为矢量场F在点M处的旋度，记为rotF、▽×F或curlF：（1-71）

直角坐标系中旋度的表示式为

（1-72）

式（1-72）用叉积表示可以写成

为方便记忆，×F可以写成行列式的形式，即

同理，在圆柱坐标系下

在球坐标系下

矢量场旋度的物理意义：旋度表示该矢量场每单位面积的环量，其大小等于该矢量在给定处的最大环量面密度，方向为最大环量面密度对应面元的法向方向。若矢量场的旋度不为零，则称该矢量场是有旋的（rotational）；若矢量场的旋度为零，则称此矢量场是无旋的或保守场（irrotational或conservative）。如力作用于物体做功就是保守场的典型例子。

【例1-12】已知u(x,y,z)是一个连续可微的标量函数，证明∇×(∇u)=0。

证明标量函数u(x,y,z)的梯度为因为∇u的旋度可表示为

3．旋度的性质（1）旋度矢量在任一方向上的投影等于该方向上的环量密度。（2）对于任何矢量场F，旋度的散度恒等于0，即

（1-73）

根据这一性质，对于一个散度恒为0的矢量B，可以将其表示为矢量A的旋度

（1-74）

（3）对于任何位置的标量场，梯度的旋度是0矢量，即

（1-75）

对于静态场，因为 ，所以▽×E=0。

4．旋度与散度的区别（1）一个矢量场的旋度是一个矢量函数；一个矢量场的散度是一个标量函数。（2）旋度表示场中各点的场与涡旋源的关系。如果在矢量场所存在的全部空间里，场的旋度处处等于零，则这种场不可能有涡旋源，因而称它为无旋场或保守场。散度表示场中各点的场与通量源的关系。如果在矢量场所充满的空间里，场的散度处处为零，则这种场不可能有通量源，因而被称为管形场或无源场。以后将会讲到，静电场是无旋场，而磁场是管形场。

（3）从旋度公式可以看出，矢量场F的x分量Fx只对y、z求偏导数，Fy和Fz也类似地只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律；对比散度公式，场分量Fx、Fy、Fz分别对x、y、z求偏导数，散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。5.旋度的基本运算公式

旋度的基本运算公式如下：

（C为常矢量）

（1-76）

（C为常数）

（1-77）

（1-78）

（u为标量函数）

（1-79）

（1-80）

6．斯托克斯（Stokes）定理

对于矢量场F所在的空间中任一个以l为周界的曲面S，矢量场F的切向分量沿l的线积分等于矢量场F旋度的法向分量在S上的面积分，即（1-81）

式（1-81）称为斯托克斯定理，其中，S的形状不限，只需以l为界，且S的法向分量与l的环绕方向满足右手法则，如图1-29所示。斯托克斯定理的意义是：任意矢量场F的旋度沿场中任意一个以l为周界的曲面的面积分，等于矢量场F沿此周界l的线积分。换句话说，▽×F在任意曲面S的通量等于F沿该曲面的周界l的环量。同高斯散度定理一样，斯托克斯定理表示的积分变换关系在电磁场理论中也是经常要用到的。图1-29斯托克斯定理的证明

【例1-13】矢量场F=-exy+eyx，试求它沿图1-30中的闭合曲线l上的环量并验证斯托克斯定理。l的参量方程是这是一条星形线。

图1-30例1-13用图

解由矢量线方程 ，可解得

（C为任意常数）

由此可以看出，矢量线是一族以坐标原点为中心的平面圆。

（1）用公式计算F的环量：

由闭合曲线l的参量方程得

沿曲线l一周即参变量６００３２２从0变到2π（弧度），可得（2）用公式∮(▽×F)·dS计算▽×F的通量：由于因此

由l的参量方程可得 。由于对称关系，上述以l为周界的面积分值等于第一象限中的4倍，因此

-利用参量方程代换积分元，即

因为当x=0时，；当x=a时，θ=0，所以

即

这样就验证了斯托克斯定理。

1.3.5拉普拉斯算子前面讲到的都是一阶微分算子，在场论中经常用到二阶微分算子，即拉普拉斯算子，用符号▽2表示。它可用标量函数梯度的散度定义。如果u(x,y,z)是连续可微的标量函数，则u(x,y,z)的拉普拉斯表达式为（1-82）

