《中级微观经济学教程》课件第3章

第三章消费者行为理论第一节消费者偏好和效用第二节消费者的预算约束

第三节消费者均衡和效用最大化第四节消费者需求和需求函数第五节消费者剩余

复习思考题与计算题

当消费者的收入水平给定时，消费者如何将其收入分配在对不同商品和劳务的购买上，这是微观经济学的一个重要问题。消费者确定收入在不同商品和劳务上的分配份额，也决定了消费者对各种不同商品和劳务的需求。本章将介绍描述消费者偏好的基本分析工具无差异曲线，然后介绍最基本的表达收入预算约束的重要分析工具预算线，在此基础上，再研究消费者均衡问题。由于需求函数是消费者行为结果的反映，本章还将利用消费者均衡推导出需求曲线，最后研究消费者剩余问题。第一节消费者偏好和效用

消费者在一定市场条件下的选择行为，首先反映的是其对商品和劳务的主观感受，这种主观的满足状态在经济学中称为消费者偏好，消费者对某种商品或劳务偏好水平的高低用效用的概念予以描述。本节分析消费者偏好、效用、效用函数以及反映消费者偏好的无差异曲线。一、消费者偏好的基本假定简单地说，消费者偏好(consumers’preference)是指消费者对商品或劳务的喜好程度，或者是指决定消费者在两种或两种以上商品或劳务间进行选择的态度。消费者偏好往往会随着流行趋势或时尚的变化而变化，同时还会受到广告以及其他类型的销售促进的影响，此外，由于技术进步而出现的新产品也会改变消费者偏好。不过，为了分析方便，通常在经济学研究中将消费者偏好视为给定的。所谓消费者选择，就是在给定的目标消费集中作出消费什么以及消费多少的决策。记X=Rn+为消费者的目标消费集，消费集中的商品和劳务数量为非负。对于现实生活中存在的负商品和劳务(即消费者希望减少的商品和劳务，如污染)，在分析中将这类负商品的减少量作为正值。因此有：

x=(x1，x2，…，xn)∈Rn+

其中，xi代表对物品i的计划消费量。在经济学分析中，将消费者视为理性的。理性的基本含义是消费者总是追求消费满足程度的最大化，同时也意味着消费者能够作出明确的、前后一贯的、不矛盾的选择，或者指消费者有能力在面对各种商品或劳务及其组合的情况下作出明确的判断。如果我们将A、B和C定义为三种消费组合，每一种组合中包含一定数量的商品或劳务，用符号“f”表示“优于”，“π”表示“劣于”，“～”表示“无差异”。那么，对于理性的消费者，其偏好关系具备以下几个性质：

(1)完备性。对于目标消费集中的任意两个商品或劳务的组合A和B，消费者可以明确作出下述三种判断中的一种：对A的偏好大于对B的偏好(AfB)，对A的偏好小于对B的偏好(AπB)，对A和B的偏好是相同的或称对A和B的偏好是无差异的(A～B)。

(2)反身性。对目标消费集中的任意消费组合X，满足X≥X，即该消费组合至少与自身同样好。

(3)传递性。对于目标消费集中给定的三种消费组合A、B和C，当AfB且BfC时，则AfC，用文字表述就是如果消费者认为A组合优于B组合，而且B组合优于C组合，一定有A组合优于C组合。

(4)连续性。对于目标消费集中所有的消费组合，如果该消费组合是至少与另一消费组合Y同样好的消费组合，而且如果该消费组合趋近于某一消费组合Z，则Z至少与消费组合Y同样好。

