电路理论基础（第三版） 课件 第6章 一阶电路

第六章一阶电路电阻电路和动态电路都受到KCL和KVL的约束。研究动态电路的经典方法为求解微分方程法。我们经常遇到的只含一个动态元件的线性、非时变电路,其描述方程为一阶线性常系数微分方程。本章研究一阶电路,重点为无电源一阶电路和具有恒定激励源的一阶电路,分析方法为求解一阶线性常系数微分方程。在此基础上推出适用于分析激励电源为常数的一阶电路的三要素法。关于用叠加原理求解电路的方法也是本章的另一线索。同时,本章还将介绍有关动态电路的一些基本概念:零输入响应和零状态响应;暂态和稳态;时间常数和固有频率等。6.1线性与时不变性6.2一阶电路的零输入响应6.3恒定电源作用下一阶电路的零状态响应6.4恒定电源作用下一阶电路的全响应和线性动态电路的叠加定理6.5复杂一阶电路的分析方法6.6阶跃函数和阶跃响应6.7分段常量信号作用下一阶电路的响应6.8正弦信号激励下一阶电路的响应6.1线性与时不变性本章所研究的动态电路都只限于线性、非时变的。那么一个动态电路满足什么条件时,才是线性与非时变的呢?下面分别叙述。将一个动态电路的激励源从中拿去,剩下的部分构成一个双端口网络,一个端口接输入,另一个端口输出响应。当该系统满足均匀性与叠加性时,称之为线性系统。均匀性与叠加性的意义是:对于给定的系统,若x1(t)、y1(t)和x2(t)、y2(t)分别代表两对激励与响应,则当激励源为c1x1(t)+c2x2(t)时(c1,c2分别是常数),系统的响应为c1y1(t)+c2y2(t)。此特性示意于图6-1中。图6-1线性系统的均匀性与叠加性6.1线性与时不变性对于时不变系统(非时变性),在同样初始状态下,系统响应与激励施加于系统的时刻无关。若激励x(t)产生响应y(t),则激励x（t-t0）产生的响应为y(t-t0)。此特性如图6-2所示。这表明激励延迟t0,响应也延迟t0。图6-2时不变系统特性6.2一阶电路的零输入响应6.2.1一阶RC电路的零输入响应零输入响应:指电路在没有外加输入时的响应。没有输入,哪来的响应?原因就在于初始时刻电路中动态元件(电容、电感)已经贮有能量,也即意味着在初始时刻前,一定有电源作用过。因为我们研究的是初始时刻以后的电路响应,所以如果在初始时刻后,电路内已无电源作用,那么,电路的响应就是零输入响应。在研究动态电路的响应时,都是指在某一具体的初始时刻以后的响应,这一初始时刻常被选为时间的起点,即t=0。6.2一阶电路的零输入响应设电路如图6-3(a)所示,在t<0时,开关S1一直闭合,因而电容C被电压源充电到电压U0。在t=0时,开关S1打开而开关S2同时闭合,假定开关动作瞬时完成。开关的动作常称为“换路”。这样,通过换路,我们便得到如图6-3(b)所示的电路,在该电路中,当t≥0时电路中虽无电源,但仍可能有电流、电压存在,构成零输入响应。图6-3RC零输入响应(a)t<0时的电路;(b)t≥0时的电路6.2一阶电路的零输入响应

先从物理概念上对以上电路进行定性的分析。在t=0的瞬间,电容与电压源脱离而改为与电阻相连接,但电容电压不能突变。这是因为:如果在换路瞬间电压立即由原来的U0值改变为其他数值,发生跃变,那么流过电容的电流将为无限大,电阻电压也将为无限大,而在该电路中并无其他能提供无限大电压的电源,使得电路中各电压能满足KVL条件。因而,电流只能为有界的,电容电压不能跃变。所以有uC(0+)=uC(0-)=uC(0)=U0,因此,此刻通过电阻的电流为U0/R,而iR(0-)=0≠iR(0+)=U0/R,也即电路中电流发生了突变。之后电容通过R放电,电容上电压将逐渐减小,最后降为零,电流也相应地从U0/R值逐渐下降至零。在这个过程中,初始时刻电压为U0的电容所存贮的能量逐渐被电阻所消耗,转化为热能。6.2一阶电路的零输入响应下面定量分析。设各元件参考方向如图6-3(b)所示,列微分方程为6.2一阶电路的零输入响应如果取U0=1V,RC=0.25s,那么得到的uC(t)波形如图6-4所示。电路中的电流波形与电压波形大致相当,只是幅度差一个常数而已。量纲分析可知,当R的单位是欧姆、C的单位是法拉时,RC的单位是秒。在这里记τ=RC,τ称为时间常数。τ越大,电压幅度衰减越慢;τ越小,电压幅度衰减越快。工程上近似认为经过3τ~5τ时间,电压可以衰减到零。图6-4电容电压的零输入响应波形例6-2电路如图6-5所示,已知R1=9Ω，R2=4Ω，R3=8Ω，R4=3Ω，R5=1Ω，t=0时开关打开,求uab(t)，t≥0。图6-5例6-2题图(a)t<0时的电路;(b)t≥0时的电路6.2一阶电路的零输入响应6.2.2一阶RL电路的零输入响应

