高一数学参考答案

参考答案

7.1.1角的推广

师生互助

例1：C

［解析］-510°=-720°+210°,.*.-510°角与210°角终边相同，故C.

变式1：C

［解析］一457°角与一97°角终边相同，又一97°角与263°角终边相同，又

263°角与k・360°+263°角终边相同，，应选C.

变式2：D

［解析］(0,—3)在y轴上，当a终边在坐标轴上时，我们认为这个角不属于

任何象限.

例2：C

［解析］480°=360°+120°,-960°=-3X360°+120°,~1600°=

-5X360°+200°,故①②③是第二象限的角，④是第三象限的角.

变式1：C

［解析］终边在x轴上角的集合为{a|a=k-180°,kGZ}.

变式2：C

［解析］终边在x轴上的角的集合为{a|a=hl80。，fc£Z},

终边在y轴上的角的集合为{a|a=9(F+4T80。，左ez},

.,.终边在坐标轴上的角的集合为{a|a=L180。，jtGZ}U{<z|a=90°+jt-180°,ke

Z}={a|a=2A?90。,Z}U{a|a=90°+2fc-90°,fceZ}={a|a=n-90°,〃GZ}.

例3：在一720°-360°范围内与一1020°终边相同的角有三个，分别是：一

660°、-300°、60°

［解析］与T020°终边相同的角。=4•360°-1020°(AGZ).

令一720°W4・360°-1020°<360°,

523

解得言■丁，而AGZ,.，.A=1、2、3.

66

当A=1时，a=-660°，当A=2时，a=-300°，当A=3时，。=60。.

故在一720°~360°范围内与一1020°终边相同的角有三个，分别是：一

1

660°、-300°、60°.

变式L

-720°〜720°间与135°角终边相同的角有一585°、-225°、135°、

495°.

［解析］所求集合为{。|。=4・360°+135°,AGZ}.

在a=4・360°+135°中，当左=一2时，。=一585°；当4=一1时，

a=-225°；当4=0时，。=135°；当A=1时，。=495°.

所以一720°〜720°间与135°角终边相同的角有一585°、―225°>135°、

495°.

生生互助

1、A

［解析］为锐角，，0。《/<90。，，。上2"建。。，故选A

2、B

［解析］各角和的旋转量等于各角旋转量的和，，120。+(—270。)=一150。.

3、B

［解析］特例法，取a=30。，可知C正确.

4、C

［解析］由a是第四象限角知，270°+k•360°<a<360°+k•360°(kGZ),

由此可得一180°-k*360°<180°-a<-90°-k*360°(kGZ),因此180°

一a是第三象限角.

一或第二或第四

［解析］将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分，从x轴右上方开

2

图中标有数字2的位置即为葭角的终边所在位置，故彳是第一或第二或四

象限角.

48

6.864。.［解析］小链轮转过的角度为万义360。=864。.

三、解答题

、3嗯120°

［解析］⑴选定。4,在一180。〜180。间，把图⑴中以OA为终边的角看成

-60°,以05为终边的角看成150。，则:{«|-60°+Jt-360°<a<150°+*-360°,k

GZ).

把图中X轴下方的阴影部分看成是由X轴上方的阴影部分旋

转180。得到的，贝!){团120。+左•180。<々<180。+如180。,左GZ}.

8。=£+4・180°,AGZ.

［解析］由于。、/在一直线上，因此。、£角终边相同或互为反向延长线，

它们相差180°的整数倍.所以。一£=4・180°,AGZ,工a=£+A・180°,

kGZ.

9、2.5°,30°.

［解析］将时针拨慢5min时针转了5义黑£=2.5。分针转了5义噜-=30°.

lzXoU0U

课后分层训练

1.［解析］(1)当4=4〃(AeZ)时，a=Z7«360°+45°与45°角终边相同；

当4=4A+1(AGZ)时，。=〃・360°+135°与135°的终边相同；

当A=4A+2(AWZ)时，。=〃・360°+225°与225°的终边相同；

当A=4A+3(AWZ)时，a=/7•360°+315°与315°的终边相同.

