高中数学必修二《第八章 立体几何初步》复习教案

高中数学必修二《第八章立体几何初步》复习教案

《8.1基本立体图形》复习教案

第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征

学习目标核心素养

1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱

锥、棱台的结构特征.（重点）

通过空间几何体概念的学习，培

2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.（难点）

养直观想象、逻辑推理的核心素

3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述

养.

现实生活中简单物体的结构和有关计算.（易

混点）

【自主预习】

i~z新知初探m

1.空间几何体

类别多面体旋转体

一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的

一般地，由若干个平面

定义一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，

多边形围成的几何体

封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体

2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征

（1）棱柱的结构特征

一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四

定义

边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱

底面：两个互相平行的面；

图示及

侧面：底面以外的其余各面；

相关概

侧棱：相邻侧面的公共边；

念■-

顶点：侧面与底面的公共顶点

分类按底面多边形的边数分：三棱柱，四棱柱，…

思考1:棱柱的侧面一定是平行四边形吗？

［提示］根据棱柱的概念可知，棱柱侧面一定是平行四边形.

(2)棱柱的分类

直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.

斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱.

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱.

平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱.

(3)棱锥的结构特征

有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面

定义

所围成的多面体叫做棱锥

底面：多边形面；

图示及

侧面：有公共顶点的各三角形面；

相关概

侧棱：相邻侧面的公共边；

念AR

顶点：各侧面的公共顶点

按底面多边形的边数分:三棱锥，四棱锥，…，其中三棱锥又叫四面

分类体，底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直丁底面的棱锥

叫正棱锥

思考2：有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体一定是棱锥吗？

［提示］不一定.因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是

有一个公共顶点的三角形”.

(4)棱台的结构特征

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分

定义

叫做棱台

上底面：原棱锥的截面；

下底面：原棱锥的底面；

图示及相关

侧面：除.上下底面以外的面；

概念

侧棱：相邻侧面的公共边；

顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点

分类由几棱锥截得，如三棱台、四棱台、…

思考3：棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗?

［提示］根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.

L初试身手」

1.在三棱锥4用力中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

D［每个三角形都可以作为底面.］

2.下面说法中，正确的是（）

A.上下两个底面平行且是相似的四边形的几何体是四棱台

B.棱台的所有侧面都是梯形

C.棱台的侧棱长必相等

D.棱台的上下底面可能不是相似图形

B［由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确.故B正确.］

3.下面属于多面体的是（填序号）.

①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球.

①②［①②属于多面体，③④属于旋转体.］

【合作探究】

建型］棱柱的结构特征

【例1】（D下列命题中，正确的是（）

A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面

C.棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形

再看是否满足其他特征.

(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.

做跟踪训练j

1.下列关于棱柱的说法婚退的是()

A.所有棱柱的两个底面都平行

B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余每相邻面的公共边互相平行

C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱

D.棱柱至少有五个面

C[对于A、B、D,显然是正确的；对于C,棱柱的定义是这样的：有两个

面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,

由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公

共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几

何体就不是棱柱，所以C错误.]

4去型2棱锥、棱台的结构特征

【例2】(1)下列关于棱锥、棱台的说法：

①棱台的侧面一定不会是平行四边形；

②棱锥的侧面只能是三角形；

③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.

其中正确说法的序号是.

(2)判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？

⑴①②③[①正确，棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;②正确,

由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；③正确，由四个面围成的封闭图形只

能是三棱锥；④错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.］

(2)［解］①②③都不是棱台.因为①和③都不是由棱铢所截得的，故①③

都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只

有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台.

规件方法

关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：

(1)举反例法

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法

不正确.

