电路理论基础（第三版） 课件 第10章 电路的频率响应

第十章电路的频率响应

本章介绍电路频率响应的基本概念,网络函数,串联、并联谐振电路以及电路在非正弦周期电源作用下的稳态响应。10.1电路的频率响应与网络函数10.2RLC串联谐振电路10.3并联谐振电路10.4非正弦周期电流电路的分析10.1电路的频率响应与网络函数

在通信和电子工程中,电路所要处理的信号通常都不是单一频率的正弦波,而是由许多不同频率的正弦信号所组成的。由于电路中感抗和容抗与频率有关,因此不同频率的正弦激励在电路中会产生不同的响应。电路响应随激励源频率而变化的规律,称为电路的频率响应或频率特性。10.1电路的频率响应与网络函数10.1电路的频率响应与网络函数

若响应和激励在同一个端口,则对应的网络函数称为策动点函数。策动点函数又分为策动点阻抗和策动点导纳。它们对应的情况分别如图10-1(a)、(b)所示,其中,N0是内部不含独立源的二端网络。即图10-1策动点函数的说明

策动点阻抗和策动点导纳就是第9章定义的不含独立源二端电路的等效阻抗和等效导纳。它们跟频率有关,为强调这一点,在这里将它们表示为ω的函数。

若响应和激励在不同的端口,则对应的网络函数称为转移函数,共有四种转移函数。它们对应的情况分别如图10-2(a)、(b)、(c)、(d)所示,即图10-2转移函数的说明10.1电路的频率响应与网络函数

例10-1RC电路相量模型如图10-3(a)所示,求转移电压比

,并绘出幅频特性和相频特性曲线。图10-3例10-1题图及频率特性曲线10.1电路的频率响应与网络函数解由串联电路分压公式,得10.1电路的频率响应与网络函数10.1电路的频率响应与网络函数10.2RLC串联谐振电路

在无线电、通信等电子设备中,需要一些选频电路,通常要求选频电路具有较窄的带通幅频特性,常用谐振电路作为选频网络。

含储能元件且不含独立源的线性二端网络,在某一特定条件下,其端口呈现纯电阻性,即端口电压和电流同相位,这种现象称为电路的谐振。RLC串联谐振电路和并联谐振电路是两种最基本的谐振电路。10.2RLC串联谐振电路10.2.1RLC串联电路的谐振频率和品质因数

图10-4(a)所示RLC串联电路中,设电压源为,其中Us为常数,频率ω可变。电路的阻抗为图10-4RLC串联谐振电路及其电抗的频率特性

电抗X=ωL-1/(ωC)是频率的函数,它随频率变化的曲线如图10-4(b)所示。由图可见,当ω<ω0时,ωL<1/ωC,X<0,电路呈容性;当ω>ω0时,ωL>1/ωC,X>0,电路呈感性。而在ω=ω0这个频率点,有（10-3）此时,电路的电抗为零,Z(jω0)=R,电路呈电阻性。

当电路等效阻抗的虚部为零时,称电路处于串联谐振状态。(103)式是RLC串联电路的谐振条件,由该式可得该电路的谐振角频率ω0和谐振频率f0为（10-4）上式表明,RLC串联电路的谐振频率仅决定于其元件参数L和C,它反映的是电路的固有特性。当电源频率与电路的谐振频率相等时,电路就发生谐振。在无线电设备的选频电路中,通过调节C或L,可改变电路的谐振频率,使电路与所要选择的信号发生谐振。10.2RLC串联谐振电路 RLC串联电路谐振时的感抗和容抗的绝对值相等,定义为该电路的特性阻抗,用符号ρ表示,即（10-5）特性阻抗与电阻之比定义为串联谐振电路的品质因数Q,即（10-6）品质因数是衡量谐振电路许多性质的一个重要参数。10.2RLC串联谐振电路10.2.2RLC串联电路的谐振特性10.2RLC串联谐振电路