(5)单调性。单调性也可以称为是“多多益善”原则，即在其他状况都一样的条件下，某商品或劳务越多，消费者就感到越满意。当然，涉及到污染等负商品，“多多益善”的原则应调整为去除这些负商品越多越好。除了上述五个性质，在严格的经济理论分析中，消费者偏好还满足另外一些性质，例如弱单调性(即增加一些商品至少与原来同样好)、强单调性(即同样的商品，且数量严格多于原来的商品，则必定严格优于原有商品)、局部非饱和性(即即使仅允许对消费组合作微小调整，消费者也更偏好多一些的消费组合)，等等。二、基数效用和序数效用在经济学中，通常用效用(utility)单位来衡量消费者对某种商品或劳务的偏好程度。早期经济学中所用的效用概念为基数效用，即认为商品或劳务能带给人们的满足程度可以像衡量长度、重量一样用基数来度量。这种效用具有可比性和可加性的特征，即假定看1小时电视带来的效用为5个效用单位，吃1个面包带来的效用为2个效用单位，则看1小时电视带来的满足大于吃1个面包，而且两者可以加总起来，即看1小时电视及吃1个面包的总效用为7个效用单位。这样，当消费者在一定时间内消费几个单位的某种商品或劳务，则每一单位的商品或劳务带来的总的满足程度称为总效用(totalutility，简写为TU)，平均每单位商品或劳务可提供的效用则称为平均效用(averageutility，简写为AU)，如果消费者消费的商品或劳务的数量为Q，就有AU=TU/Q。在基数效用概念下，经济学家认为，商品或劳务之所以有价值是因为其有满足人们需要的特性即效用。不过，商品或劳务有效用仅仅是形成商品或劳务价值的必要条件，商品或劳务价值量是由其稀缺性，进而是由商品或劳务的边际效用(marginalutility，简写为MU)决定的。边际效用是指消费者消费商品或劳务的一定数量中最后增加或减少的那一单位商品或劳务所感觉到的满足程度的变化，从边际效用和总效用的关系上来说，实际上就是消费者增加或减少一单位某种商品或劳务的消费所带来的总效用的变化量。如果用ΔQ代表消费商品或劳务的变化量，ΔTU代表总效用的变化量，那么边际效用可以表示为用微积分来定义，即求上式在ΔQ→0时的极限，有：上式表示在效用函数(商品或劳务的消费量与总效用的函数关系)给定时，边际效用可以定义为效用函数的一阶导数。基数效用虽然在数学计算和理论分析方面有一定的意义，但由于不同的人对满足或幸福等的理解存在极大差异，而且同一个人在不同的时间里消费同一种商品的满足程度也可能不同，效用单位数字的加总显得意义不大。因此，经济学家后来用序数效用的概念替代基数效用，即只要消费者能对不同的商品或劳务的组合进行排序，指出某一组合是优于、劣于或无差异于另一组合就可以了，至于某一组合能为消费者带来的满足的具体数值如何无关宏旨，采用序数效用概念丝毫不会改变理论分析的科学性。值得说明的一点是，基数效用论中虽然存在具体衡量效用的困难，但并不能说明效用概念不科学，或者毫无用处。事实上只要理性消费者在消费时，随着消费数量增加，边际效用递减，就足以反映消费者行为的特质，这一特质与效用能否具体衡量没有关系，也不影响消费者行为的性质。三、效用函数经济学中经常使用效用函数来描述消费者的偏好特性，当消费者的偏好关系满足前述的基本性质时，可以证明这时效用函数是存在的。效用函数的定义：一个实值函数u：Rn+→R在下列条件下被称为代表偏好关系的函数，该条件是：对于所有的x1，x2∈Rn+，u(x1)≥u(x2)当且仅当x1≥x2。效用函数在分析上的好处在于它能使我们对于消费者行为的偏好分析转换成对函数的分析，从而发现消费者行为的规律。在效用函数给定后，我们可以对边际效用下一个更为完整的定义：当一个效用函数被表达为u=u(x1，x2，…，xn)时，那么，对该函数求关于xi的一阶偏导，得，称为xi的边际效用，即商品xi对于消费者提供的边际贡献。效用函数可以采取多种形式，为简明起见，下面仅考虑两种商品或劳务(以x1、x2表示)的情形，多于两种商品的情形可以在此基础上推广，其基本性质是不变的。

1.线性效用函数

当效用函数取u=u(x1，x2)=ax1+bx2(a、b为非负参数)形式时，称其为线性效用函数，也可以称之为完全替代效用函数，即对于消费者而言，只要x1和x2按a/b的比例交换，消费者的满足程度均不会变化。

2.固定比例效用函数

对形如u(x1，x2)=min的效用函数，称之为固定比例效用函数，这时两种商品完全不可替代；也可以称其为完全互补的效用函数，即只有按照a单位的x1和b单位的x2联合进行消费才能带来一单位的效用。

