湖南省衡阳市耒阳市2024年中考一模数学试题（含答案）

湖南省衡阳市耒阳市2024年中考一模数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．下面四个图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．一元二次方程x2A．x=3 B．x1=3,x3．下列事件属于随机事件的是（）A．常压下，温度降到0°C以下，自来水会结冰B．随意打开一本书，书的页码是奇数C．任意一个五边形的外角和等于540°D．如果a=b，那么a4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°，CD是AB边上的高，A．点D在圆C上，点A，B均在圆C外B．点D在圆C内，点A，B均在圆C外C．点A，B，D均在圆C外D．点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上5．已知抛物线y=ax2+bxA．x=2 B．x=4 C．x=−4 D．x=−26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O直径，连接BD，若∠BCD=100°，则∠BAD的度数为（）A．70° B．75° C．80° D．85°7．已知a，b是方程x2+6x−2=0的两个实数根，则A．−4 B．−9 C．0 D．98．如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，交⊙O于点E，若DE=1，AD=5，∠ADC=30°，则BC的长为（）A．4 B．33 C．429．如图，在等腰△AOB中，OA=AB，∠OAB=120°，OA边在x轴上，将△AOB绕原点O逆时针旋转120°，得到△A'OB'，若OB=2A．(−1,3) B．(−1,1) 10．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴分别交于A(−12,0)，B(52,0)两点，与y轴正半轴交于点C，下列判断：①A．②③ B．①②④ C．③④⑤ D．①④⑤二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．某工厂为了能给市面上提供充足的篮球，第一个季度至第三个季度生产篮球由63200个增加到91008个，若设该工厂平均每季度生产篮球的增长率为x，则可列方程为12．如图，有四张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有“速度滑冰”、“冰球”、“单板滑雪”、‘冰壶“四种不同的图案，现将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，则该卡片的正面图案恰好是“冰壶”的概率是13．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程a14．如图，在等边△ABC中，AC=4，点D为AC边的中点，将△ABC绕点D顺时针旋转90°，得到△A'B'C'15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是.三、解答题（共8小题，共75分．解答应写出过程）16．（1）用配方法解方程：x2（2）用适当的方法解方程：x(2x−1)=4x−2．17．关于x的一元二次方程(m−2（1）求m的取值范围；（2）对于m取一个适当的值，并求出一元二次方程的根．18．如图，平面直角坐标系xOy在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别是A(−1,−2)，B(−3,（1）把△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A'B'C（2）在（1）的基础上，求线段AB在旋转过程中扫过的面积．19．某市利用各类灵活多样宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心APP”宣传推广工作，截止2021年底，注册人数已达216.39万人．某社区工作人员为调查本社区居民对于“国家反诈中心APP”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷共设置10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解（80−100分）、B：比较了解（60−80分）、C：基本了解（40−60分）、D：不太了解（0−40分）四个等级并绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据上图提供的信息解答下列问题∶（1）扇形统计图中，A等级对应的人数所占百分比为▲，补全条形统计图；（2）若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反诈中心APP”非常了解的人数；（3）为更好地开展“国家反诈中心APP”宣传推广工作，社区准备招募2名宣讲人员，现有问卷结果等级为A的4人报名，其中3人为一组居民，1人为二组居民，若从中随机选取2人，求选取的2人不是同一组居民的概率．20．如图，△ABC内接⊙O，点A为BC的中点，D为BC边上一点，∠DAC=∠ACE，AE是⊙O的切线，AF=BD=12AB=1（1）求证：CE=CF；（2）当点A到弦BC的距离为1时，求AE的值．21．近年来，国潮IP联名款产品层出不穷，大品牌通过在服饰中加入如“大闹天宫”，“故宫”这样的传统中国元素，唤起年轻一代消费群体的记忆，与这些年轻消费者进行着价值沟通，逐渐构成“国潮力量”．某外贸公司经市场调研，整理出某爆款IP联名卫衣的售价每增加x元，日销售量的变化情况如下表：售价(元/件)日销售量(件)x+1202000−20x已知该款卫衣的成本价为80元/件，设销售该卫衣的日销售利润为w元．（1）求w（元）与x（元）之间的函数关系式；（2）在销售过程中，该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到80000元吗，为什么？（3）求该卫衣售价增加多少元时，日销售利润最大，最大日利润是多少？22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为第二象限内抛物线上一动点，求△BCD面积的最大值；（3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．23．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型∶它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．如图①，在Rt△ACB中，∠ACB=90°,AC=CB，点D，E分别在AC,BC边上，CD=CE，连接DE,（1）观察猜想请直接写出CM与BD的数量关系和位置关系；（2）类比探究将图①中△DCE绕点C逆时针旋转到图②的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）解决问题若AC=4,CD=2，将图①中的△DCE绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：

A：，不是中心对称图形，不符合题意；

B：，是中心对称图形，符合题意；

C：，不是中心对称图形，不符合题意；

D：，不是中心对称图形，不符合题意；故答案为：B.

【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可求解.2．【答案】B【解析】【解答】解：x2−3x=0，

故答案为：B.