在直角坐标系下

（1-83）

即

（1-84）

式（1-84）显示了标量函数的拉普拉斯表达式是一个标量，它涉及函数的二阶偏微分。经过变换，可以得到标量函数在圆柱坐标系下的拉普拉斯表达式，即

（1-85）

用同样方法可得球坐标系下的拉普拉斯表达式，即

（1-86）

由于无旋场，因此，或写成

（1-87）

式(1-87)可分为以下两种情况讨论：（1）▽·F≠0，即已知矢量场F的散度源时，式（1-87）称为标量位函数的泊松（Poisson）方程。

(2)▽·F=0，即在所讨论的区域内，矢量场F无散度源时，式（1-87）称为标量位函数的拉普拉斯方程。由于此时▽·F=0且▽×F=0，即在所讨论的区域内，矢量场是无源无旋的，这种矢量场称为调和场，调和场的标量位函数￠满足其拉普拉斯方程，称为调和函数。1.3.6亥姆霍兹定理

1．两个零恒等式

1）恒等式Ⅰ与无旋场梯度矢量的一个重要性质就是：任何标量场的梯度的旋度恒等于零，即

在直角坐标系中，证明如下：

=0

恒等式Ⅰ的逆定理也成立，即如果一个矢量的旋度为零，则该矢量可以表示为一个标量场的梯度。将逆定理应用于电磁场理论中时，可以引入辅助位函数，以方便求解场矢量。例如静电场，因▽×E=0，可引入标量电位函数￠，令

（1-89）

式中负号表明E矢量沿￠减小的方向。

如果在矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，即▽×F=0，则这种场不可能存在涡旋源，因而称之为无旋场。无旋场同时也是位场、保守场。因无旋场中，F=▽u，由斯托克斯定理可得（1-90）

可见场力F沿闭合曲线路径作功等于零，场能无变化，故称保守场。

2）恒等式Ⅱ与无散场旋度的一个重要性质是：任何矢量场的旋度的散度恒等于零，即

（1-91）

在直角坐标系中，证明如下：

恒等式Ⅱ的逆定理：如果一个矢量场的散度为零，则它可表示为另一个矢量的旋度。

该定理应用于电磁场研究时，可引入辅助矢量位，有利于场矢量的求解。例如恒定磁场▽·B=0，可引入矢量磁位A，令

（1-92）

如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，即▽·F=0，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无散场或无源场。恒定磁场就是这样的场。由散度定理可知，无旋场F穿过任何闭合曲面S的通量都等于零，即

（1-93）

【例1-14】已知F=ex(3y-C1z)+ey(C2x-2y)-ez(C3y+z)。（1）如果F是无旋场，试确定常数C1、C2、C3。（2）将Ci代入，判断F能否表示为一个矢量的旋度。

解

(1)因为▽×F=0，即所以

(2)只有当▽·F=0时，才可使F=▽×A，因此需计算F的散度是否为零。

可见F不能表示为一个矢量的旋度，本题中F属有源无旋场。

2.亥姆霍兹定理

可以证明，在有限的区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域V的闭合曲面S上的矢量场的分布）唯一确定，这就是亥姆霍兹定理。对于这个定理，我们可以从下述两个方面来理解。首先需要了解矢量场F在空间的变化率。F的散度反映了F在坐标轴上的分量沿这个坐标的变化率；而F的旋度则反映了这些分量沿其他坐标的变化率，两者结合起来，就给定了F的所有分量沿空间各个坐标的变化率。依照积分方法，原则上可以确定这个矢量函数F，最多相差一个常矢量，但当边界上的常矢量值给出时，这个矢量函数也就可以确定了，于是该矢量函数唯一确定。对于无界空间，F仅由它的散度和旋度确定。这时，我们可视它们自然满足无限远边界面上场矢量为零的自然边界条件。现在，我们再从矢量场的“源”这个角度来说明这个问题。一般矢量场可能既有散度又有旋度，则这个矢量场可表示为一个没有旋度只有散度的无旋场和一个没有散度只有旋度的涡旋场分量之和：（1-94）

对于一个无界空间的无旋场F1，有▽×F1=0，故

（1-95）但是F1必是有源场，即▽·F1≠0。因为任何一个物理场必定要有源来激发它。如果这个场在无界空间中的涡旋源和散度源都是零，这个场也就不会存在。因此，对式（1-95）取散度，有（1-96）