3.拟线性效用函数

当效用函数取u(x1，x2)=v(x1)+x2的形式时，称之为拟线性效用函数。这时，效用函数与第二种商品x2之间呈现线性关系，因此也可以称其为局部线性效用函数。

4.柯布-道格拉斯型效用函数

当效用函数取形式时，称之为柯布-道格拉斯型效用函数。这种形式的效用函数在理论分析过程中较为简便，尤其是该函数的任何单调递增变换仍然可以表示原来相同的偏好关系。如果运用对数线性方法将其线性化，即上式两边同时取自然对数，可得：

lnu(x1，x2)=αlnx1+βlnx2

这时，经过对数线性方法处理的函数在数学推导及经验估计中就非常方便了。四、无差异曲线

1.无差异曲线的定义

在序数效用论下，无差异曲线是表达消费者偏好的重要工具，也是分析消费者行为的有效方法。无差异曲线代表对消费者能产生同等满足程度的各种不同商品或劳务组合的点的轨迹。这一曲线可以按下述方法得到：首先，假设消费者在两种商品或劳务(X和Y商品)之间进行选择，当然这种假定可以扩展到有任意多种商品或劳务。通常的做法是将我们集中研究的一种商品或劳务看做X商品，把余下的其他所有商品或劳务看做另一种商品Y，即Y是由多种商品或劳务形成的合成商品。更简便的一种办法是把余下的商品或劳务看做是价格为1的货币。例如，消费者面临n种商品或劳务时，以X1，X2，…，Xn表示，实际分析时，可将X1看做是一种商品，其余的n-1种商品看做是一种合成商品，或者看做是消费者除支付X1商品外余下的货币量。其次，给定消费者一种商品或劳务的组合，稍微增加一点X商品到X2，并稍微减少一点Y商品的量到Y2，由消费者确定(X2，Y2)组合与(X1，Y1)组合相比更喜欢哪一个。如果消费者更喜欢(X2，Y2)，则调低其中的X和/或Y商品的数量，这是因为根据单调性的性质，如果这时不减少Y的数量，消费者的满足程度会比组合(X1，Y1)更高。直到最终调整得到一个组合(X2′，Y

2′)，使得这一组合与(X1，Y1)组合相比消费者感到是无差异的，这样，我们就可以首先找到一个与(X1，Y1)组合无差异的组合(X

2′，Y

2′)。再次，将上述过程继续进行下去，就可以找到许多个与(X1，Y1)相比无差异的，但数量组合又不同于(X1，Y1)组合的X和Y的商品组合。接下来，将这些组合描到以X商品为横轴、Y商品为纵轴的坐标系中，可以得到如图3-1所示的一条无差异曲线。图3-1无差异曲线

2.无差异曲线的性质在无差异曲线I上，商品X和Y的所有组合所产生的效用或带给消费者的满足程度都是一样的，即任意一点上表示的商品组合对消费者而言都是无差异的，消费者愿意接受这一条曲线表示的任意一种组合。无差异曲线具有如下几个重要的特征：

(1)无差异曲线向右下方倾斜。由于无差异曲线上任意一点所表示的效用都是一样的，沿着无差异曲线从上向下移动时，X商品的消费量逐渐增加，当X商品的量增加时，如果Y商品的消费量不变化，则消费者将得到更高的满足。所以，为了保证效用沿着同一条无差异曲线移动，在增加X商品的消费量时必须减少Y商品的消费量，从而X商品消费量的变化与Y商品消费量的变化呈反方向，因此，无差异曲线必然是向右下方倾斜的。

(2)无差异曲线凸向原点。这一性质表明，沿着无差异曲线从上向下移动时，随着X商品消费量的逐渐增加，为保持效用水平或满足程度不变，消费者愿意放弃的Y商品的数量越来越小(X商品等量增加)。这是因为，随着X商品数量的增加，消费者拥有了越来越多的X商品，X商品的稀缺程度逐渐下降，而Y商品由于数量逐渐减少，其稀缺程度越来越大，这种稀缺程度的变化意味着X和Y商品的相对重要程度发生了变化，由此，无差异曲线凸向原点。关于这一性质，下面还将通过边际替代率的概念进一步说明。

(3)对同一个消费者而言，无差异曲线有无数多条，并充满整个坐标系的第一象限。按前面推导无差异曲线的步骤，当我们在X商品(或Y商品)数量保持不变的情况下，增加Y商品(或X商品)的数量，消费者将得到更高的满足程度或效用水平，以此为基准，又可以找到与之效用无差异的无穷多种组合，这样又形成了另一条效用水平更高的无差异曲线。同理，当商品数量可以无限细分的情况下，照此方法可以找到无穷多条无差异曲线，这些无差异曲线充满坐标系的第一象限。顺便说明一下，这里之所以充满第一象限，仅仅是因为我们研究的是经济问题，X和Y的商品量为非负实数。

