专题02 特殊方法解一元二次方程及根的判别式的应用3大题型-备战2024-2025学年九年级数学上学期期末（河南专用）

PAGE1PAGE2专题01特殊方法解一元二次方程及根的判别式的应用3大题型题型一十字交叉相乘法1．（23-24九年级上·河南周口·期末）如果，那么等于（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根据多项式乘法去括号，进而得出p的值．【详解】∵x2-px+q=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，∴p=-（a+b）．故选D．2．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如果，则为（

）.A．5 B．－6 C．－5 D．6【答案】B【分析】根据题意进而得出关于b的等式进而求出答案．【详解】∵x2+（a+b）•x+5b=x2-x-30，∴5b=-30，解得：b=-6．故选B．3．（21-22九年级上·河南鹤壁·期末）多项式可分解为，则a、b的值分别是()A．10和−2 B．和2 C．10和2 D．和−2【答案】D【分析】利用多项式乘法整理多项式进而得出a，b的值.【详解】解：∵多项式x2-3x+a可分解为（x-5）（x-b），∴x2-3x+a=（x-5）（x-b）=x2-（b+5）x+5b，故b+5=3，5b=a，解得：b=-2，a=-10．故选D.4．（23-24九年级上·河南新郑·期末）下列因式分解结果正确的是(

)．A．10a3+5a2=5a(2a2+a)B．4x2-9=(4x+3)(4x-3)C．a2-2a-1=(a-1)2D．x2-5x-6=(x-6)(x+1)【答案】D【分析】A可以利用提公因式法分解因式(必须分解到不能再分解为止)，可对A作出判断；而B符合平方差公式的结构特点，因此可对B作出判断；C不符合完全平方公式的结构特点，因此不能分解，而D可以利用十字相乘法分解因式，综上所述，即可得出答案.【详解】A、原式=5a2(2a+1)，故A不符合题意；B、原式=(2x+3)(2x-3)，故B不符合题意；C、a2-2a-1不能利用完全平方公式分解因式，故C不符合题意；D、原式=(x-6)(x+1)，故D符合题意；故答案为D5．（23-24九年级上·河南林州·期末）方程的解是．【答案】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：因式分解得，，∴，，∴，，故答案为：，．6．（23-24九年级上·河南信阳·期末）已知且，则的值是．【答案】或【分析】利用因式分解法求出关于x、y的关系式，进而可求解．【详解】解：，，，，解得：，，且，，即的值是或．故答案为：或．7．（23-24九年级上·河南漯河·期末）多项式x2+mx+15可以在整数范围内进行分解，则m=（写出其中一个）【答案】8【详解】试题分析：把15分成3和5，即原式分解为（x+3）（x+5），即可得到答案．解：当m=8时，x2+mx+15=（x+3）（x+5），故答案为8．考点：因式分解-十字相乘法等．8．（23-24九年级上·河南安阳·期末），反过来可写成．于是，我们得到一个关于二次三项式因式分解的新的公式通过观察可知，公式左边的二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果，如图①所示，这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法．示例：因式分解：．解：由图②可知，．请根据示例，对下列多项式进行因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根据题意给出的因式分解法即可求出答案．【详解】（1）解：由图1可知，．；（2）解：由图2可知，．．9．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）阅读下面的材料：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键是“拆两头，凑中间”，例如，分解因式，方法如下：拆两头，拆为拆为，然后排列如下：交叉相乘积相加得，凑得中间项，所以．利用材料解决问题的策略解答下列问题：(1)解方程：(2)已知，求的值．【答案】(1)，(2)的值为4或【分析】（1）先用十字相乘法分解因式，然后解方程即可；（2）先将原方程变为，得出或，求出的值为4或即可．【详解】（1）解：，因式分解得：，∴或，解得：，；（2）解：，因式分解得：，∴或，即或，∵，∴，，当时，，当时，，综上分析可知，的值为4或．题型二换元法10．（23-24九年级上·河南焦作·期末）已知实数x满足，则代数式的值是（