另一类典型的一阶电路是RL电路,电路如图6-6所示。在t<0时,电路如图6-6(a)所示,开关S1与b相连,S2打开,电感L由电流源I0供电。设在t=0时,S1迅速投向c端,S2同时闭合,这样,电感L便与电阻相连接,电路如图6-6(b)所示。

现定性分析,电路如图6-6(b)所示,在S2动作瞬间,由于电感电流不能跃变,因而仍然具有电流I0,该电流将随着时间的推移而逐渐下降直至为零。在这一过程中,初始时刻电感存贮的磁能逐渐被电阻消耗,转化为热能。图6-6具有初始电流I0的电感与电阻相连接(a)t<0时的电路;(b)t≥0时的电路

6.2一阶电路的零输入响应现定量分析。由图中参考方向,并根据KVL列方程,有将初始条件iL(0)=I0代入上式,得

若取I0=1A,L/R=0.25s,则其电流波形也如图6-4所示。从图中可以看出,随着时间的增加,电流iL

在逐渐减小,直至为零。量纲分析可知,当R的单位是欧姆,L的单位是享利时,L/R的单位是秒。在这里记τ=L/R,τ为时间常数。τ越大,电流幅度衰减越慢；τ越小,电流幅度衰减越快。6.2一阶电路的零输入响应6.3.1恒定电源作用下一阶RC电路的零状态响应

零状态响应：指零初始状态的响应。这是在零初始状态下,由在初始时刻开始施加于电路的输入所产生的响应。其实,这就是我们常常遇到的问题,即在电路的输入端加上激励,然后求其在输出端的响应。图6-9电流源与RC电路相连6.3恒定电源作用下一阶电路的零状态响应6.3恒定电源作用下一阶电路的零状态响应

设直流一阶电路如图6-9所示,电流源在t=0时刻加入电路,求其输出响应uC(t)。在定量分析前,我们先从物理概念上定性阐明接上电流源之后,电容上电压uC(t)的变化趋势。由于流过电容上的电流只能为有界的,因此电容电压不能跃变,从而有uC(0+)=uC(0-)=0,所以在初始时刻流过电阻R上的电流为零,相当于在零时刻(仅仅是一个时间点而不是一个时间段),电阻被电容短路,所有电流均流过电容。随着时间的推移,电容上逐渐积累了电荷,形成电压,也即uC(t)不再为零,这时电阻R上会有电流流过。随着电容电压的逐渐增长,流过电阻的电流也在逐渐增长,又因为总电流Is为常量,所以流过电容的电流将逐渐减少。随着时间的延长,将会出现所有电流都流过电阻,电容如同开路的现象,这时充电停止(理论上说充电永不停止,但实际中,在数秒或是数毫秒内将完成对电容的充电过程,这取决于时间常数τ),电容电压uC≈RIs。当直流电路中各个元件的电压和电流都不随时间变化时,我们说电路进入了直流稳态。6.3恒定电源作用下一阶电路的零状态响应

现定量计算。在t=0时刻后,三个元件的电压是一样的,均为uC,列微分方程,得6.3恒定电源作用下一阶电路的零状态响应6.3.2恒定电源作用下一阶RL电路的零状态响图6-10电压源与RL电路相连