(4)任意两条无差异曲线不会相交。根据无差异曲线的定义可知，每一条无差异曲线都代表消费者可以获得的一定满足程度，对应于任一商品组合，要么与另一组合无差异，要么劣于另一组合，要么优于另一组合，不会出现既优于又劣于另一组合的情形，否则会出现矛盾，违反理性消费者的假定。对此，可用反证法来证明，如图3-2所示。在图3-2中，假设两条无差异曲线I1和I2相交于a点，在I1上任取不同于a点的一点b，由于a点和b点处于同一条无差异曲线上，因此有a～b，即a与b无差异。在I2上任取不同于a点的一点c，由于a点和c点处于同一条无差异曲线上，因此又有a～c，根据偏好的传递性假设，可得b～c，即b点和c点是无差异的，这与b点和c点处于两条不同的无差异曲线上相矛盾，所以任意两条无差异曲线不会相交。图3-2任意两条无差异曲线不会相交

3.边际替代率在无差异曲线的基本性质中，我们提到无差异曲线是凸向原点的，这一性质与商品或劳务的边际替代率有关。边际替代率(marginalrateofsubstitution，简写为MRS)是指消费者为了保持同等的效用水平，要增加1单位X商品的消费而必须放弃的Y商品的数量。用ΔX表示X商品的变化量，ΔY表示Y商品的变化量，其定义式为在上面的定义式中，添加了一个负号，这是因为X商品的变化方向与Y商品的变化方向是相反的，添加负号可以将其转化为正值，便于应用和叙述。商品或劳务的边际替代率还可以用前面提出的边际效用概念表示。由于沿着同一条无差异曲线移动时，效用水平不变，这样，增加X商品的消费量会提高效用水平(效用增加ΔX·MU)，而减少Y商品的消费量会减少效用水平(效用减少ΔY·MU)，要保持效用水平不变，两者的净效应为零，即

ΔX·MUX+ΔY·MUY=0调整后，可得因此，有对于边际替代率与边际效用之间的关系，还可用下述方式得到：考虑消费者面对的任意一个消费组合A=(X1，Y1)，由于在平面上可以将Y商品量表达为X商品的函数，即Y1=f(X1)。所以，无差异曲线上所有点可以表示为

(X1，Y1)=(X1，f(X1))并且

u(X1，f(X1))=u0

(3-1)其中u0为常数，即该条无差异曲线代表的消费者效用水平。对式(3-1)求关于X1的一阶偏导，可得：与无差异曲线凸向原点相对应，商品或劳务的边际替代率是递减的，如图3-3所示。原因是当消费者拥有相对于Y较少的X时，他愿意放弃较多的Y去增加1单位X；反之，当他拥有相对于X较少的Y时，他仅会放弃较少的Y去增加1单位的X。图3-3商品或劳务的边际替代率从数学的角度来看，边际替代率实际上就是无差异曲线在该点的斜率(由于边际替代率定义为非负值，而无差异曲线是向右下方倾斜的，其斜率为负，因此在具体表达斜率时还要添加一个负号)。求一条曲线的斜率，可以作一条过该点的切线，切线的斜率就是曲线在该点的斜率。从边际替代率的定义式可得，当ΔX趋近于零时，ΔY/ΔX趋向于一个极限值，即：结合上式可得：则无差异曲线的斜率k为有一点需要注意，一般情况下，商品或劳务的边际替代率是递减的，无差异曲线是凸向原点的。但在一些特殊情况下，边际替代率可能为常数或者为零或者为无穷大。当消费者面对的是两种完全替代品时，如人们喜爱程度相仿的饮料——可口可乐和百事可乐，这时的无差异曲线就是一条直线，边际替代率就是该直线的斜率，是一个常数。当消费者面对的是两种完全互补的商品时，一个极端的例子是左鞋和右鞋，一只左鞋和一只右鞋才能配成一双，这时的无差异曲线就是一条1∶1的折线，即当只有一只左鞋时，无论有多少双右鞋，也只有一双鞋。这条拐折的无差异曲线的水平部分的边际替代率为零，而垂直部分的边际替代率则为无穷大。由此可见,通常所谓的向右下方倾斜的无差异曲线表达了两种商品之间存在着不完全替代关系。

4.无差异曲线图

由于每一条无差异曲线代表消费者的一种满足水平，不同的满足水平或效用水平由不同的无差异曲线来表示。某条无差异曲线越靠近原点，其所代表的效用水平越低，越远离原点则代表更高的效用水平。这样在坐标系的第一象限充满了无差异曲线，称之为无差异曲线族。一个消费者的无差异曲线图就反映了该消费者的偏好状况，图3-4画出了甲、乙两个消费者的无差异曲线图(图中分别只画出了四条无差异曲线)。图3-4甲、乙两个消费者的无差异曲线第二节消费者的预算约束