）A．7 B． C．7或 D．或3【答案】A【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，代数式求值．熟练掌握换元法解一元二次方程，代数式求值是解题的关键．设，，则，可求满足要求解为，然后代值求解即可．【详解】解：设，，∴，，解得，（舍去）或，∴，故选：A．11．（23-24九年级上·河南新密·期末）已知方程的解是，，则方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及换元法求方程的解，熟练掌握换元法求方程的解是解题的关键．令，即可得出，，计算求解即可．【详解】解：令，即，∵方程的解是，，∴，，∴或，解得，，故选：A．12．（23-24九年级上·河南南阳·期末）若，都是实数，且满足，则的值为．【答案】4【分析】本题考查了换元法，因式分解法一元二次方程，根据题意，设，则原式得，根据因式分解法求解即可．【详解】解：设，∴，整理得，，解得，，∵，∴，故答案为：4．13．（23-24九年级上·河南周口·期末）若，则的值为．【答案】2【分析】本题考查用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键，注意整体思想的运用．设，则有，再用因式分解法求解得，，再根据，即可求解．【详解】解：设，则有，∴，，或，∴，，∵，∴．故答案为：2．14．（23-24九年级上·河南太康·期末）已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则关于方程的两根分别为．【答案】，【分析】本题考查了一元二次方程的同解问题，理解方程的解，掌握解法是解题的关键．根据题意将关于方程变形为即可得到或，即可求解．【详解】解：由得，一元二次方程的两根分别为，，或，，；故答案为：，．15．（23-24九年级上·河南许昌·期末）阅读材料，解答问题：解方程：．解：把视为一个整体，设，则原方程可化为．解得，．或．∴，．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：．【答案】，【分析】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，关键是构造元和设元．设，则原方程可化为．然后利用因式分解法解该方程，进而求得的值；然后再利用直接开平方法求得的值．【详解】解：设，则原分式方程可化为，整理，得，解得，，当时，即，解得，当时，即，解得．综上所述，原方程的解为，．16．（21-22九年级上·河南郑州·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得，所以原方程的解为，；解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得，；当时，即，解得，；所以原方程的解为，，，；以上解法称为换元法．请利用这种方法解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，，，【分析】本题考查了换元法解特殊形式的一元二次方程，因式分解法解一元二次方程；（1）根据方程的特点，设，则原方程化为，解此方程求得y的值，再求得x的值即可；（2）根据方程的特点，设，则原方程化为，解此方程求得y的值，分别代入中，再解一元二次方程，求得x的值即可．【详解】（1）解：设，则原方程化为，解得：，；当时，即，解得；当时，即，解得，所以原方程的解为，；（2）解：设，则原方程化为，解得：，；当时，即，解得，；当时，即，解得，；所以原方程的解为，，，．17．（23-24九年级上·河南荥阳·期末）阅读材料，回答问题：材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，．故原方程的根为，．请你参照材料给出的解题方法，解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本题考查的是换元法解一元二次方程和分式方程，（1）设，把原方程化为一元二次方程，解方程可得答案；（2）设，把原方程化为简单的分式方程，解方程即可；通过阅读掌握换元法的一般步骤是解题的关键，注意一元二次方程和分式方程的解法．【详解】（1）解：设，∴原方程可化为，解得：，，当时，，即，∵，∴此时方程无实数根；当时，，即，解得：，，∴原方程的根为，；（2）设，∴原方程可化为，解得：，，经检验：，都是方程的解，当时，，解得：，当时，，解得：，经检验：和都是原方程的解，∴原方程的解为：，．18．（23-24九年级上·河南商丘·期末）提出问题：为解方程，我们可以令，于是原方程可转化为，解此方程得，（不符合要求，舍去）．当时，，．原方程的解为，．以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．解决问题：(1)运用上述换元法解方程：．(2)若实数满足方程，则的值是_______．【答案】(1)，，，(2)13【分析】本题考查换元法解高次方程，解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式：（1）参照材料中的方法，令，将原方程转化为，即可求解；（2）参照材料中的方法，令，原方程可转化为，求出的值，再利用根的判别式判断是否有实数根，对求出的的值进行取舍，最后作为整体代入即可得出答案．【详解】（1）解：令，原方程可转化为，即，解得，．当时，，解得，，当时，，解得，，原方程的解为，，，．（2）解：令，原方程可转化为，即，解得，（不符合要求，舍去）．当时，，即，，该方程有解，符合题意，此时；当时，，即，，该方程无实数解，不合题意；综上可知，的值是13，故答案为：13．19．（23-24九年级上·河南温县·期末）阅读材料，解答问题．解方程：．解：把视为一个整体，设，则原方程可化为．解得，．或．，．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：．【答案】【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解方程，公式法解方程．依题意，设，则原式为，然后运用因式分解法，公式法分别进行解方程，即可作答．【详解】解：依题意，，设，则原式为，∴，解得，则或，当时，即：，，∴，∴；当时，∴，∴，综上：的解是．题型三根的判别式的应用20．（22-23九年级上·河南南阳·期末）一元二次方程的根的情况是（

