2023-2024学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）月考数学试卷（5月份） （含解析）

2023-2024学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）月考数学试卷（5月份）一．填空题（每题3分，共36分）1．若成等比数列，则．2．已知为虚数单位，则复数的实部为．3．等差数列是递增数列，若，，则通项．4．已知无穷等比数列中，首项，公比，则．5．已知复平面上有点和点，向量与向量所对应的复数分别为与，则点的坐标为．6．若复数，，则实数．7．已知，若与夹角为锐角，则实数的取值范围为．8．已知关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，，若，则实数的值为．9．设等差数列的前项和为，若，且，则．10．“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力．顺次连接图中各顶点可近似得到正六边．若正六边形的边长为1，点是其内部一点（包含边界），则的取值范围为．11．已知函数，，（其中、为常数，且有且仅有三个零点，则的取值范围是．12．已知数列满足：，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为．二．选择题（每题3分，共12分）13．已知复数的共轭复数为，则下列命题错误的是A． B．为纯虚数 C． D．14．已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为A． B． C． D．15．已知等比数列前项和为，则下列结论一定成立的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则16．若数列、均为严格增数列，且对任意正整数，都存在正整数，使得，，则称数列为数列的“数列”．已知数列的前项和为，则下列选项中为假命题的是A．存在等差数列，使得是的“数列” B．存在等比数列，使得是的“数列” C．存在等差数列，使得是的“数列” D．存在等比数列，使得是的“数列”三．解答题（8分+8分+10分+12分+14分）17．已知，，．（1）求与的夹角；（2）求．18．已知是复数，与均为实数．（1）求复数；（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．19．已知是等差数列，是等比数列，且，，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．20．已知函数，，（1）若，函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）若，，求函数在上的值域；（3）若，函数在，内没有对称轴，求的取值范围21．已知数列满足，，，为正整数．（1）证明：数列是等比数列，并求通项公式；（2）证明：数列中的任意三项，，都不成等差数列；（3）若关于正整数的不等式的解集中有且仅有三个元素，求实数的取值范围；

参考答案题号13141516答案BCCC一．填空题（每题3分，共36分）1．若成等比数列，则．解：由等比中项定义可得：，解得，经验证符合题意．故答案为：．2．已知为虚数单位，则复数的实部为2．解：由题意知，，所以复数的实部为2．故答案为：2．3．等差数列是递增数列，若，，则通项．解：设等差数列的公差为，由是等差数列，得，由，解得或，又，得，所以，，所以，所以．故答案为：．4．已知无穷等比数列中，首项，公比，则．解：是无穷等比数列，首项，公比，则．故答案为：．5．已知复平面上有点和点，向量与向量所对应的复数分别为与，则点的坐标为．解：，对应的复数为，故点的坐标为，故答案为：．6．若复数，，则实数．解：，则，解得．故答案为：．7．已知，若与夹角为锐角，则实数的取值范围为，，．解：已知，当时，有，此时与方向相同，若与夹角为锐角，则且与不同向，即，解得且，所以实数的取值范围为，，．故答案为：，，．8．已知关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，，若，则实数的值为．解：关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，所以，所以，解得．故答案为：．9．设等差数列的前项和为，若，且，则20．解：因为等差数列中，，因为，，，所以，则．故答案为：20．10．“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力．顺次连接图中各顶点可近似得到正六边．若正六边形的边长为1，点是其内部一点（包含边界），则的取值范围为，．解：如图：由正六边形的性质可知，，故，所以，所以点的位置在直线的右侧的六边形内（包括边界）或落在线段上，又表示的是与在上的投影的乘积，故当落在线段上时，在上的投影最小为0，当落在线段上时，在上的投影最大为，故，故答案为：，．11．已知函数，，（其中、为常数，且有且仅有三个零点，则的取值范围是，．解：函数在，上为偶函数，且函数有且仅有三个零点，故必有一个零点为，所以，解得，所以函数，则函数在，上有且仅有三个零点，等价于的图象与直线在，上有且仅有三个交点，当时，函数与在，上有且仅有一个交点，故；当时，函数与在，上恰有3个交点，如图所示，故，当时，函数与在，上恰有5个交点，如图所示，故．综上所述，的取值范围是，．故答案为：，．12．已知数列满足：，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为，．解：因为当时，，，所以数列为首项为1，公比为的等比数列，所以，所以不等式，可化为，当为正奇数时，，由已知，当为正偶数时，，由已知，所以的取值范围为，．故答案为：，．二．选择题（每题3分，共12分）13．已知复数的共轭复数为，则下列命题错误的是A． B．为纯虚数 C． D．解：设，则，对于，，故正确；对于，，当时，，故错误；对于，，故正确；对于，，，故正确．故选：．14．已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为A． B． C． D．解：函数的图像关于点中心对称，，，即，，当，，即的最小值为，故选：．15．已知等比数列前项和为，则下列结论一定成立的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则解：对于选项，可列举公比的等比数列1，，1，，，显然满足，但，故错误；对于选项，可列举公比的等比数列，1，，，显然满足，但，故错误；对于选项，因为所以，即，所以，当公比时，任意，故有；当公比时，，故，，仍然有，故正确；对于选项，可列举公比的等比数列，1，，，显然满足，但，故错误．故选：．16．若数列、均为严格增数列，且对任意正整数，都存在正整数，使得，，则称数列为数列的“数列”．已知数列的前项和为，则下列选项中为假命题的是A．存在等差数列，使得是的“数列” B．存在等比数列，使得是的“数列” C．存在等差数列，使得是的“数列” D．存在等比数列，使得是的“数列”解：对于，例如，则是等差数列，，都是严格增数列，可得，则，取，则，，即，成立，所以是的“数列”，所以为真命题，所以正确；对于，例如，则是等比数列，，都是严格增数列，可得，则，取，则，，即，成立，所以是的“数列”，所以为真命题，所以正确；对于，存在等差数列，使得是的“数列”，设等差数列的公差为，因为，都是严格增数列，所以，，所以，取，满足，可知必存在，使得成立，当时，对任意正整数，则有；对任意正整数，则有；故不存在正整数使得，所以为假命题；对于；例如，则是等比数列，，都是严格增数列，可得，则，取，则，，即，成立，所以是的“数列”，所以为真命题，所以正确；故选：．三．解答题（8分+8分+10分+12分+14分）17．已知，，．（1）求与的夹角；（2）求．解：（1）因为，，，展开后整理得：，化简得，所以．设，则，由于，，所以；（2）由（1）知，，，则．18．已知是复数，与均为实数．（1）求复数；（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．解：（1）设，则为实数，．为实数，，解得．则；（2）在第一象限，，解得．19．已知是等差数列，是等比数列，且，，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，，，又，可得，；（2）由（1）可得，，以它为通项的数列是以为首项、公比为的等比数列，，数列的前项和为：．20．已知函数，，（1）若，函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）若，，求函数在上的值域；（3）若，函数在，内没有对称轴，求的取值范围解：（1）时，，，函数在区间上单调递增，由，，则，解得，所以的取值范围为；（2）若，，，时，，，所以函数在上的值域为；（3）若，函数，因为在，内没有对称轴，则，由，得，所以，，因为在，内没有对称轴，且，，所以或，因为，解得或所以的取值范围为．21．已知数列满足，，，为正整数．（1）证明：数列是等比数列，并求通项公式；（2）证明：数列中的任意三项，，都不成等差数列；（3）若关于正整数的不等式的解集中有且仅有三个元素，求实数的取值范围；