消费者偏好反映了消费者的意愿，而预算约束限制了消费者购买商品和劳务时的选择空间，这种选择空间受制于消费者的收入和相关商品及劳务的价格。本节阐释消费者所受约束的基本分析工具。一、消费者预算约束的静态分析

任何消费者进行消费选择时，必然要受到各种因素的制约。例如，收入是有限的，当用既定的收入多购买一种商品时，势必要减少对其他商品的购买。消费者如何将有限的收入分配到各种不同的商品或劳务中去的问题，称之为消费者的预算约束。消费者的预算约束通常用预算线来表示。预算线表示在消费者收入和商品或劳务的价格给定的条件下，消费者将全部收入花光可以购买到两种商品或劳务数量的不同组合形成的轨迹。将全部收入花光以及购买两种商品或劳务主要是为了简化问题，当然消费者可能会留下部分收入，也会购买多种多样的商品或劳务。对于前者，我们可以将消费者余下的收入看做是一种价格为1的商品，即货币。而对于后者，对两种商品或劳务的分析可以很容易地扩展到多种商品的情形。例如，某消费者拥有200元的收入，用来购买商品X和Y，商品X的价格为PX=5，商品Y的价格为PY=10，则200元的收入全部用来购买X商品时，可以购买40个单位，全部用来购买Y商品时，可以购买20个单位。由此得到两个组合(坐标系中的两个点)，即(40，0)和(0，20)，描到坐标系中就可以得到一条预算线，该线反映该消费者在给定收入情况下，可以购买到的X和Y商品的所有组合的轨迹，见图3-5。这条线上的任何一点都表示X和Y的组合均满足预算约束，如在该预算线上中间的一点(16，12)，表示购买16单位X、12单位Y。图3-5消费者预算线一般性地，设消费者的预算集由物品价格向量与收入水平组成。设价格向量为

p=(p1，p2，…，pn)，pi＞0，i=1，2，…，n

消费者的预算集为通过标准化，加入松弛变量，即将价格为1的货币放在预算集中，可将预算约束的弱不等式约束变为等式约束，即：p1x1+p2x2+…+pnxn≤I

p1x1+p2x2+…+pnxn+pn+1xn+1≤I

pn+1=1第n+1种商品实际就是价格为1的货币，上式还可以写成：

p1x1+p2x2+…+pnxn=I-xn+1

当只有两种商品X和Y时，设X为X商品的消费量，Y为Y商品的消费量，PX和PY分别表示X和Y商品的价格，I表示消费者的收入，Y可以看做为除X以外所有商品的复合商品(合成商品，或者干脆看做为货币)，则可得如下的预算线方程：

PX·X＋PY·Y=I

变形后可得：上式说明，预算线的斜率为两种商品价格之比的负值，反映了两种商品的相对价格对消费者预算约束的影响，而纵截距为收入与Y商品价格的商。在只有两种商品的情形下，预算线与两条坐标轴围成的三角形区域实际上表达了消费者的预算限制，可以称为消费者的预算可行集，即消费者在给定收入的情况下能够选择这一三角形区域的任一组合。如图3-6所示，三角形区域内的A点表示消费者选择了这一组合后还有收入剩余；区域外的C点表示消费者的收入不足以支付这样的组合，是消费不可能点；而预算线上的一点B则表示这一组合花完了消费者的所有收入。图3-6消费者的预算可行集二、消费者预算可行集的变化由于预算线是在消费者收入给定的情况下，而且两种商品或劳务的价格PX和PY已知时，消费者可以购买到的两种商品或劳务的各种组合。因此，当消费者的收入I、商品价格PX和PY发生变化时，就会引起预算线的移动。根据引起预算线移动的因素的不同，大致可以分为以下几种情况：

(1)两种商品或劳务价格不变，消费者收入变化。这时，当消费者收入增加时，预算线平行向外移动，消费者预算可行集扩大；反之，消费者收入减少，预算线平行向内移动，如图3-7所示。上述变化的原因很简单，商品或劳务的价格不变时，预算线的斜率不改变，收入变化只会引起纵截距和横截距的变化。图3-7价格不变，收入变化时预算线的移动

(2)消费者收入不变，一种商品或劳务的价格变动，而另一种保持不变。这时，当Y商品的价格不变时，X商品价格水平提高，则预算线的斜率绝对值变大，预算线以A点为轴向内旋转，预算线变为AB2。反之，X商品价格下降时，预算线以A点为轴向外旋转，预算线变为AB3，见图3-8。图3-8收入不变，一种价格变化时预算线的移动事实上，在这种情况下，X商品价格的变化影响到预算线的横截距，从而使预算线发生旋转。当X商品的价格不变，Y商品价格变化时，预算线将以B1点为轴发生旋转，道理也如上所述。