电流和电压相量图如图10-5所示。上面三式表明,谐振时UL0与UC0的有效值相等,相位相反,UL0+UC0=0。根据这一特点,串联谐振又称电压谐振。这时,电源电压全加在电阻上,电感和电容串联部分相当于短路。但电感和电容各自的电压有效值却是电源电压有效值的Q倍。这一性质在通信和无线电技术中得到广泛应用。微弱的激励信号通过串联谐振,可在电容或电感上产生比激励电压高Q倍的响应电压。电路的Q值越大,可获得的响应电压越高,这从一个方面解释了“品质因数”名称的含义。无线电和通信设备中的串联谐振电路的Q值可达几十甚至几百。需指出,在某些场合,谐振是有害的,须加以避免。例如,在电力系统中若发生串联谐振,在电感器、电容器、电机等上面出现高电压,可能会导致这些设备击穿损坏。图10-5RLC串联电路谐振时电流、电压相量图10.2RLC串联谐振电路

谐振时电路吸收的平均功率为

由于此时电流有效值最大,因此吸收的平均功率最大。但谐振时电路吸收的无功功率为零,即Q0=QL0+QC0=UL0I0+(-UC0I0)=0上式表明,谐振时电感和电容的无功功率完全补偿,电路与电源之间无需进行无功的能量交换,这说明谐振状态下电路储存的电、磁场总能量是常数。这一结论也可由电感和电容的瞬时储能之和得出。10.2RLC串联谐振电路10.2RLC串联谐振电路10.2RLC串联谐振电路10.2.3RLC串联谐振电路的频率特性

图10-4(a)所示RLC串联电路的导纳为上式两边同除以Y0,得归一化导纳函数：（10-9）

即（10-10）10.2RLC串联谐振电路

由于I/I0=(UsY)/(UsY0)=Y/Y0,因此(1010)式表示的也是归一化电流的幅频和相频特性。式中若以归一化频率ω/ω0作为自变量,则影响频率特性曲线形状的唯一参数就是电路的品质因数Q。这样的曲线具有一定的通用性,称为RLC串联电路的通用频率特性曲线,又称为通用谐振曲线。幅频特性和相频特性曲线如图10-6(a)、(b)所示。图10-6不同Q值下RLC串联电路的频率特性10.2RLC串联谐振电路10.2RLC串联谐振电路10.2RLC串联谐振电路10.2RLC串联谐振电路10.2RLC串联谐振电路10.2.4RLC串联谐振电路的电压转移函数

图10-4(a)所示的RLC串联电路中,若以电阻电压作为输出,则电压转移函数为

可见,该电压转移函数与归一化的导纳函数相同,其频率特性曲线如图10-6所示。以电感电压为输出时,电压转移函数为其幅频特性和相频特性分别为（10-13）

以电容电压为输出时,电压转移函数为其幅频特性和相频特性分别为（10-14）10.2RLC串联谐振电路

取Q=1.5,则电压转移函数AUL(jω)及AUC(jω)的幅频特性和相频特性曲线如图10-7(a)、(b)所示。图10-7AUL(jω)、AUC(jω)的频率特性10.2RLC串联谐振电路10.2RLC串联谐振电路10.3并联谐振电路10.3.1GCL并联谐振电路

图10-8(a)所示为GCL并联谐振电路,设电路中的电流激励源幅值不变,但频率可调。该电路与RLC串联谐振电路对偶。由上一节讨论的结果,容易推得其特性。图10-8GCL并联谐振电路及其电纳的频率特性10.3并联谐振电路

电路的导纳为电路的电纳B是频率的函数,它随频率变化的曲线如图10-8(b)所示。由图可见,当ω<ω0时，ωC<1/ωL，B<0,电路呈感性；当ω>ω0时，ωC>1/ωL，B>0，电路呈容性。而在ω=ω0这个频率点,有（10-17）此时,电路的电纳为零,Y(jω0)=G,电路呈电阻性。

当电路等效导纳的虚部为零，称电路处于并联谐振状态。(10-17)式是GCL并联电路的谐振条件，由该式可得该电路的谐振角频率ω0和谐振频率f0为（10-18）10.3并联谐振电路上式表明，GCL并联电路的谐振频率仅决定于其元件参数L和C。

并联谐振电路的品质因数Q定义为（10-19）

并联谐振时，导纳的模具有最小值。电路中的电压为可见，谐振时电压不仅与电流激励同相位，且电压有效值U0为最大值。这是GCL并联谐振的一个重要特征。

谐振时，三个元件的电流分别为10.3并联谐振电路

电流和电压相量图如图10-9所示。上三式表明，谐振时,IL0与IC0有效值相等，相位相反,IL0+IC0=0。根据这一特点，并联谐振又称为电流谐振。谐振时，电源电流全通过电导，电感和电容并联部分相当于开路，但电感和电容各自的电流有效值却是电源电流有效值的Q倍。图10-9GCL并联谐振电路谐振时电流、电压相量图10.3并联谐振电路 GCL并联谐振电路的阻抗为上式两边同除以Z0，得归一化阻抗函数为（10-20）即（10-21）由于U/U0=(IsZ)/(IsZ0)=Z/Z0，故(10-21)式也是归一化电压的频率特性。10.3并联谐振电路