【分析】利用因式分解即可求解.3．【答案】B【解析】【解答】解：A、是必然事件，此选项不符合题意；

B、是随机事件，此选项符合题意；

C、是必然事件，此选项不符合题意；

D、是必然事件，此选项不符合题意.故答案为：B.【分析】必然事件是指一定会发生或一定不会发生的事件。随机事件是指可能发生也可能不发生的事件.根据定义并结合各选项即可判断求解.4．【答案】D【解析】【解答】解：在在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°，

∴BC=12AB=12×4=2，

∴AC=AB2-BC2=23，

∵CD是故答案为：D.

【分析】利用直角三角形的性质求得BC，BD的值，再利用勾股定理求得AC，CD的值，根据点与圆的位置关系判断即可求解.5．【答案】C【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx顶点C的纵坐标为−2b，

∴-b24a故答案为：C.

【分析】根据抛物线y=ax2+bx6．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∵∠BCD=100°，

∴∠BAD=180°-∠BCD=180°-100°=80°，故答案为：C.

【分析】根据圆内接四边形对角互补即可求解.7．【答案】A【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+6x−2=0的两个实数根，

∴a2+6a−2=0，a+b=-6,故答案为：A.

【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得到a+b=-6,a8．【答案】C【解析】【解答】解：如图，作OF⊥BC于点F，

可得BC=2FC，

由DE=1，AD=5，∠ADC=30°，可得OA=OE=OC=3，OD=3-1=2，

OF=12OD=1,

【分析】作OF⊥BC于点F，由DE=1，AD=5，∠ADC=30°，可得OA=OE=OC=3，OD=3-1=2，OF=1，再根据BC=2FC即可求解.9．【答案】A【解析】【解答】解：过点B作BC⊥OA于点C，延长B'A'交y轴于点D，如图，∵OA=OB，∠OAB=120°，

∴∠AOB=30°，

∴∠DOB=60°，

∵OB=23，

∴BC=12OB=3,

∴OA=AB=2，

∵将△AOB绕原点O逆时针旋转120°，得到△A'OB'，

∴OB'=OB=23,∠BOB'=120°,

∴∠ODB'=90°,

∴OD=12

【分析】过点B作BC⊥OA于点C，延长B'A'交y轴于点D，根据OB=23，OA=OB，∠OAB=120°，可得OA=AB=2，再由旋转的性质得到A'B'⊥y轴，由30°直角三角形求出OD，A'D10．【答案】D【解析】【解答】解：由图象可得，a<0，c>0，

∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴分别交于A(−12,0)，B(52,0)两点，

∴对称轴为直线x=-b2a=-12+522=1，

∴b=-2a，

∴2a+b=0，b>0，

∴abc<0，

故①④正确；

∴二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴有两个不同的交点，

∴b2-4ac>0，

11．【答案】63200【解析】【解答】解：设该工厂平均每季度生产篮球的增长率为x，则可列方程为63200(1+x)故答案为：63200(1+x)

【分析】直接利用第一个季度的生产量×（1+增长率）2=第三个季度的生产量即可列出关于x的一元二次方程.12．【答案】1【解析】【解答】解：由题可得总共有四张卡片，其中印有“冰壶”的只有1张，故从中随机抽取一张卡片，则该卡片的正面图案恰好是“冰壶”的概率是14故答案为：14

【分析】根据题意得到总共有四张卡片，符合题意的只有一张，利用概率公式即可求解.13．【答案】−2（答案不唯一）【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx的图象与x轴有两个交点，

∴关于x的一元二次方程ax2+bx=m的判别式大于0，将方程化为一般式得ax2+bx-m=0，

即∆=b2-4am>0，

∴4am<b2，

∵二次函数图象开口向上，

故答案为：−2（答案不唯一）.

【分析】先根据图象与x轴有两个交点求得4am<b2，14．【答案】π+2【解析】【解答】解：设弧AA'交AB于点E，如图，

在等边三角形△ABC中，AC=4，点D为AC边的中点，

∴CD=AD=2，∠BAC=60°,

由题意可得∠CDC'=ADA'=90°,AD=A'D=CD=C'D,∠BAC=∠B'A'C'=60°,

∵AD=A'D=DE,

∴△A'DE是等边三角形，

∴∠故答案为：2+3

【分析】设弧AA'交AB于点E，由等边三角形的性质和旋转的性质求得CD=AD=2，∠BAC=60°,∠ADE=30°，∠A15．【答案】1【解析】【解答】解：作CH⊥AB于H，如图，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=3∵12∴CH=6×8∵点D是AC的中点，∴CD=2，∵将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E，∴CE=2，即点E在以C为圆心，2为半径的圆上，∵点E在线段HC上时，点E到AB的距离最小，∴ΔAEB的面积的最小值为12故答案为：1.【分析】作CH⊥AB于H，根据勾股定理可得AB，根据三角形的面积公式可得CH，由旋转的性质可得CE=CD=2，易得点E在线段HC上时，点E到AB的距离最小，然后根据三角形的面积公式进行计算.16．【答案】（1）解：xx(x−1)解得x（2）解：x(2x−1)=4x−2x(2x−1)−2(2x−1)=0(x−2)(2x−1)=0x−2=0或2x−1=0解得x【解析】【分析】（1）根据移项、配方、开方即可求解；