对于一个无界空间中的无源场F2，有▽·F2=0，故

（1-97）

同理，F2必是有旋场，即▽×F2≠0，因此，对式（1-97）取旋度，有

（1-98）

在1.3.5节的讨论中已知，式（1-96）为标量位函数的泊松方程，即

（1-99）

而式（1-98）可写为

（1-100）

式中可将▽·A选为任何方便的形式，例如取▽·A=0，上述方程则成为矢量函数A的泊松方程。因此，当给定▽·F1和▽×F2时，通过求解式（1-99）和式（1-100），即可得到矢量场F1和F2的解，也即为式（1-95）和式（1-97）所示。对于无界空间中既有散度源又有旋度源的矢量场F，令

（1-101）

因而▽·F=▽·F1，▽×F=▽×F2，故由式（1-99）和式（1-100）可得

（1-102）

在给定▽·F和▽×F时，由方程（1-102）的解￠和A即可得到矢量场F的确定解，即

（1-103）

因而矢量场F由其散度和旋度唯一确定。

1.3.7格林定理格林定理又称格林公式，是场论中的一个重要公式。在历史上，格林定理是独立提出来的，因而是一个原始定理，可以由散度定理导出。散度定理可以表示为(1-104)在式(1-104)中，令中，则

(1-105)式中en为面元dS的法向单位矢量。由梯度与方向导数的关系，可以得到（1-106）

这就是格林第一恒等式。en是面元的正法向矢量，即闭合面的外法向矢量。

将式(1-106)中的￠和Ψ交换，可得

（1-107）

式(1-106)和式(1-107)相减，可得

（1-108）

式(1-108)称为格林第二恒等式。

知识结构图

第2章静电场2.1电荷2.2库仑定律2.3电场强度2.4静电场的散度——高斯定理及其应用2.5静电场的旋度和电位2.6电偶极子2.7电场中的物质2.8静电场的边界条件2.9泊松方程和拉普拉斯方程2.10电容与部分电容2.11静电场能量和能量密度习题库仑定理、电场强度的定义及其物理意义静电场的旋度和散度高斯定理及其应用电介质中的静电场方程泊松方程和拉普拉斯方程能量和能量密度本章提要静电场是相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。它是电磁理论最基本的内容。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可应用推广到恒定电场、恒定磁场及时变场。

本章以库仑定律为基础，以电场强度作为出发点，导出静电场散度和旋度基本方程，得到拉普拉斯方程及静电场的边界条件，分析静电场的性质和它的求解方法；然后介绍电偶极子、介质极化的概念，给出静电场基本方程；最后讨论电容、导体系统电容的概念以及在实际工程中的应用，推导出静电场能量和能量密度表达式。

电荷是电场的源，电荷的总量及空间分布是决定电场大小和分布的重要因素。自然界存在两类电荷：正电荷和负电荷。电荷的最小单元为基本电荷数，用e表示

e＝1.602×10－19 (C)

它是一个质子的电量，电子的电量为－e，库仑(C)是MKSA国际单位制中电量的单位，1库仑的电荷是基本电荷的6.24×1018倍。

在讨论宏观电现象时，通常认为电荷是连续分布的。2.1电荷连续分布于体积V的电荷称为体电荷，如图2－1(a)所示。体电荷密度用于描述体电荷的分布特征，其含义：在体电荷内部任意一点P取一体积元ΔV，若ΔV内全部电荷的代数和为∑q，则称∑q与ΔV的比值为平均体电荷密度，当ΔV趋于零时，则称此时的平均值为点P的体电荷密度，以ρV表示

(2－1)

图2－1分布电荷(a)体电荷分布；(b)面电荷分布；(c)线电荷分布有时电荷连续分布在物理表面的一个薄层内或分布在一条细线上，如图2－1(b)、(c)所示，前者称为面电荷，后者称为线电荷。类似于体电荷密度的概念，面电荷密度ρS和线电荷密度ρl的定义分别如下：

面电荷密度 (2－2)

线电荷密度 (2－3)(在电磁场理论中，常常提到点电荷的概念，点电荷是电荷分布的极限情况，可以看成是一个体积很小而电荷密度很大的小带电体。类似于分布电荷的概念，引入δ函数，其定义为

(2－4)

δ函数具有下列重要性质：

(2－5)

(2－6)

应用δ函数，可将r′处的点电荷q的密度表示为

ρ(r)＝qδ(r－r′) (2－7)

包含r′的任意体积V内的总电荷为

(2－8)

点电荷的概念在电磁场理论中占有重要地位，可以将线度(电量与观察者到带电体的距离相比)很小的带电体以及带电粒子看做点电荷，也可以将连续分布于体、面、线的电荷看做无穷多个点电荷之和。

