2025版高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式高效演练分层突破文新人教A版

PAGEPAGE1第4讲基本不等式[基础题组练]1．(2024·安徽省六校联考)若正实数x，y满意x＋y＝2，则eq\f(1,xy)的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.因为正实数x，y满意x＋y＝2，所以xy≤eq\f(（x＋y）2,4)＝eq\f(22,4)＝1，所以eq\f(1,xy)≥1.2．下列选项中，正确的是()A．x＋eq\f(1,x)的最小值为2B．sinx＋eq\f(4,sinx)的最小值为4，x∈(0，π)C．x2＋1的最小值为2D．4x(1－x)的最大值为1解析：选D.对于A，当x<0时，x＋eq\f(1,x)<0，错误；对于B，当x∈(0，π)时，0<sinx≤1，由基本不等式可得sinx＋eq\f(4,sinx)≥2eq\r(sinx·\f(4,sinx))＝4，当且仅当sinx＝eq\f(4,sinx)，即当sinx＝2时，等号成立，这与0<sinx≤1冲突，错误；对于C，因为x2≥0，x2＋1≥1，当且仅当x＝0时取等号，所以，x2＋1的最小值为1；对于D，由基本不等式可得4x(1－x)≤4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))eq\s\up12(2)＝1，当且仅当x＝1－x时，即当x＝eq\f(1,2)时，等号成立，正确．3．设x>0，则函数y＝x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)的最小值为()A．0 B.eq\f(1,2)C．1 D．eq\f(3,2)解析：选A.y＝x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋eq\f(1,x＋\f(1,2))－2≥2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))·\f(1,x＋\f(1,2)))－2＝0，当且仅当x＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,x＋\f(1,2))，即x＝eq\f(1,2)时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.4．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B.法一：由于a＋b＝ab≤eq\f(（a＋b）2,4)，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.法二：由题意，得eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.法三：由题意知a＝eq\f(b,b－1)(b>1)，所以a＋b＝eq\f(b,b－1)＋b＝2＋b－1＋eq\f(1,b－1)≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.5．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．解析：一年购买eq\f(600,x)次，则总运费与总存储费用之和为eq\f(600,x)×6＋4x＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(900,x)＋x))≥8eq\r(\f(900,x)·x)＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.答案：306．函数y＝eq\f(x2,x＋1)(x>－1)的最小值为．解析：因为y＝eq\f(x2－1＋1,x＋1)＝x－1＋eq\f(1,x＋1)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)－2(x>－1)，所以y≥2eq\r(1)－2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立．答案：07．(2024·湖南岳阳期末改编)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为，eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为．解析：因为a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝eq\f(1,2)a·2b≤eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2b,2)))eq\s\up12(2)＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以ab的最大值为2，因为eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))·eq\f(a＋2b,4)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(2b,a)＋\f(2a,b)))≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2·\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))))＝eq\f(9,4)，当且仅当a＝b时等号成立，所以eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为eq\f(9,4).答案：2eq\f(9,4)8．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，又x>0，y>0，则1＝eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)≥2eq\r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq\f(8,\r(xy)).得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，则x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))·(x＋y)＝10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18.当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.[综合题组练]1．设a>0，若关于x的不等式x＋eq\f(a,x－1)≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为()A．16 B．9C．4 D．2解析：选C.在(1，＋∞)上，x＋eq\f(a,x－1)＝(x－1)＋eq\f(a,x－1)＋1≥2eq\r(（x－1）×\f(a,（x－1）))＋1＝2eq\r(a)＋1(当且仅当x＝1＋eq\r(a)时取等号)．由题意知2eq\r(a)＋1≥5，所以a≥4.2．(2024·福建龙岩一模)已知x>0，y>0，且eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,2)，则x＋y的最小值为()A．3 B．5C．7 D．9解析：选C.因为x>0，y>0.且eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,2)，所以x＋1＋y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)＋\f(1,y)))(x＋1＋y)＝2(1＋1＋eq\f(y,x＋1)＋eq\f(x＋1,y))≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(\f(y,x＋1)·\f(x＋1,y))))＝8，当且仅当eq\f(y,x＋1)＝eq\f(x＋1,y)，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C.3．已知正实数x，y满意x＋y＝1，①则x2＋y2的最小值为；②若eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥a恒成立，则实数a的取值范围是．解析：因为x＋y＝1，所以xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2)，所以x2＋y2的最小值为eq\f(1,2).若a≤eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)恒成立，则a小于等于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))的最小值，因为eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))(x＋y)＝5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥5＋2eq\r(\f(y,x)×\f(4x,y))＝9，所以eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值为9，所以a≤9，故实数a的取值范围是(－∞，9]．答案：eq\f(1,2)(－∞，9]4．(2024·洛阳市统考)已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝1，则xy＋x＋y的最小值为