高等数学-1.1 函数8.30

第1章函数、极限与连续函数第1讲高等数学（慕课版）主讲教师|01预备知识02函数的定义03函数的表示方法04函数的几种特性05反函数06初等函数07建立函数关系举例2本节内容301预备知识

📝开区间📝闭区间1.区间aObxOabx4

📝半开半闭区间以上这几类区间统称为有限区间．OOabxabx01预备知识5

📝无限区间

有限区间和无限区间统称为区间.01预备知识601预备知识

📝定义1.12.邻域和去心邻域x0−δx0+δx0x701预备知识

📝定义1.2

📢注x0−δx0+δx0x01预备知识02函数的定义03函数的表示方法04函数的几种特性05反函数06初等函数07建立函数关系举例8本节内容902函数的定义

📝定义1.3

1002函数的定义在实际问题中，函数的定义域是由实际意义决定的，称为实际定义域.

1102函数的定义

📢注12

📚例1解

02函数的定义

13

📚例2解

02函数的定义

14

📚例2解02函数的定义

15

📚例2解02函数的定义01预备知识02函数的定义03函数的表示方法04函数的几种特性05反函数06初等函数07建立函数关系举例16本节内容1703函数的表示方法

在某一坐标系中用一条或多条曲线表示函数关系的方法，称为图形法.📝图形法

自变量和因变量之间的关系用数学表达式表示，这种表示函数的方法称为解析法（也叫公式法）.📝解析法

自变量所取的值和对应的函数值列成表格，用以表示函数关系，称为表格法.📝表格法1803函数的表示方法

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，称为分段函数.📝分段函数

用解析法表示函数，不一定总是用一个式子表示，也可以分段用几个式子来表示一个函数.📢注1903函数的表示方法

常用的分段函数

Oxy=|x|yOxy=sgnxy1-11-12003函数的表示方法

y=[x]y321-1-2-3xO-1123-2-32103函数的表示方法（2）分段函数的定义域是各个表达式的定义域的并集；（1）虽然在自变量的不同变化范围内计算函数值的📢注

算式不同，但分段函数定义的是一个函数；示式的定义域，然后按此表示式计算对应的函数值.22

📚例3解

02函数的定义23

📚例4解

02函数的定义01预备知识02函数的定义03函数的表示方法04函数的几种特性05反函数06初等函数07建立函数关系举例24本节内容25

1.函数的有界性04函数的几种特性

2604函数的几种特性

📢注OxMy−M

2704函数的几种特性

2804函数的几种特性

29

2.函数的单调性04函数的几种特性📝单调增加yxOaby=f(x)x1y1=f(x1

)x2y2=f(x2

)3004函数的几种特性

📝单调减少yxOx1x2aby=f(x)y=f(x1)y=f(x2)3104函数的几种特性

📢注

32

3.函数的奇偶性04函数的几种特性📝偶函数

xyO−xxy=f(x)P'(−x,f(x))P

(x,f(x))33

04函数的几种特性📝奇函数x−xxyOy=f(x)Q'

(−x,−f(x))Q(x,f(x))既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数.34

📚例5解

04函数的几种特性

35

4.函数的周期性04函数的几种特性📝周期函数01预备知识02函数的定义03函数的表示方法04函数的几种特性05反函数06初等函数07建立函数关系举例36本节内容3705反函数

📝定义1.4

反函数的定义域等于直接函数的值域，反函数的值域等于直接函数的定义域.📢注3805反函数

📖定理1.1xyO112,[0,)yxx=∈+,[0,)yxx=∈+39解

05反函数

📚例6

01预备知识02函数的定义03函数的表示方法04函数的几种特性05反函数06初等函数07建立函数关系举例40本节内容4106初等函数

1.基本初等函数

（4）三角函数

4206初等函数

1.基本初等函数（5）反三角函数

4306初等函数

1.基本初等函数4406初等函数1.基本初等函数

4506初等函数1.基本初等函数（4）三角函数

4606初等函数1.基本初等函数（4）三角函数

4706初等函数1.基本初等函数（4）三角函数

4806初等函数1.基本初等函数（4）三角函数

4906初等函数

1.基本初等函数（5）反三角函数5006初等函数

📝定义1.55106初等函数

📝注

5206初等函数📚例7解

5306初等函数

📝定义1.65406初等函数

📝注

5506初等函数求下列函数的定义域：📚例8解

5606初等函数

📝定义1.75706初等函数

📝定义1.85806初等函数

📝注5906初等函数2.复合函数📝定义1.9

DxguRgDffy6006初等函数（1）不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数.（2）复合函数不仅可以由两个函数复合而成，也可以由多个函数相继进行复合而成.（3）复合函数的分解可从整体到局部，由外往里，一层一层分解为简单函数.📢注6106初等函数

📚例8解

6206初等函数

📚例9解

所以

6306初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合运算所构成的并能用一个式子表示的函数，称为初等函数.3.初等函数📝定义1.10

📢注01预备知识02函数的定义03函数的表示方法04函数的几种特性05反函数06初等函数07建立函数关系举例64本节内容65建立函数关系时可以分为以下3个步骤：第一步：理解题意.根据给出的实际问题，画出草图，理解题意.第二步：分析题意.在理解题意的基础上，分析问题中的自变量与因变量，来建立数学模型，即确立目标函数.如果出现两个自变量的情形，还要根据题意分析两个自变量之间的关系，最终归结为一个自变量与一个因变量的函数关系.第三