(2)直接法

棱锥棱台

定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面

看侧棱相交于一点延长后相交于一点

◎跟踪训练

2.如图所示，观察以下四个几何体，其中判断正确的是()

A.①是棱台B.②是圆台

C.③是棱锥D.④不是棱柱

C［图①中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形，所

以①不是棱台；图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③中

的几何体是棱锥.图④中的几何体前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且

每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以④是棱柱.故选C.］

4善型3多面体的表面展开图

［探窕问题］

1.棱柱的侧面展开图是什么图形？正方体的表面展开图又是怎样的？

［提示］棱柱的侧面展开图是平行四边形；正方体的表面展开图如图:

(不止一种)

2.棱台的侧面展开图又是什么样的？

［提示］棱台的侧面展开图是多个相连的梯形.

［例3］(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所

示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)()

(2)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体?

［思路探究］(1)正方体的平面展开图=以其中一个面不动把其他面展开.

(2)常见儿何体的定义与结构特征=空间想象或动手制作平面展开图进行实

践.

(DA［由选项验证可知选A.］

(2)［解］图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合

棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合

棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三

角形，符合棱台的特点.把平面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五

棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.

①②

［母题探究］

L将本例(1)中改为：水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上

面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在

正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体

的下面是()

B［将图形折成正方体知选B.］

2.将本例(2)的条件改为：一个几何体的平面展开图如图所示.

(1)该几何体是哪种几何体？

⑵该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？“你”字面相对的是哪个

面？

［解］(1)该几何体是四棱台.

⑵与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”.

规律方法

多面体展开图问题的解题策略

(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥

空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点

标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展

开图.

(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一

个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一

样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.

r课堂小结bi

1.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断

几何体的形状.

2.棱柱、棱台、棱锥关系图

上底面扩大到上底面缩小A

与下底面全等

一个点A

上底面缩.顶7点拓展为与LA\

底面平行但不\z

棱柱梭台全等的上底面极锥

【课堂达标练习】

1.判断正误

⑴棱柱的侧面都是平行四边形.()

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的儿何体叫棱锥.()

(3)用一平面去截棱锥底面和截面之间的部分叫棱台.()

［答案］⑴V(2)X(3)X

2.有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体

为()

A.四棱柱B.四棱锥

C.三棱柱D.三棱锥

D[根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥.]

3.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()

D[A,B,C中底面多边形的边数与侧面数不相等.]

4.一个棱柱至少有个面,顶点最少的一个棱台有条侧棱.

53[面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱

台，它有3条侧棱.]

5.画一个三棱台，再把它分成：

(1)一个三棱柱和另一个多面体；

(2)三个三棱锥，并用字母表示.

[解]画三棱台一定要利用三棱锥.

(1)如图①所示，三棱柱是棱柱/夕C-ABf>C,另一个多面体是

B'CCBB"C”.

(2)如图②所示，三个三棱锥分别是"-力比；

B'-AfBC,C-A'B'C.

第2课时圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征

学习目标核心素养

1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.通过学习有关旋转体的结

2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.(重点)构特征，培养直观想象、逻

3.认识简单组合体的结构特征，了解简单组合体辑推理、数学运算的数学素

的两种基本构成形式.（重点、易混点）养.

【自主预习】

I新知初探

1.圆柱的结构特征

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周所围成的旋

定义

转体叫做圆柱

轴：旋转轴叫做圆柱的轴；

3轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面;

出二孱底面

图示及相关9侧面：隹王轴的边旋转而成的曲面；

：、/仅1面

概念Ji。手母线圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于

♦邛4面轴的边;

柱体：圆柱和棱柱统称为柱体

2.圆锥的结构特征

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形

定义

成的面所围成的旋转体叫做圆锥

轴：旋转轴叫做圆锥的轴:

图示及首轴底面：垂直王轴的边旋转而成的圆面；

侧面A

相关概侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面;

念底Qg母线：无论旋转到彳।么位置，不垂直于轴的边:

锥体：棱锥和圆锥统称锥体

3.圆台的结构特征

定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与建面之间部分叫做圆台

轴：圆锥的轴；

底面之轴

例面商底面：圆锥的底面和截面;

图示及相

中匚,侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分:

关概念

母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分；

底而

台体：棱台和圆台统称为台体

思考1:用平面去截圆锥一定会得到一个圆锥和一个圆台？

［提示］不一定.只有当平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一

个圆台.