如图6-10所示RL电路,电感电流的零状态响应也可作类似的分析。设开关在t=0时闭合,由于电感电流不能跃变,因此在t=0+时刻,电感电流仍为零,所以电阻上没有压降,全部电压在t=0+时刻施加在L上,此时相当于电感断路;在电感电压的作用下,电流iL快速增长,于是电阻上形成电压;随着时间的推移,电流越来越大,电阻电压也就越来越大,又因为总电压Us为常量,所以电感电压越来越小;最终电流增大到约为Us/R,则电阻电压约为Us,电感电压约为零,相当于短路。至此,电路进入直流稳态。经过类似RC电路零状态响应的求解步骤(请读者自行推导),可求得（6-6）6.3恒定电源作用下一阶电路的零状态响应

例6-5如图6-11所示,当t=0时,开关S闭合,电感无初始储能,求t≥0时的iL(t)和uR(t)。图6-11例6-5题图解由图列微分方程组,得解此方程组得（6-7）6.3恒定电源作用下一阶电路的零状态响应从uC(t)和iL(t)的表达式可以看到:若外施激励增加至α倍,则零状态响应也增大至α倍。这种外施激励和零状态响应之间的正比关系称为线性动态电路的零状态比例性,是线性动态电路激励与响应呈线性关系的反映。若有多个独立电源作用于电路,则可以运用叠加定理求出零状态响应。6.3恒定电源作用下一阶电路的零状态响应6.3.3零状态响应中的固有响应分量与强制响应分量 从uC(t)和iL(t)的表达式可知,RC和RL电路的零状态响应都包含两项。 响应中的一项是齐次微分方程的通解,为

的形式,这一响应分量的变化形式总是按指数规律衰减的,衰减的快慢由时间常数τ来确定,而τ的大小由电路本身的参数所决定。虽然k的数值与输入有关,但输入的大小不能改变它的函数形式,因此这一分量称为固有响应分量,它反映了电路本身的固有性质。当t→∞时,这一响应分量,因此,又称为暂态响应。 响应中的另一项是非齐次微分方程的特解,它与激励的变化规律相同,即取决于输入,因此,这一分量称为强制响应。当t→∞时,暂态响应分量已衰减为零,这时零状态响应就只有强制分量存在,因此,这一分量又称为稳态响应。在恒定电源作用下的一阶电路中,稳态响应是一恒定的直流量,称为直流稳态。6.4恒定电源作用下一阶电路的全响应

和线性动态电路的叠加定理

全响应就是电路在初始状态和电源输入共同作用下的响应。

求解全响应的问题仍然需要解非齐次微分方程,因此前面求解一阶电路零状态响应的方法同样适用于求解电路的全响应,只是初始条件不同而已。

下面以RC电路为例,讨论全响应的计算问题。图6-12RC电路6.4恒定电源作用下一阶电路的全响应

和线性动态电路的叠加定理

如图6-12所示电路,在开关闭合之前电容C已充电,其电压为U0,开关闭合后,直流电压源Us接入电路。根据KVL,有由换路定律可知初始条件为uC(0+)=uC(0-)=U0方程的通解为（6-9）代入初始值,可求得k=U0-Us故得所求响应为（6-10）6.4恒定电源作用下一阶电路的全响应

和线性动态电路的叠加定理

若图6-12所示电路中的Us=0,则由6.2节所述方法可求得此即为该电路电容电压的零输入响应。如果在图612≥所0)示电路中,令U0=0,则由6.3节所述方法可求得此即为该电路电容电压的零状态响应。显然这也就是说,

由上述可见,完全响应为零输入响应与零状态响应之和。对于线性动态电路来说,这是一个普遍的规律。零输入响应是由非零初始状态产生的,相应地,电容的非零初始电压和电感的非零初始电流也可看成是一种输入,第5章电容、电感的等效电路就表明这一点。因此,线性动态电路的完全响应是来自电源的输入和来自初始状态的输入分别作用时所产生的响应的代数和,也就是说,完全响应是零输入响应和零状态响应之和。这一结论来源于线性电路的叠加性而又为动态电路所独有,称为线性动态电路的叠加定理。6.5复杂一阶电路的分析方法6.5.1分解分析法

分解分析法的思路如图6-15所示:我们总可以将一个动态电路分解为两个单口网络,其中一个网络仅含电源和电阻元件(包括受控源),另一个只含动态元件;然后,我们将含源电阻网络用戴维南定理化简为电压源与电阻的串联电路或用诺顿定理将之化简为电流源与电阻的并联电路。

图6-15(b)中,uoc(t)是含源电阻网络端口开路电压,Req是戴维南等效电阻;图6-15(c)中,isc(t)是含源电阻网络端口短路电流,Geq是诺顿等效电导。