将(10-21)式与(10-10)式比较可知，GCL并联电路归一化阻抗的频率特性与RLC串联电路归一化导纳的频率特性相同。将图10-6(a)、(b)中的纵轴变量分别改为|Z/Z0|及φZ(ω)，即可得到GCL并联电路归一化阻抗的幅频特性和相频特性。

并联谐振电路的通频带为（10-22）

比较串联谐振和并联谐振电路，在L、C值一定时，串联谐振电路中电阻越小，品质因数Q越高;并联谐振电路中电阻越大(电导越小)，Q值越高。由于实际信号源含有内阻，因此为减少信号源内阻对谐振电路Q值的影响，串联谐振电路宜配合低内阻信号源工作，而并联谐振电路则宜配合高内阻信号源工作。10.3并联谐振电路10.3.2实际并联谐振电路

实际的并联谐振电路大多由电感线圈与电容器并联组成。电容器的损耗很小，可忽略不计，电感线圈可等效为R、L串联支路，其电路模型如图10-10(a)所示。图10-10实际并联谐振电路及其等效电路10.3并联谐振电路

为利用GCL并联谐振电路的分析结果，将R、L串联支路等效变换为并联支路，得到如图10-10(b)所示电路。其中，等效电导G'和等效电感L'应满足:即（10-23）

可见，G'和L'均与频率有关，将谐振时的G'和L'分别记为G'0和L'0。

当电路总电纳为零时电路发生并联谐振。此时ω0C=1/(ω0L')，因此电路的谐振角频率ω0应满足:10.3并联谐振电路由上式解得（10-24）由上式可见，只有当1-CR²/L>0，即时，电路才存在非零实数谐振频。若

，则电路不会发生谐振。

电路的品质因数为（10-25）式中，QL=ω0L/R，称为电感线圈在ω0时的品质因数。即实际并联谐振电路的品质因数等于电感线圈的品质因数。10.3并联谐振电路

谐振时电路的导纳为将(10-24)式代入上式，化简后得谐振时，电感线圈与电容器并联相当于一个电阻，若以R0表示，则谐振时，图10-10(b)电路中支路电流为10.3并联谐振电路

各支路电流和电压相量如图10-11所示。可见，谐振时电容电流与电感线圈电流的电抗分量I'L0之和为零。

实际使用的电感线圈品质因数较高，一般能满足R≪ω0L。由(10-23)式可知，在谐振频率附近，有L'≈L，故谐振频率可近似为（10-26）代入(10-25)式，得品质因数为（10-27）工程计算时常用(10-26)式和(10-27)式。图10-11实际并联谐振电路谐振时的电流、电压相量图10.4非正弦周期电流电路的分析

电子工程中，许多实际电路所处理的信号常常包含多个不同频率的正弦分量，或者是各种非正弦周期信号，如方波信号、三角波信号、锯齿波信号等。线性电路在非正弦周期信号源的作用下，进入稳态后，电路中各电流和电压都是非正弦周期函数。这类电路称为非正弦周期电流电路。

可将非正弦周期电源展开成傅立叶级数，然后用叠加原理对电路进行计算，这是分析非正弦周期电流电路的方法。10.4非正弦周期电流电路的分析10.4.1周期激励信号的分解和非正弦周期电流电路的分析

根据高等数学的有关理论，满足一定条件的周期信号可用傅立叶级数展开。

设周期信号f(t)的周期为T，且满足狄氏条件:10.4非正弦周期电流电路的分析10.4非正弦周期电流电路的分析

例如，图10-12(a)所示的方波信号，它在0~T一个周期内的表达式为图10-12方波信号及其近似波形图10.4非正弦周期电流电路的分析10.4非正弦周期电流电路的分析

作用于线性电路的非正弦周期激励信号分解为若干分量之后，可用叠加定理求电路的稳态解。激励源的每一谐波分量在电路中产生相应的正弦稳态响