现代控制理论第三章2010 学习课件

2025年2月28日第三章状态方程的解线性控制系统中南大学信息科学与工程学院

2010-92025年2月28日第三章状态方程的解第三章状态方程的解3.1线性定常系统齐次状态方程的解3.2矩阵指数3.3线性时不变系统非齐次状态方程的解3.4线性时不变系统的状态转移矩阵3.5线性时变系统状态方程的解3.6连续系统的时间离散化3.7线性离散系统状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解标量一阶齐次微分方程与一阶齐次向量-矩阵微分方程存在相似的形式3.1

线性定常系统齐次状态方程的解

齐次状态方程：（控制输入为零）求解思路：从标量一阶齐次微分方程的求解来推导一阶齐次向量-矩阵微分方程的解。2025年2月28日第三章状态方程的解(1)一阶标量微分方程的解假设初始时刻

t0=0,则方程的解为：对于一阶标量微分方程2025年2月28日第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解绝对一致收敛级数称为矩阵指数矩阵级数(2)若A为方阵，齐次状态方程的解本章重点2025年2月28日第三章状态方程的解证明：由标量系统的解可假设的解为2025年2月28日第三章状态方程的解求矩阵指数函数！！！！求解状态方程的关键问题：2025年2月28日第三章状态方程的解解：第三章状态方程的解求例3．1．1已知2025年2月28日第三章状态方程的解3.2矩阵指数3.2.1矩阵指数的性质

3.2.2几个特殊矩阵指数

3.2.3矩阵指数的计算第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解

3.2.1矩阵指数的性质第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解则有：第三章状态方程的解3.2.2几个特殊矩阵指数(1)若为对角矩阵2025年2月28日第三章状态方程的解证:第三章状态方程的解由定义知2025年2月28日第三章状态方程的解第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解则有：第三章状态方程的解约当矩阵若为（2）2025年2月28日第三章状态方程的解则有：第三章状态方程的解

具有约当块的矩阵若为（3）其中：为约当块第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解则有：第三章状态方程的解(4)若为2025年2月28日第三章状态方程的解3.2.3矩阵指数的计算1、定义法:2、拉普拉斯变换:3.标准型法（对角规范型或约当规范型）4、化有限项法（凯莱哈密顿定理）：求矩阵指数的方法：第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解(1)定义法：特点：适合于计算机实现第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解(2)拉氏变换法：第三章状态方程的解对方程两边同时进行L氏变换得：反L氏变换得2025年2月28日第三章状态方程的解例3.2.1

用Laplace变换法计算矩阵指数：解：第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解则有：第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解(3)标准型法（对角规范型）：第三章状态方程的解则有个互异的特征值设具有满足其中2025年2月28日第三章状态方程的解解:第三章状态方程的解例3.2.2

已知矩阵试计算矩阵指数1)特征值

2)计算特征向量：

3)构造变换阵P：2025年2月28日第三章状态方程的解则有：第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解解:1)特征值第三章状态方程的解例3.2.3

试求下列矩阵的矩阵指数2025年2月28日第三章状态方程的解

2)计算特征向量：

3)构造变换阵P：第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解则有：第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解第三章状态方程的解设具有个重特征值则有2025年2月28日第三章状态方程的解解:1)特征值：1，1，2。计算特征向量和广义特征向量。第三章状态方程的解例3.2.4已知矩阵试计算矩阵指数2025年2月28日第三章状态方程的解得：2)计算矩阵指数：第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解(4)化有限项（凯莱－哈密尔顿（Cayley-Hamilton))法凯莱哈密顿定理：

矩阵A

满足其自己的零化多项式特征多项。2025年2月28日第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解1)特征根两两互异：第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解第三章状态方程的解2)有个重特征值两端对求1至阶导数得：解方程组可求得2025年2月28日第三章状态方程的解第三章状态方程的解例3.2.4已知系统试用化有限的项的方法求矩阵的矩阵指数解：矩阵的特征方程为：特征值为对于有对于有2025年2月28日第三章状态方程的解从而可联立求得：第三章状态方程的解因为-1是重根，故需补充方程：2025年2月28日第三章状态方程的解由此可得：第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解3.3线性定常系统非齐次状态方程的解考虑LTI系统：将左乘后求导得：2025年2月28日第三章状态方程的解两边积分得：对2025年2月28日第三章状态方程的解更一般的形式为：系统的动态响应由两部分组成：一部分是由初始状态引起的系统自由运动，叫做零输入响应；第三章状态方程的解另一部分是由控制输入所产生的受控运动，叫做零状态响应。2025年2月28日第三章状态方程的解3.4线性定常系统的状态转移矩阵3.4.1基本概念3.4.2线性时不变系统的状态转移矩阵3.4.3状态转移矩阵的性质2025年2月28日第三章状态方程的解(1)x(t)是由初值引起的零输入解和控制所产生的零状态解的叠加和。(2)解的结构显示了从x(t0)到x(t)的一种变换关系。其中：称为状态转移矩阵。3.4.1基本概念2025年2月28日第三章状态方程的解（3）对于线性定常系统，状态转移矩阵为矩阵指数2025年2月28日第三章状态方程的解第三章状态方程的解3.4.2线性时不变系统的状态转移矩阵定义：线性定常连续系统的状态方程为：