所以，在给定的角的集合中共有4种终边不相同的角.

97

(2)由一360°<k*90°+45°<360°，得一小木可.又4《Z.故A=-4,一3,

Lt4

3

0,1,2,3.所以，在给定集合中落在一360°〜360°之间的角共有8个.

(3)其中，第二象限可表示为Q=A・360°+135°,AWZ.

2.M^P［解析］对集合〃来说，x=(2A±l)X45。，即45。的奇数倍；对集合

夕来说，x=(A±2)X45°,即45°的倍数.

7.1.2弧度制及其与角度制的换算

师生互助

例1:

B

变式1：

n143

D［解析］2145°=2015X-r-rad=F7nrad.

loll1Z

变式2：

C

例2：B

［解析］V-10350=45°-3X360°.

.-.45°角的终边与一1035°角的终边相同.

JTJI

又45°=~,故在(0,2口)内与一1035°角终边相同的角是

变式1：D

［解析］V-14850=-5X360°+315°,

7

又2口rad=360°,315°=~nrad.

7

故一1485。化成a+2An(04。＜2口，AGZ)的形式是一10口.

变式2：B

797

［解析］a=1=7=。，故圆心角不变.

例3：

［解析］V\A0\^\0B\=2,\AB\^2y［2,工NAOB=90°=g.

4

变式L［解析］根据弧长公式，1=a=?X45^47(m).

例4：

［解析］设扇形的圆心角为心则弧长.•.2r+r9=nr,.•.夕=

n—2=(JI-2)•(罩)。=(180—噌)°,扇形的面积Sn^Zzu3'"五一2).

例5：

一JI31兀

［解析］(1)310°=—radX310=-7T-rad.

loUlo

5n「1805吟

⑵五.(1=匕*司。=75°.

(3)解法一(化为弧度):

JTRJT7JI

a=15°=15X—=—6=105°=105X=

loU1Zi8oir>

JIJI7JI

显然*/.故a<£<

1XvJ./

解法二(化为角度)：

JIJI/80、

=777=77;x(—)°=18°,/=1仁57.30°,

J.UXUJi

7n,180°、。。

。=而*(—)°=105°.

XLiJi

显然，15°<18°<57.30°005°.故丫<夕=O.

师生互助

一、选择题

D

(JJT(JJF

［解析］^=2kn+T(A;eZ),/.a=6kn+K(A;FZ),：q=3kn+不kGZ).

JJ//

当左为奇数量，今的终边在y轴的非正半轴上；当左为偶数时，与的终边在y

5

轴的非负半轴上.综上，年终边在y轴上，故选D.

2.D

［解析］终边在直线y=x上角的集合应是{<z|a=f+M,fcGZ},D不正确，

其他选项均正确.

3.A

［解析］设扇形的半径为r,则由l=\a\r,得r=4=2(cm),

X2X22=4(cm2),故选A.

4.D

［解析］设弧长为/,贝！|/+2H=4R,..」=2R,，S扇衫•圆心角㈤

==

=左=2,.*•S2*sinl*7?coslcosl9:・S弓形=S扇形一S三角形=*一

lf2siiilcosl.

5.［解析］设两个角的弧度分别为x,J,因为1。=前rad,

x+y=l,

所以有兀

I尸面

即所求两角的弧度数分别为3+就，；一就.

6.［解析］当左为偶数时，a=2mn+^(m^Z),

九57t

当人为奇数时，a=(2m—l)n—~^=2mn—~^(mZ),

・・・。的终边在第一或第二象限.

7.

6

［解析］(1)将阴影部分看成是由0A逆时针转到所形成.故满足条件的

角的集合为｛<z件+2而<<zv竽+2M，左WZ｝.

(2)若将终边为。4的一个角改写为一本此时阴影部分可以看成是0A逆时

针旋转到所形成，故满足条件的角的集合为同一"2而萼+2M,k&

Z).

(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转兀rad而得

7T

到，所以满足条件的角的集合为｛a|®WaW5+®,左WZ｝.