电荷有均匀分布和非均匀分布。均匀分布是指电荷密度在电荷分布的区域内处处相同，即电荷密度不随坐标而变；非均匀分布是指电荷密度并非处处相同，而是坐标的函数。

1785年，法国物理学家库仑(CharlesAugustinde

Coulomb)发表了关于两个点电荷之间相互作用力规律的试验结果——库仑定律，其内容如下：

设点电荷q′和q分别位于r′(x′，y′，z′)和r(x，y，z)，如图2－2所示，点电荷q′作用于点电荷q的电场力为

(2－9)

电场力的单位是牛顿(N)。2.2库仑定律

图2－2库仑定律用图式中R＝r－r′表示从r′到r的矢量；

表示从r′到r的距离；

是表征真空电性质的物理量，称为真空中的介电常数。

库仑定律表明，在真空中，两个相对静止的点电荷之间相互作用力的大小与两点电荷乘积成正比，与距离的平方成反比，力的方向沿着它们之间的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。两点电荷之间的作用力符合牛顿第三定理：点电荷q′受到q的作用力F′＝－F。库仑定律只说明了真空中存在两个点电荷的情况，若真空中有n个点电荷q'1，q'2，…，q'n，分别位于点r'1，r'2，…，r'n，则r处的点电荷q所受到的力应等于各个点电荷q'i(i＝1，2，…，n)单独存在时对q的作用力Fi的矢量和，即

(2－10)

式中：

(2－11)

式(2－10)表明库仑定律满足叠加原理。

【注】库仑定律是通过宏观带电体的实验得出的规律，只有两带电体的几何尺寸远小于它们之间的距离，才可以忽略带电体的形状和电荷在其中的分布，即将带电体看成点电荷，否则它们之间的距离R就不是一个简单的确定数，库仑定律也不能简单套用。

在考察物体的宏观性质时，可以用电荷连续分布的概念来代替电荷的分离性。

如果在空间体积V′内有连续分布的体电荷，且体电荷密度为ρV，则体电荷微分元dq＝ρV(r')dV'，该微分元对r处点电荷q的作用力为

(2－12)

体电荷对r处点电荷q的作用力为各微分电荷元作用力之和。根据微积分的概念，连续求和可用积分表示，则体电荷对r处点电荷q的作用力为

(2－13)

同理，如果在空间某一面S′内有连续分布的面电荷，其面电荷密度为ρS，则在观察点r处的点电荷q受到的作用力为

(2－14)

如果在空间某一线l′上有连续分布的线电荷，其线密度为ρl，则在空间r处的点电荷q受到的作用力为

(2－15)

综上所述，只要知道了空间的电荷分布，就可以求出空间任一点的电荷所受作用力。

库仑定律只表明两个点电荷之间作用力的大小和方向，并没有说明两点电荷之间的这种作用力是如何传递的。实验表明：任何电荷都在自己周围空间产生电场，而电场对于处在其中的任何其他电荷都有力的作用，这种力称为电场力，电荷之间的相互作用正是通过电场传递的。电场的大小和方向用电场强度表示。2.3电场强度电场中某点处的电场强度E(r)定义为单位试验电荷在该点所受的力。其数学表达式为

(2－16)

电场强度的单位为伏/米(V/m)或牛/库仑(N/C)。

【注】试验电荷自身也会产生电场，为避免该电场对被测电场的影响，假设试验电荷q0带电量很小，它的引入不影响原电场分布。将电场强度定义式(2－16)与库仑定律(2－9)比较，可得到电场强度计算公式。事实上，处于r'的点电荷q'对处于r处的试验电荷q0的作用力为

(2－17)

式中 ，是q'指向q0方向的单位矢量。将式(2－17)与式(2－16)比较，可得到位于r′的点电荷q′在r处产生的电场强度计算式：

(2－18)

点电荷q'的电场示意图如图2－3所示。

库仑定律表明电场是存在于电荷周围的特殊物质，虽然我们看不见，但它的确存在，真空中两个点电荷之间的相互作用力正是通过电场传递的。同电场力一样，电场也具有可叠加性，遵循矢量叠加原理。

图2－3点电荷q′的电场

若真空中有n个点电荷q'1，q'2，…，q'n，分别位于点r'1，r'2，…，r'n，则真空中任意点r处的电场强度等于各点电荷在该点所产生的电场强度的矢量和，即

(2－19)【注】

(1)电场强度E的定义来源于库仑定律并反映了电场的基本性质，是静电场的基本物理量。

(2)电场强度E是一个矢量函数。空间某点电场强度(简称场强)的大小等于单位点电荷在该点所受电场力的大小，方向与正电荷在该点所受电场力的方向一致。

(3)电场强度与产生电场的点电荷的电量成正比，场与源的这种关系使我们可以利用叠加原理来计算任意个点电荷的电场强度。对于真空中连续分布电荷的电场，可利用电场的叠加性来计算。