称满足如下矩阵方程得解阵称为系统的状态转移矩阵。2025年2月28日第三章状态方程的解第三章状态方程的解3.4.3状态转移矩阵的性质2025年2月28日第三章状态方程的解3.5线性时变系统状态方程的解（自学）

3.5.1线性时变系统齐次状态方程的解系统描述：第三章状态方程的解为初始时刻，分段连续。解的一般形式：2025年2月28日第三章状态方程的解特殊情况：第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解解:第三章状态方程的解求例3.5.1考虑系统初始值为2025年2月28日第三章状态方程的解第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解解：第三章状态方程的解例3.5.2初始值为求2025年2月28日第三章状态方程的解3.5.2线性时变系统的状态转移矩阵对于连续时间线性时变系统其中：为初始时刻，分段连续。系统的状态转移矩阵是如下矩阵微分方程和初始条件的解阵2025年2月28日第三章状态方程的解第三章状态方程的解考虑系统3.5.3线性时变系统非齐次状态方程的解

系统（1）的解为：其中：为初始时刻，分段连续。为待定向量。2025年2月28日第三章状态方程的解代入状态方程得：等式两端积分得：第三章状态方程的解令则有：2025年2月28日第三章状态方程的解上式称为状态转移方程：以状态转移矩阵为核心工具。第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解第一项是由初始状态引起的响应；第二项是由控制输入引起的响应。第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解3.6连续系统的时间离散化3.6.1近似离散化3.6.2线性时不变系统状态方程的离散化2025年2月28日第三章状态方程的解3.6.1近似离散化考虑系统当采样周期很小时，有2025年2月28日第三章状态方程的解第三章状态方程的解其中：2025年2月28日第三章状态方程的解近似离散化，第三章状态方程的解例3.6.1把状态方程解：2025年2月28日第三章状态方程的解所以近似离散化状态方程为:即第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解考虑系统：3.6.2线性时不变系统状态方程的离散化其状态方程的解为：假设：(1)等采样周期T,第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解第三章状态方程的解则令令则有：2025年2月28日第三章状态方程的解则线性时不变系统离散状态方程为：第三章状态方程的解令2025年2月28日第三章状态方程的解结论3.6.2给定线性定常时间系统：则在基本假设下的时间离散化状态方程为：对应关系：2025年2月28日第三章状态方程的解连续系统离散化的几点说明：(1)近似离散化是一般离散化的特例(2)定常系统离散化是时变系统离散化的特例(3)一般说来，没有精确离散化(4)离散化是有条件的，“连续化”是无条件的第三章状态方程的解(5)连续系统的结论可以在离散系统中找到对应，反之则未必2025年2月28日第三章状态方程的解[例3.6.2]

已知某连续系统的状态空间表达式为[解]

离散状态方程的系数阵试求其离散状态空间表达式。2025年2月28日第三章状态方程的解离散状态方程的输入阵2025年2月28日第三章状态方程的解从而可得该系统的状态空间表达式

2025年2月28日第三章状态方程的解3.7线性离散系统状态方程的解3.7.1递推法3.7.2Z变换法2025年2月28日第三章状态方程的解3.7.1递推法(迭代法)考虑离散时间系统：则有：即可求得当给定初始条件和输入信号序列2025年2月28日第三章状态方程的解因此有:或表示成:线性离散时不变系统状态转移矩阵定常情形：和都是常值矩阵，于是可得：2025年2月28日第三章状态方程的解状态转移矩阵的性质：离散系统状态转移方程：或：第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解3.7.2Z变换法考虑离散时间系统：取Z变换得：取Z反变换得：第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解由解的唯一性可得：2025年2月28日第三章状态方程的解第三章状态方程的解试求时系统的状态解。例3.7.1考虑离散时间系统：其中：第三章状态方程的解2025年2月28日第三章状态方程的解解法1：第三章状态方程的解

2025年2月28日第三章状态方程的解由此递推下去，可得到状态的离散序