（2）根据移项、因式分解即可求解.17．【答案】（1）解：∵(∴m−2≠0，即m≠2，∵关于x的一元二次方程(m−2∴Δ=b2−4ac≥0∴m≥−1∴m的取值范围为m≥−14（2）解：当m=6时，方程为4x因式分解得，(x−1解得：x【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义求得m−2≠0，即m≠2，再利用根的判别式Δ≥0得到关于m的不等式，解不等式即可求解；

（2）当m=6时，得到关于m的一元二次方程，解方程即可求解.18．【答案】（1）解：所作△A∴点A（2）解：由（1）可知：线段AB扫过的面积为S【解析】【分析】（1）先找到把△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的对应点A'，B'，19．【答案】（1）解：30%；B等级的人数：50−15−10−4=21如图：（2）解：依题意，该社区对“国家反炸中心APP”非常了解的人数：1550答：该社区对“国家反炸中心APP”非常了解的人数有2400人；（3）解：设一组居民分别为A1,A依题意，列出树状图：总共有12种结果，满足选取的为2人不是同一组居民的结果有6种，则2人不是同一组居民的概率：6【解析】【解题】（1）10÷20%=50（人），A等级对应的人数所占百分比为15÷50×100%=30%，

B等级的人数：50−15−10−4=21（人），

【分析】（1）根据C所占的百分比和人数求得总人数，再利用A的人数除以总人数即可得到A所占的百分比，利用总人数减去A，C，D的人数即可得到B的人数，并补全条形统计图即可求解；

（2）根据样本估计总体即可求解；

（3）根据题意画出树状图得到总共有12种结果，满足选取的为2人不是同一组居民的结果有6种，利用概率公式求解即可.20．【答案】（1）证明：如图，连接OA交BC于点M，∵点A为BC的中点，∴OA⊥BC,∵AE与⊙O相切，∴AE⊥OA，∴AE∥BC,又∵BD=AF，∴△ABD≌△CAF(SAS)，∴AD=CF，∵∠DAC=∠ACE，∴CE∥AD，∴四边形ADCE为平行四边形，∴AD=CE，∴CE=CF；（2）解：如图，∵AF=BD=1∴AB=AC=2，∴BM=CM，∵点A到弦BC的距离为1，即AM=1，在Rt△ABM中，AB∴BM=2∴DM=BM−BD=3∴CD=DM+MC=3由（1）可知四边形ADCE为平行四边形，∴AE=CD=2【解析】【分析】（1）连接OA交BC于点M，利用垂径定理与切线的性质证明△ABD≌△CAF(SAS)，得到AD=CF，结合已知条件证明四边形ADCE为平行四边形，利用平行四边形的性质得到AD=CE，从而求解；

（2）先根据AF=BD=12AB=1求得AB=AC=2，BM=CM21．【答案】（1）解：由题意得w=(x+120−80)(2000−20x)w=−20（2）解：∵当x=8时，w=−20x∴该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到80000元（3）解：∵w=−20x∵−20<0，∴抛物线开口向下，∴当x=30时，w取得最大值为98000，∴该卫衣售价增加30元时，日销售利润最大，最大日利润为98000元【解析】【分析】（1）根据总利润=销量×单件商品的利润即可得到W关于x的函数关系式；

（2）将x=8代入关系式计算并与80000作比较，即可求解

（2）将二次函数配方，利用二次函数的性质即可求解.22．【答案】（1）解：根据题意，将点A(1,0),可得a+b+c=09a−3b+c=0解得a=−1b=−2∴抛物线的解析式为y=−（2）解：连接BC,CD,BD，过点P向设直线BC的解析式为y=kx+b，∴3=b解得：3=bk=1直线BC的解析式为y=x+3，设D(t,PQ=−t当t=32时，DQ最大，最大为∵S∴DQ最大时，△BCD的面积最大，最大面积为278，此时（3）解：∵抛物线y=−x∴抛物线y=−(x+1)2+4设P(−1,∵B(−3,0)，∴BP2=4+当BP⊥CP时，4+y解得：y=−1或y=4，∴点P的坐标为(−1,−1)或当BP⊥BC时，4+y解得：y=−2，∴点P的坐标为(−1,当CP⊥BC时，4+y解得：y=4，∴点P的坐标为(−1,综上所述，存在这样的点P，使得△BPC为直角三角形，点P的坐标为(−1,4)或(−1,【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得a，b，c的值即可求解；

（2）连接BC,CD,BD，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，垂足为G，设直线BC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求得k，b的值得到直线BC的解析式，设D(t,−t2−2t+3)，Q(t,t+3)，表示出线段PQ的式子，利用二次函数的性质求得当t=3223．【答案】（1）解：BD=2CM，CM⊥BD（2）证明：（1）中的结论仍然成立，证明过程如下如图①，延长AC至点F，使AC=CF，连接EF，∵