图6-15分解分析法原理图(a)单一电感元件的电路;(b)用戴维南定理化简;(c)用诺顿定理化简6.5复杂一阶电路的分析方法

对于含电容C的一阶电路,也可作类似化简。

利用化简后的电路可方便地列方程求出电容电压uC和电感电流iL,若还需要计算电路中其他的电流、电压,则回到原电路进一步计算。由于电容电压或电感电流已求得,因此在后续的计算中可将电容用一个电压源替代或将电感用一个电流源替代。原电路作这样的替代后成为一个电阻性的电路,可利用前几章介绍的电阻电路的各种分析方法求解。6.5复杂一阶电路的分析方法

例6-8题目与电路图均如例6-6所示,用分解分析法求该题。图6-16例6-8求解过程用图(a)求开路电压;(b)求等效电阻;(c)等效电路;(d)电流源替代电感的等效电路

解求解uoc及Req的电路如图6-16(a)、(b)所示。6.5复杂一阶电路的分析方法6.5.2三要素法

以上对一阶线性动态电路的分析主要是求解一阶线性常系数微分方程,当合理使用分解分析法时,将使得电路的求解变得较为简单。下面我们介绍求解一阶线性动态电路的另一个重要方法———三要素法。

当输入为直流时,图6-15(b)及6-15(c)中的uoc(t)及isc(t)均为常数。如以图6-15(b)为例,且令uoc(t)=U,则可列出其对应的微分方程为（6-15）6.5复杂一阶电路的分析方法

这便是求解一阶线性电路的三要素法公式。根据理论推导还可以得出重要结论①:直流一阶电路中任一支路电流、电压也能表示为(6-21)式或(6-22)式的形式;同一电路中的各电压、电流具有相同的时间常数。这些统称为一阶线性电路的三要素法。6.5复杂一阶电路的分析方法

特别需要注意的是,三要素法不适用于交流电源的电路,只可用于恒定电源的电路。如果电路中的电源为零,即零输入情况,也可用三要素法求解。

三要素法可按下列步骤进行：(1)初始值uC(0+)和iL(0+)的计算。①根据t<0的电路,计算出t=0-时刻的电容电压uC(0-)和电感电流iL(0-);②根据换路定律确定uC(0+)和iL(0+);③假如还要计算其他变量在0+时刻的初始值,画出0+等效电路求解。(2)稳态值uC(∞)和iL(∞)的计算。根据t>0的电路,将电容用开路代替,电感用短路代替,得到一个直流电阻电路,再从此电路中计算出稳态值uC(∞)、iL(∞)和其他变量的稳态值。(3)时间常数τ的计算。先计算与电容或电感连接的线性电阻单口网络的戴维南等效电阻Req,然后用τ=ReqC或τ=L/Req计算出时间常数。(4)将uC(0+)、uC(∞)、τ代入(622)式或将iL(0+)、iL(∞)、τ代入(621)式得到uC

或iL的表达式。其他变量的表达式也可根据其初值、稳态值及时间常数τ直接写出。6.5复杂一阶电路的分析方法

例6-9电路如图6-17(a)所示,换路前已达稳态,求换路后的i和u。图6-17例6-9题图及求解6.5复杂一阶电路的分析方法

解由换路前的电路可求得uC(0+)=uC(0-)=2×(5+3)=16V

换路后电路如图6-17(b)所示,电容左边二端电路的戴维南等效电阻为Req=2+3=5Ω,因此电路的时间常数为τ=ReqC=5×0.2=1s t=0+时刻的等效电路如图6-17(c)所示,由该电路可求得i(0+)=-4A,u(0+)=12V

电路进入稳态后,电容相当于开路,如图6-17(d)所示,由该电路可求得i(∞)=-2A,u(∞)=6V

由三要素公式可直接写出i和u的表达式如下：

可将三要素法和分解分析法综合使用,先将电路化简,再用三要素法求解。6.6阶跃函数和阶跃响应6.6.1阶跃函数

单位阶跃信号的波形如图6-20(a)所示,通常以符号u(t)表示,有（6-23）在跳变点t=0处,函数未定义,或在t=0处规定函数值u(0)=1/2。

单位阶跃函数的物理背景是,在t=0时刻对某一电路接入单位电源(可以是直流电压源或直流电流源),并且无限持续下去。图6-20(b)表示了接入1V直流电压源的情况,在接入端口处电压为阶跃信号u(t)。图6-20单位阶跃函数

