电路理论基础（第三版） 课件 第7章 二阶电路

第七章二阶电路

由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。当电路中包含一个电容和一个电感,或两个电容,或两个电感时①,用以描述其变化规律的方程为二阶微分方程,因此这类电路称为二阶电路。如同一阶电路一样,二阶电路中可包含任意数目的电阻、独立源和受控源。分析二阶电路的二阶微分方程的求法是本章的重点。7.1RLC串联电路的零输入响应7.2恒定电源作用下RLC串联电路的全响应7.3恒定电源作用下GLC并联电路的全响应7.1RLC串联电路的零输入响应7.1.1RLC串联电路的二阶微分方程

本节通过R、L、C串联电路的放电过程来研究二阶电路的零输入响应。电路如图7-1所示,假设电容的初始电压为uC(0),电感的初始电流为iL(0),参考方向如图7-1所示。由KVL可列出方程：uR（t）+uL（t）+uC（t）=0（7-1）图7-1RLC串联二阶电路7.1RLC串联电路的零输入响应代入电容、电阻和电感的电压电流关系VAR：得到以下微分方程：（7-2） (7-2)式是一个以uC(t)为未知量的R、L、C串联电路放电过程的微分方程,它是一个线性齐次常系数二阶微分方程。其特征方程为：LCλ²+RCλ+1=0

（7-3）解得（7-4）7.1RLC串联电路的零输入响应

其中,λ1、λ2为微分方程的特征根,也称为电路的固有频率。当电路元件参数R、L、C的量值不同时,特征根可能出现以下三种情况：

当两个特征根为不相等的负实根时,称电路是过阻尼的;当两个特征根为相等的负实根时,称电路是临界阻尼的;当两个特征根为共轭复数根时,称电路是欠阻尼的。以下分别讨论这三种情况。7.1RLC串联电路的零输入响应7.1.2过阻尼情况7.1RLC串联电路的零输入响应

例7-1电路如图7-1所示,已知R=3Ω,L=0.5H,C=0.25F,uC(0)=2V,iL(0)=1A,求电容电压和电感电流的零输入响应。7.1RLC串联电路的零输入响应

用Matlab画出的电容电压和电感电流的波形如图7-2所示。从波形图可以看出,在t>0以后,电感电流减少,电感放出它贮存的磁场能量,一部分以热能的形式被电阻所消耗,另一部分转变为电场能量,使电容电压增加。到电感电流变为零时,电容电压达到最大值,此时电感放出全部磁场能量,在该时刻之前电容一直在吸收能量。此后,电容放出电场能量,一部分被电阻消耗,另一部分转变为磁场能量,但此段时间,流经电感的电流方向与开始时相反。当电感电流达到负的最大值后,电感和电容均放出能量供给电阻消耗,直到电阻将电容和电感的初始储能全部消耗完为止(转换为热能)。因此,过阻尼情况是一种非振荡的放电过程。图7-2过阻尼情况(a)电容电压的波形;(b)电感电流的波形7.1.3临界阻尼情况

当

时,电路的固有频率λ1、λ2

为两个相同的负实数,令λ1=λ2=λ,齐次微分方程的解为（7-8）令t=0,代入(7-8)式得

uC（0）=k1

（7-9）(7-8)式两边对t求导得

将k1、k2的计算结果代入(7-8)式得到电容电压的零输入响应,进一步计算可以得到电感电流的零输入响应。7.1RLC串联电路的零输入响应图7-3临界阻尼情况(a)电容电压的波形;(b)电感电流的波形7.1RLC串联电路的零输入响应7.1RLC串联电路的零输入响应7.1.4欠阻尼情况

当

时,

的固有频率λ1和λ2为两个共轭复数根。它们可以表示为7.1RLC串联电路的零输入响应7.1RLC串联电路的零输入响应

电容电压和电感电流的波形如图7-4(a)和图7-4≥(b0))所示。图7-4欠阻尼情况(1)图7-5欠阻尼情况(2)(a)衰减系数为3的电容电压波形;(a)衰减系数为0.5时的电容电压波形(b)衰减系数为3的电感电流波形;

(b)衰减系数为0.5时的电感电流波形

从(7-11)式和图7-4可以看出,欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换,R形成衰减振荡。电阻越小,单位时间消耗能量越少,曲线衰减越慢。当例7-3中电阻由R=6Ω减小到R=1Ω时,衰减系数由3变为0.5,此时电容电压和电感电流的波形曲线如图7-5(a)和图7-5(b)所示,由图可以看出,曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零,这时衰减系数也为零,电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。7.1RLC串联电路的零输入响应7.1.5零阻尼情况

当二阶电路中没有耗能元件(电阻)时,电路中将没有能量损耗,能量在电容和电感之间交换,总能量不会减少,形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为90°,当电容电压为零时,电场储能为零,电感电流达到最大值,全部能量贮存于磁场中;而当电感电流为零时,磁场储能为零,电容电压达到最大值,全部能量贮存于电场中。7.1RLC串联电路的零输入响应7.1RLC串联电路的零输入响应图7-6无阻尼情况(a)电容电压波形;(b)电感电流波形

具有直流激励的RLC串联电路如图7-7所示,其中us(t)=Us,可以利用初始条件uC(0)=U0和iL(0)=I0来求解非齐次微分方程,得到全响应。可列出电路的微分方程为（7-12）上式的解由对应齐次微分方程的通解与非齐次方程的特解之和组成：uC（t）=uCh（t）+uCp（t）电路的固有频率为图7-7RLC串联二阶电路7.2恒定电源作用下RLC串联电路的全响应7.2恒定电源作用下RLC串联电路的全响应7.2恒定电源作用下RLC串联电路的全响应7.2恒定电源作用下RLC串联电路的全响应图7-8例7-6电容电压和电感电流波形曲线

(a)电容电压零状态响应;(b)电感电流零状态响应;(c)电容电压零输入响应;(d)电感电流零输入响应;(e)电容电压全响应;(f)电感电流全响应 GLC并联电路如图7-9