）A．无实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】A【分析】此题主要考查了利用一元二次方程判别式判定方程的根的情况，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．直接计算方程根的判别式进行判断即可．【详解】解：，该方程无实数根，故选：A21．（22-23九年级上·河南周口·期末）定义一种新运算“”，对于任意实数，，则有，如．若是关于的方程，则方程的根的情况为（

）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【答案】C【分析】本题考查了新定义，以及根的判别式，根据题意列出的方程，再列出根的判别式，根据根的判别式大小进行判断即可解题．【详解】解：由题可得：，，所以方程有两个不相等的实数根，故选：C．22．（23-24九年级上·河南信阳·期末）一元二次方程的根的情况是(

)A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故选：D．23．（23-24九年级上·河南商丘·期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键．【详解】解：A、，，，，，故方程没有实数根，此选项不符合题意；B、，，，，，故方程有两个不相等的实数根，此选项符合题意；C、，，，，，故方程有两个相等的实数根，此选项不符合题意；D、，，，，，故方程没有实数根，此选项不符合题意；故选：B．24．（23-24九年级上·河南南阳·期末）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣2（k+1）x﹣k2+2k﹣1=0的根的情况为．【答案】有两个不相等的实数根【详解】试题分析：首先确定a=1，b=﹣2（k+1），c=﹣k2+2k﹣1，然后求出△=b2﹣4ac的值，进而作出判断．解：∵a=1，b=﹣2（k+1），c=﹣k2+2k﹣1，∴△=b2﹣4ac=[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（﹣k2+2k﹣1）=8+8k2＞0∴此方程有两个不相等的实数根，故答案为有两个不相等的实数根．25．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）已知关于的方程．(1)若此方程的一个根为，则的值为______；(2)求证：对于任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（1）把代入原方程求得m的值，进一步求得方程的另一个根即可；（2）只要证明即可；【详解】（1）解：把代入得，，解得，，故答案为：．（2）证明：．因为对于任何实数，总有，所以方程总有两个不相等的实数根．26．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求的取值范围．【答案】(1)见解析．(2)．【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式得到，．根据题意得到，即可求得k的取值范围．【详解】（1）解：，∴方程总有实数根；（2）解：∵，∴，解方程得：，，由于方程有一个根不小于7，∴，解得：．27．（21-22九年级上·河南南阳·期末）已知关于的一元二次方程，其中为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)试写出三个的值，使一元二次方程有整数解，并简要说明理由．【答案】(1)见解析(2)0，2，，理由见解析【分析】对于（1），先求出b2-4ac，再判断即可；对于（2），根据求根公式求出方程的解，再根据题意判断．【详解】（1）证明：原方程整理，得x2-5x+4-p2=0，∴b2-4ac=（-5）2-4×（4-p2）=4p2+9＞0，∴该方程有两个不相等的实数根；（2）0，2，，理由如下：原方程的解为.∵一元二次方程有整数解，∴为大于1的奇数，即3或5或7或···，当时，；当时，；当时，，···所以p的值为0，2，，原方程有整数解．28．（21-22九年级上·河南驻马店·期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）等