【例2-1】求区域V中体电荷密度为ρV的带电体在空间r点的电场强度E(r)。

解如图2－4所示，在体电荷区域中某一点r′，取体积元dV′，该体积元中的电量ρV(r')dV′可看成一点电荷，该点电荷在r点的电场可按式(2－18)计算，即

(2－20)

图2－4体电荷分布连续分布的电荷可细化分成许许多多这样的点电荷，根据电场的叠加性，区域V中电荷密度为ρV(r')的电荷在r点产生的电场强度为

(2－21)

同理，对于面分布和线分布的情况，电场强度的计算公式分别如下：面电荷分布

(2－22)

线电荷分布

(2－23)

电场强度E是一个矢量。矢量分析中已讲过，矢量场可以用矢量线形象地描述。电场强度E的矢量线称为电力线。电力线每点的切线方向就是该点E的方向，其分布密度(垂直于E的单位面积上电力线数目)正比于E的大小。

【例2-2】一个半径为a的均匀带电圆环，求轴线上的电场强度。

解假设电荷线密度为ρl，取如图2－5所示的坐标系，圆环位于xOy平面，圆环中心与坐标原点重合，则

r＝zez

r'＝acosθex＋asinθey

dl′＝adθ

即

式中，2πaρl表示圆环的电量。当z＝0时，E(r)＝0，表示线电荷对场的贡献在环心互相抵消。当z→∞时，半径a可以忽略不计，场强反比于z的平方，相当于带电量Q＝2πaρl的点电荷的电场强度。

图2－5例2－2用图【例2-3】

计算半径为a、电荷面密度ρS(r)为常数的均匀带电圆盘在轴线上的电场强度。

解选择坐标系，使圆盘位于xOy平面，圆盘轴线与z轴重合，如图2－6所示。在圆盘上取半径为r′、宽度为dr′的圆环，其电荷线密度为ρl＝ρSdr′，由例2－2已知该带电圆环的电场为

对r′积分可得圆盘在轴线上的电场，即

式中，2πr′dr′代表环面积元。积分结果为

图2－6例2－3用图当z→0＋时，

；当z→0－时，。

这表明：在薄圆盘的两侧，场强等值反向，这完全是圆盘上面电荷引起的结果。用高斯定理可以证明：无限大均匀带电平面两侧的电场强度表达式与圆盘上的这一结果完全相同。这是因为只要充分靠近圆盘表面，圆盘看起来就显得很大。

当z趋于无穷大时， 。其中，q为圆盘带电量。由此可见，在离开圆盘很远的地方，难以察觉带电圆盘的存在，因为其电学效应等价于电量全部集中到盘心位置的一个点电荷。

进一步的研究表明，本题所求电场强度的量值为 圆盘(相对于场点)所张的立体角

静电场是一个矢量场，其基本物理量是电场强度。根据亥姆霍兹定理，一个矢量场可以由它的散度和旋度确定。本节讨论静电场的散度——高斯(Gauss)定理，它表明静电场具有通量源，因而是有源场，电荷就是场的源。2.4静电场的散度——高斯定理及其应用讨论静电场的散度也是以库仑定律为依据的。设电荷连续分布在体积V内，由库仑定律得到电场强度：

(2－24)

对式(2－24)两端以场点坐标(x，y，z)为变量作散度运算。因为积分是对源点(x′，y′，z′)坐标进行的，所以散度符号可移入积分号内，即

(2－25)

由于ρ(r')是(x'，y'，z')的函数，可以移到·外，以及

(2－26)

因而代入式(2－25)可得

(2－27)因为

所以代入式(2－27)可得

(2－28)

由式(2－7)可得

(2－29)式(2－29)就是真空中高斯定理的的微分形式。它说明任意一点电场强度E的散度(而不是E本身)等于该点的体电荷密度与真空介电常数的比值。根据散度的概念，如果某点的