(3)消费者收入不变，两种商品或劳务的价格同比例变化。这时，预算线的移动与价格不变而收入变化时相同。当两种价格同时提高时，预算线的斜率不变，但其纵截距和横截距同比例减少，预算线向内平行移动；反之，当两种价格同时降低时，预算线向外平行移动，见图3-9。图3-9收入不变，两种价格同比例变化时预算线的移动

(4)消费者收入不变，两种商品或劳务的价格不同比例变化。这时，还可分为两种情况，一种是两种价格同方向不同比例变化，另一种是两种价格反方向不同比例变化，见图3-10(a)和(b)。

(5)消费者收入和两种商品或劳务的价格同时同比例同方向变化。这时，预算线不发生移动，由于两种价格同时同比例增加时，预算线的斜率不变，而消费者收入和两种价格同比例同方向变化时，纵截距和横截距的变动相互抵消，也不发生变动，从而预算线不发生移动。图3-10收入不变，两种价格不同比例变化时预算线的移动第三节消费者均衡和效用最大化

从根本上说，均衡意味着某种不再进一步变动的趋势，所谓消费者均衡，即当消费者的选择达到某种状态后，除非其他条件发生变化，否则消费者将会保持自己的选择状况，不再调整自己的选择行为。因此，在消费者均衡状态下，消费者达到现有情况下的最满意状态，即达到了效用最大化。本节说明消费者均衡的形成问题。消费者均衡的比较静态分析放在下一章予以讨论。

一、基数效用条件下的消费者均衡

在基数效用条件下，假设效用可以用具体的数值衡量。这时由于边际效用递减规律的作用，在收入给定时，面对各种商品和劳务的价格，消费者会不断调整自己在各种商品上的收入分配，直到达到效用最大化，消费者的调整行为才会稳定下来，即达到消费者均衡。为简单起见，假定消费者的收入给定，只消费两种商品X和Y，两种商品的价格分别为PX和PY。对于基数效用条件下的消费者均衡，从简单到复杂可以分为以下三个层次进行分析。

1.PX=PY=1

在此假设条件下，消费者均衡时，满足MUX=MUY，达到效用最大化。当这一条件不满足时，或者是MUX＞MUY，或者是MUX＜MUY。在前一种情况下，消费者可以减少1元Y商品的消费，用于增加X商品的购买。减少Y商品1元消费在价格为1时，意味着消费者的总效用减少MUY，而增加X商品1元消费，意味着消费者的总效用增加MUX，消费者调整的净结果是-MUY+MUX＞0，即消费者的总效用水平增加，由此可见，只要MUX＞MUY成立，消费者总可以将原来用于购买Y商品的收入转移到购买X商品上来，从而提高总效用。这样MUX＞MUY时，消费者没有达到效用最大化。另一方面，消费者调整收入分配的结果，使得X商品的消费量增加，其边际效用递减，而Y商品的消费量减少，其边际效用递增，调整的结果会使两种商品的边际效用趋于相等。当MUX＜MUY情况下，推理过程相同，两种商品的边际效用会趋于一致。因此，只有在MUX=MUY时，消费者才能达到效用最大化。

2.PX=PY≠1(即两种商品的价格相等但不等于1)这种情形更具一般性，通过单位化或标准化的方法，当两种商品的价格相等但不等于1时，按其价格将之分为价格均为1的若干等分，这样第1种情形的结论即可运用。例如，当PX=PY=4时，每1单位的X和Y商品均分为四等分，则每一等分的价格就等于1，由此，消费者达到均衡时，满足下列条件：

3.PX和PY为任一非负价格这是最一般化的情况，当两种商品为任一非负价格时，每一种商品均按其价格进行若干等分，这样每一等分的价格也都等于1，前面分析得出的结论也可以运用。消费者达到均衡时，一定满足：