如果接入电源的时间推迟到t=t0时刻(t0>0),那么可用一个“延时的单位阶跃函数”来表示,波形如图6-21所示。这时有（6-24）图6-21延时的单位阶跃函数

6.6阶跃函数和阶跃响应

矩形脉冲可利用阶跃及其延时信号来表示,如两矩形脉冲信号波形如图6-22(a)、(b)所示,则有 用阶跃函数可以鲜明地表现出信号的单边特性,即信号在某接入时刻t0以前的幅度为零。利用阶跃函数的这一特性,可以较方便地以数学表达式描述各种信号的接入特性。如定时长单边指数信号,见图6-22(c),有图6-22用阶跃函数表示信号(a)矩形脉冲1;(b)矩形脉冲2;(c)定时长指数信号6.6阶跃函数和阶跃响应

例6-12电路如图6-23所示,试求t≥0时电感电流iL(t)。

解图中阶跃电压源为10u(-t)V,表示在t<0时直流电压源作用于电路,当t≥0时,电压源将移去;阶跃电流源2u(t)A表示当t≥0时,直流电流源开始作用于电路。根据三要素法计算本题,步骤如下:(1)计算电感电流的初始值iL(0+):(2)计算电感电流的稳态值iL(∞):(3)计算电路的时间常数τ:(4)根据三要素公式(6-21)式得图6-23例6-12题图

本例中,利用两个阶跃电源表示了电路的换路情况。6.6阶跃函数和阶跃响应6.2.2阶跃响应

电路对单位阶跃电源的零状态响应称为单位阶跃响应,用s(t)表示。一阶电路的阶跃响应可用三要素法求解。

例6-13求如图6-24所示电路的单位阶跃响应i(t)。

解图6-24例6-13题图

需要指出的是,由于线性电路具有叠加性,因此如果电路的输入是幅度为A的阶跃信号,则根据零状态比例性可知As(t)即为该电路的零状态响应。但如果电路在阶跃信号输入的时刻不是零状态,电路的完全响应就应包括电路的阶跃响应和零输入响应之和,这一点在电路分析时要予以注意。6.6阶跃函数和阶跃响应

在电路中,我们常遇到如图6-26所示的信号作用于电路的情形,这类信号称为分段常量信号。运用阶跃函数和延时阶跃函数,分段常量信号可以表示为一系列阶跃函数之和。将分段常量信号分解为阶跃信号后,即可以按直流一阶电路处理。图6-26RC串联电路在分段恒定信号激励下的零状态响应

根据6.1节知识,对于线性、非时变电路,由于电路的参数不随时间变化,因此,若单位阶跃信号作用下的响应为s(t),则该电路在延时阶跃信号u(t-t0)作用下的响应即为s(t-t0)(非时变性);该电路在Au(t-t0)信号作用下的响应为As(t-t0)(叠加性)。6.7分段常量信号作用下一阶电路的响应

图6-26(b)所示的信号作用于图6-26(a)所示的RC串联电路时,由于图6-26(b)中的信号可以分解为下面所示的若干个延迟阶跃信号的叠加：Us（t）=u（t）+2u（t-t1）-4u（t-t2）+3u（t-t3）-2u（t-t4）因此,其电容电压uC(t)的零状态响应可以表示为uC（t）=s（t）+2s（t-t1）-4s（t-t2）+3s（t-t3）-2s（t-t4）

其中：

因此,若一阶电路中的电源是方波或其他分段常量信号,则可采用叠加法对电路加以分析。6.7分段常量信号作用下一阶电路的响应6.7.1叠加分析法

根据叠加定理,各阶跃信号分量单独作用于电路的零状态响应之和即为该分段常量信号作用下电路的零状态响应。因此可用叠加分析法对这类问题进行分析,具体方法如下：(1)将分段常量信号f(t)分解:

(2)计算电路对每一分量的零状态响应

(3)叠加,求得电路对信号f(t)总的零状态响应:

(4)如电路原始状态不为零,则求出电路的零输入响应,从而得到全响应:全响应=零状态响应+零输入响应6.7分段常量信号作用下一阶电路的响应

例6-15电路如图6-27所示,求零状态响应i(t),并求i(0-)=-1A时的全响应i(t)。图6-27例6-15题图6.7分段常量信号作