4.球的结构特征

以半圆的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的旋转体叫做球

定义

体，简称球

球心：半圆的圆心叫做球的球心；

球纭&径半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球

图示及相关

的半径；

概念7^/直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做

球的直径

思考2：球能否由圆面旋转而成？

［提示］能.圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的旋转体即为

球.

5.简单组合体的结构特征

(1)简单组合体的定义：由简单几何体组合而成的几何体.

(2)简单组合体的两种基本形式：

…人人/由简单几何体拼接而成

简单组合体〈

［由简单几何体截去或挖去一部分而成.

初试皂毛bl

1.圆锥的母线有()

A.1条B.2条C.3条D.无数条

D［由圆锥的结构特征知圆锥的母线有无数条.］

2.下列图形中是圆柱的是.

o迎m日

①②③④

②［根据圆柱的概念可知只有②是圆柱.］

3.下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周(如图所示)，能形成圆台的

是.（填序号）

nddd

OaOiOai

①②③④

①［根据定义，①形成的是圆台，②形成的是球，③形成的是圆柱，④形

成的是圆锥.］

4.下图由哪些简单几何体构成?

①②

［解］①是由两个四棱锥拼接而成的，②是由一个六棱柱和一个圆柱拼接而

成的.

【合作探究】

旋转体的结构特征

【例1】（1）下列说法不正确的是（）

A.圆柱的侧面展开图是一个矩形

B.圆锥过轴的截面是一个等腰三角形

C.直角二角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥

D.圆台平行于底面的截面是圆面

（2）给出下列命题：

①圆柱的母线与它的轴可以不平行；

②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以

构成直角三角形；

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线;

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.

其中正确的是（）

A.①②B.②③C.①@D.②④

(DC(2)D[(1)由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线

旋转一周所围成的几何体是圆锥.强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为

直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错.

(2)由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.]

规律方法

简单旋转体判断问题的解题策略

(D准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其结构特征是解决此类概

念问题的关键.

(2)解题时要注意两个明确：

①明确由哪个平面图形旋转而成.

②明确旋转轴是哪条直线.

领跟踪训练.

1.给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面

是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹

在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中说法正确的是.(填

序号)

①②[①正确，圆柱的底面是圆面;

②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；

③不正确，圆台的母线延长相交于一点；

④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.]

4等型2简单组含体的结构特征

[例2]如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由

哪些简单几何体组成的?

①②

［思路探究］先将平面图形割补成三角形、梯形、矩形,再旋转识别几何体.

［解］旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱。。和两个圆台“圆

组成的；图②是由一个圆锥aft,一个圆柱aa及一个圆台〃。中挖去圆锥

aa组成的.

规律方法

旋转体形状的判断方法：

(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所

得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.

(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力,

或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状.

(3)要熟练掌握各类旋转体的结构特征.

2.如图，48为圆弧比所在圆的直径，N劭。=45°.将这个平面图形绕直

线48旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征.

［解］如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的.

M型3几何体中的计算问题

［探究问题］

1.圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截而是什么样的图形?

［提不］圆面.

2.圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？

［提示］分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形.

3.经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？

［提示］因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，

所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这

两条母线为腰的等腰梯形.

【例3】如图所示，用一个平行于圆锥S0底面的平面截这个圆锥，截得

圆台上、下底面的面积之比为1：16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台O'0

的母线长.

［思路探究］过圆锥的轴作截面图，利用三角形相似解决.

［解］设圆台的母线长为/cm,由截得的圆台上、下底面面积之比为1：16,

可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为月4八过轴SO作截面，如图所示.

则A'sXSOA,SA1=3cm.

3

所以所以1

-

+

4

37

.

9cm

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母线

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］

探究

［母题

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1.

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3,把

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