如果我们将上述分析推广到有n种商品和劳务的情形，前述结论也是成立的，可以表示为其中，MU1，MU2，…，MUn和P1，P2，…，Pn分别代表n种商品和劳务的边际效用与价格。二、序数效用条件下的消费者均衡在序数效用条件下，无差异曲线表达了消费者的偏好，而预算线反映了消费者面临的收入约束。对于一个消费者来说，要在收入约束的情况下选择自身满足程度的最大化，那么消费者均衡问题实际上就是将消费者的偏好和预算线结合起来进行分析，确定消费者将在何种条件下选择哪种商品或劳务，以及选择每一种商品或劳务的数量。在上述情况下，消费者如何进行决策才能使自己的满足程度(效用水平)达到最大(假定消费者花完其全部的收入)?如图3-11所示，线段AB表示某消费者的收入给定，X商品和Y商品的价格分别为PX和PY，I1、I2、I3这三条曲线为消费者无差异曲线族中的任意三条。图3-11消费者均衡的形成我们下面分别分析几个有代表性的点(每一点都代表一种商品组合)，以寻找使消费者达到均衡的点，同样要注意消费者均衡是指如果偏离了这一状态，消费者理性选择的力量就会使其趋向均衡状态，在达到均衡状态后，当消费者面临的经济条件不变化时，消费者的选择将不会改变。首先，来看C点，一方面C点位于预算线上，另一方面C点又处于无差异曲线I1上，但消费者不会选择C点所表示的组合。这是因为，在C点虽然消费者满足预算约束，但这时处于一条较低的无差异曲线上，如果消费者选择的组合从C点沿着预算线向E点移动，那么，在仍保持满足预算约束的情况下能获得更高的效用，使无差异曲线从I1向I2靠近。同理，从C点沿着预算线一直到E点(不包括E点)上的所有点都不是均衡点。其次，来看D点，一方面D点位于预算线与两条轴所围成的三角形内部，另一方面D点又处于无差异曲线I1上，同样消费者不会选择D点所表示的组合。在D点，消费者没有花光自己所有的收入，处于较低的无差异曲线上，如果消费者选择的组合从D点向E点移动，那么，在不超出预算情况下能获得更高的效用，使无差异曲线从I1向I2靠近。同理，不包括预算线在内的预算可行集内的任何一点都与C点相似，这些点也不是均衡点。再次，来看F点，F点虽然处于更高的无差异曲线I3上，但因为位于消费者可行集的外部即处于消费者无法支付的水平上，因此也不是均衡点。同样，处于消费者预算可行集外的任何一点都不是均衡点。最后，来看E点，E点一方面处于预算线上，另一方面又是在这种情况下可能接触到的最高的无差异曲线。从E点出发，沿着无差异曲线移动虽然效用水平不变，但离开了预算线，消费者支付不起。而沿着预算线移动，无论向上还是向下，非但不会提高消费者的效用水平，反而会使效用水平降低。E点是消费者均衡点，决定了消费者的最优购买量为X1和Y1。从数学意义上说，E点是预算线和一条最高的无差异曲线的切点。因此无差异曲线I2和预算线AB的斜率在这一点上是相等的，无差异曲线的斜率为这一点的边际替代率(MRSXY)，预算线的斜率为两种商品或劳务的相对价格，所以有：而预算线的斜率为，因而有：上式就是消费者均衡的基本条件，表示在一定的收入约束条件下，消费者为了获得最大的满足程度，他应当选择的最优商品数量组合，是使得两种商品或劳务的边际替代率等于两种商品或劳务的价格之比。在这一条件中，边际替代率(MRSXY)代表了消费者对两种商品或劳务的主观喜好程度的对比，而商品或劳务的价格之比则反映了市场对其价值的判断，这样消费者均衡条件实际上就是消费者的主观愿望与客观的市场评价之间的统一。上述条件经过适当变换，可以写成：上式的经济含义是消费者用每1单位的货币所能购买到的边际效用相等时，消费者就从购买的消费组合中获得了最大程度的满足。当这一条件不满足时，消费者总可以通过调整收入在不同商品或劳务中的分配，而获得更高的效用。这与前面在基数效用条件下得出的结论是相同的。运用数学规划的方法，可以更为简洁地分析消费者均衡问题。这时，消费者要解决的基本问题是：

s.t.p·x≤I上述规划中约束条件是一个弱不等式，为此增加一个松弛变量，即价格为1的货币，可以将弱不等式约束转化为等式约束，消费者的基本问题转化为

s.t.p1x1+p2x2+…+pnxn=I构造拉格朗日函数，可得：该函数极大的一阶条件为所有的一阶偏导等于零，即：…求解可得：也可以写作：三、消费者均衡解的性质将上述分析结果总结一下，可以得出消费者均衡状态下其均衡解的基本性质如下。