·E>0，则该点ρ>0，该点有正电荷堆积，该点电力线向外发散；反之，如果某点

·E<0，则该点ρ<0，该点有负电荷堆积，电力线向该点汇聚；如若某点

·E＝0，则该点ρ＝0，即没有电荷，电力线既不会从该点出发，也不会在该点汇聚，而只是通过该点。因此，高斯定理表明了静电场的另一个重要性质：它是一个发散场，电荷是场的发散源，电力线从正电荷出发而终止于负电荷。将式(2－29)两端在任意体积V内积分，即

(2－30)

应用高斯散度定理将式(2－30)左端的体积分变换成在被包围体积V的闭合面S上的面积分，即

(2－31)

这就是真空中高斯定理的积分形式。它表明电场强度E在任一闭合面上的通量等于该闭合面所包围的总电量与真空介电常数的比值。【注】

(1)式(2－31)中的E是带电系统(包括闭合面S内，也包括S外)所有电荷产生的总电场，而仅指S面内的总电荷。这是因为S面外的电荷对S上的E通量没有贡献，而对总场强E是有贡献的。

(2)高斯定理的微分形式中的电荷密度仅指体电荷密度，而积分形式中的电荷q既包括(线、面、体)分布电荷，又包括点电荷。微分形式描述的是场内任一点电场强度的散度·E与同一点的电荷密度ρ之间的关系，而积分形式描述的是在一个宏观范围内，穿过其表面的电场强度的通量与该范围内总电荷量之间的关系。

(3)和前述电场强度计算方法相比，高斯定理是求电场强度最有效的方法，但前提条件是电荷分布必须具有某种对称条件，如在封闭面上电场强度的法线分量是常数，在这种条件下，式(2－31)左边的面积分很容易计算。相反，当对称条件不存在时，高斯定理是没有多大用途的。

【例2-4】一条无限长直导线上均匀分布着线密度为ρl的电荷，应用高斯定理计算周围任一点的电场强度。

解以直导线为轴线，做半径为r、高为l的圆柱面，如图2－7所示。设轴线为z轴，两底面分别为S1、S2，侧面为S3，闭合曲面由S1、S2、S3组成。由高斯定理可得

可以写成

图2－7例2－4用图由于电荷分布关于垂直于z轴的任何一个平面为对称，因而空间任意一点的电场强度的Ez分量为零，只有Er分量，即E＝Erer。dS1＝ezdS1，dS2＝－ezdS2，dS3＝erdS3，在闭合面上。

将各分量代入上式，得因而空间任一点的电场强度为

由此可以看出，应用高斯定理的要点在于：①找出对称条件；②选择一个适当面，使给定的电荷分布所产生的电场强度E的法线分量在此表面上为常量(这样的表面称为高斯面)，从而可将该常量提出积分号外。这样，整个过程变为求曲面面积的积分运算，求解简单方便。

2.5.1电场强度矢量E的旋度

静电场是矢量场，要全面了解它的特征，除了散度，还必须研究它的旋度，并引入电位函数。由式(2－18)，已知电场强度为

(2－32)

2.5静电场的旋度和电位由于

因此可将点电荷的电场强度表示为

(2－33)式(2－33)说明，电场强度可以表示为一个标量函数的负梯度。矢量分析中已讲到，任何一个标量函数梯度的旋度恒等于零，因此

(2－34)

即点电荷的电场强度E的旋度等于零。对于点电荷群的电场公式(2－19)，上述结论也是正确的。对于分布电荷的电场公式，同样可以证明，分布电荷的电场强度的旋度也等于零。下面以体电荷分布电场强度为例进行说明。对于体电荷分布，由式(2－24)可得电场强度为

(2－35)

应注意式(2－35)中的积分是对源点r′(x′，y′，z′)进行的，算子是对场点r(x，y，z)作用的，因而移到积分号外。对体电荷分布，有

×E(r)＝0

因此可以得出结论：任何静电场产生的电场的旋度恒等于零，静电场是无旋场。2.5.2电位函数

从矢量分析知道：一个矢量场，如果它的旋度等于零，则可以用一个标量函数的梯度来表示。因为任意标量函数梯度的旋度恒等于零。在静电场中，可以用一个标量函数

(r)的梯度来表示E(r)，

(r)称为电位(电势)函数。下面以点电荷的电场为例，推导静电场的电位函数

(r)。

由式(2－33)，可得

(2－36)式中

(r)就是点电荷电场的电位函数。电位的单位是伏特。必须指出，这里的

(r)并不是唯一确定的，因为若给它加上一个与坐标无关的任意常数C，丝毫不影响E(r)的大小和方向，所以

(r)的一般表达式为

(2－37)

点电荷群的电场，由式(2－19)可得到

(2－38)

(2－39)