(4)与第⑶小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转兀rad后可得到第四

象限的阴影部分.所以满足条件的角的集合为｛a岸+E<a毫Sir+M,kGZ］.

［解析］点A经过2min转过2&且兀<2，<彳，14min后回到原位，，14,

=2航(左GZ),〃=萼，且与或I

//4

课后分层训练

1、

角度制,、,弧度制

2、

［解析］解法一：如图所示.

：.BA.

7

flTT7T

解法二：{a［a=f,n^'L}={a\a=kn9k^Z}U{a\a=kn+^,k£Z}；

2727r27r

{p}p=r，〃£Z}=ww=2而，左WZ}U{//W=2M±§,左£Z}比较集合A、

5的元素知，5中的元素都是A中的元素，但A中元素a=(24+1)兀(kGZ)不是

5的元素，所以A3B.

7.2.1三角函数的定义

师生互助

例1：D

［解析］考查了三角函数的定义.

由条件知：x=—4,j=3,则r=5,.*.cosa=^=—1.

变式1：C

［解析］设角<z终边上一点P(x,y),点尸到坐标原点的距离r=|OP|>0,

sina=：<0,

XVtana=^>0,.*.x<0,故点尸在第三象限，即a是第三象限角.

例2：A

—8/7241

［解析］由三角函数的定义得cosa=q^不可^=-g,解得，"=5.

变式1：C

［解析］r=\OP\=\jl7+16,sin(z=^p^j=-,：.b=±3.

例3：D

［解析］0<A<n,二。>^•专•'-tany>0,又0<。<兀，sinOO,故选D.

变式1：C

［解析］•:2sin30°=2x1=l,

一2的530。=一2*看=一小..•.角a的终边经过点(1,一小),

8

~^3V3

sina

5+(f)22•

例4:13

［解析］•••角a终边过点尸(5,12),，尸5,y=12,r=13.

..y12X5...17

•・sma=r=w，cosa=;=记,..sma+cosa=

变式1:

［解析］要使原式有意义，必须cos，,tan，＞0,即需cos。、tan，同号,

是第一或第二象限角.

例5：

［解析］,/sinct=泉＞0,cosa＜0,

.'a为第二象限角，

在直线y=fcr(x＜0)上任取一点P(—1,—k),

则r=\OP\=y［i+l?,

由sinf得,吊声哀，

：.k=±2,I,角a的终边在第二象限，

，一左＞0,即左＜0,：.k=-2.

变式1：

［解析］点P(—木,7〃)到坐标原点。的距离r=ylx2+y2=yj3+m2,

由三角函数的定义，得5加，=|=^3：加2=乎小，解得加=±V^.

*•+ax―小V6ymV15

当相=45时，cos，=;=堂=—4，tan，=x=_^=_3-

小ax―币V6v—y［5标

当旭=一45时，cos8=;=童=_4,tan3=x=—^=3.

生生互助

C

9

［解析］；170。是第二象限角，

.•.tanl70°<0,故选C.

2.C

［解析］：a是第二象限的角，

7t(X7T

2k7t+2<<z<2A：7r+7r,kGZ,."女九+不<^<左九+5,kGZ,

又,.,卜暗|=-sin^,，3是第三象限角.

3.D

［解桐Vtana,cota的符号相同,

|tana+cota|=|tana|+|cota|.

4.A

［解析］P(m,几)在直线y=3x_h,且sin<z<0,

=122

.♦.P位于第三象限，/.m<09n<0.\OP\\jm+(3m)=yl10m=y［10,

2==

m=1,:・m=-19n­3,/.m—n2.

5.函数y=tanx+lgsinx的定义域为(2kn92kn+^)U(2kn+^92kn+n)(k

ez).

［解析］要使函数有意义，应满足

sinx>02kn<x<2kn+n

xW'+kTt,kGZ'XW'+ATT,keZ'

BP2k7tv%v2左元或2kn+^<x<2kn+n(kZ).

6.［解析］Vcosa^O