1.消费者均衡的一阶条件(必要条件)消费者均衡的一阶条件为即两种商品的边际效用之比等于价格之比。

2.消费者主观偏好与市场价格的关系

消费者主观偏好与市场价格的关系推导如下：即无差异曲线的斜率等于预算线的斜率，消费者均衡既反映了自身的偏好，同时将市场中价格的约束考虑进来。在均衡条件中，左边代表消费者的主观偏好状况，右边表示市场客观的相对价格，在两者相等时达到消费者均衡，反映了消费者的消费选择与市场间的基本关系，即消费者的主观偏好与市场的客观评价之间统一时才能达到均衡。

3.等边际法则由多商品情形可以得到：

这一关系称为等边际法则，意味着在多商品情形下，当消费者达到效用最大化时，每单位货币获得的边际效用相等。当该等式不成立时，消费者总可以调整收入在不同商品中的配置，从而提高效用水平。第四节消费者需求和需求函数

在给定收入和其他商品价格的情况下，当一种商品的价格发生变动时，消费者面临的选择情境即发生变化，这时消费者的均衡解也会作出相应的调整。商品价格发生变化后，消费者行为的变动属于消费者均衡的比较静态分析，更详细的分析放在下一章，本节主要根据消费者均衡状况分析消费者对某种商品或劳务的需求，以及推导单个消费者和整个市场的需求函数。一、消费者均衡与消费者需求

在消费者均衡情况下，我们可以得出面对一定的价格，消费者愿意并且能够购买的某种商品和劳务的数量，其中的“愿意”用无差异曲线表达，反映的就是消费者的偏好，而“能够”则反映了消费者在给定收入和商品价格的情形下的支付能力，也就是收入预算约束，从而将“愿意”和“能够”结合起来的消费者均衡分析，实质上得出的就是需求概念。如果将消费者购买的商品数量作为商品价格及消费者收入的函数，这时得到的需求函数称为普通需求函数(ordinarydemandfunction)，或者称为马歇尔需求函数(Marshalldemand

function)。消费者均衡解中，消费者对某种商品的需求可以用商品价格和收入来表达。在另一种情形下，假如在商品价格变动之后，为维持消费者的效用水平保持不变，求取消费者支出最小化可以得到商品数量与商品价格的函数关系，这时求得的需求函数称为补偿需求函数(compensateddemandfunction)，或称希克斯需求函数(Hicksdemandfunction)。下面结合图形与具体的效用函数形式说明需求函数的推导。

1.单个消费者的需求曲线的图形分析单个消费者的需求曲线可以通过分析消费者均衡的变动推导出来。如图3-12所示，在其他条件不变的情况下，当商品X的价格由P1下降到P2再下降到P3，预算线将从AB1变化到AB2，接着变化到AB3，相应的消费者的均衡点从E1移动到E2再移动到E3，X商品的需求量从X1增加到X2，再增加到X3，这样，我们将当价格为P1、P2和P3时，X商品的需求量X1、X2和X3，放置到以X商品量为横轴，以价格P为纵轴的坐标系中，即可得出一条向右下方倾斜的需求曲线。图3-12单个消费者的需求曲线的推导

2.个人需求函数的数学分析下面结合例题的形式说明给定效用函数与消费者的预算约束，求解需求函数。

例3-1

假定效用函数为u=u(x1，x2)=ax1x2(a为非负参数)，消费者的预算约束p1x1+p2x2=I，则构造拉格朗日函数，得：

L=ax1x2+λ(I－p1x1－p2x2)

求关于x1、x2和λ的一阶偏导并令其等于零，得：解之可得x1和x2的需求函数：，

例3-2

假定效用函数为拟线性效用函数u(x1，x2)=x21+x2，消费者的预算约束为p1x1+p2x2=I，则构造拉格朗日函数，得：

L=x21+x2+λ(I－p1x1－p2x2)

求关于x1、x2和λ的一阶偏导并令其等于零，得：解之可得x1和x2的需求函数：，

例3-3

假定效用函数为柯布-道格拉斯型，即，消费者的预算约束为p1x1+p2x2=I，则构造拉格朗日函数，得：

求关于x1、x2和λ的一阶偏导并令其等于零，得：解之可得x1和x2的需求函数：，

例3-4

假定效用函数为u(x1，x2)=x1x2，消费者的效用约束是x1x2=，其中表示消费者获得的效用水平给定。求解该问题得到的是希克斯需求函数(补偿需求函数)。构造拉格朗日函数，得：求关于x1、x2和μ的一阶偏导并令其等于零，得：解之可得x1和x2的补偿需求函数：，

二、市场需求曲线的推导单个消费者的需求曲线反映了一个消费者面对一定的价格愿意并且能够购买的某种商品的数量。不过